《图形的相似》提升练习

第11页勤在寒窗苦读时，乐在金榜题名后。20171105周末能力提升题《图形的相似》一．选择题1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．下列四组图形中，一定相似的图形是（）A．各有一个角是30°的两个等腰三角形B．有两边之比都等于2：3的两个三角形C．各有一个角是120°的两个等腰三角形D．各有一个角是直角的两个三角形3．如上图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③C．①和③ D．②和④5．在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A．20m B．16m C．18m D．15m6．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A． B． C． D．7．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：18．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A． B．BC2=AB•BC C． D．9．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9二．填空题10．在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=．11．如下图，在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．12．如下图，若△ADE∽△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．13．如下图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．第10题图第11题图第12题图第13题图14．一个舞台长10米，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距舞台一端米远的地方．15．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．求证：△ABC∽△BDC．17．如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．18．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．一．选择题（共9小题）1．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【解答】解：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选：A．2．下列四组图形中，一定相似的图形是（）A．各有一个角是30°的两个等腰三角形B．有两边之比都等于2：3的两个三角形C．各有一个角是120°的两个等腰三角形D．各有一个角是直角的两个三角形【解答】解：A、各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C、各有一个角是120°的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选C．3．如图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵，AE=2cm，∴=，∴AC=6（cm），故选C．4．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴=，=，即==，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．5．在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（）A．20m B．16m C．18m D．15m【解答】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故选C．6．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A． B． C． D．【解答】解：∵x：（x+y）=3：5，∴5x=3x+3y，2x=3y，∴x：y=3：2=，故选：D．7．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选A8．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A． B．BC2=AB•BC C． D．【解答】解：∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；AC2=AB•BC，故B错误，，故C正确，不符合题意；≈0.618，故D正确，不符合题意．故选B．9．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴=故选：A．二．填空题（共6小题）10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若BD=8，DA=4，BE=6，则EC=3．【解答】解：∵DE∥AC，∴=，即=，解得EC=3．故答案为：3．11．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=2或4.5时，△AMN与原三角形相似．【解答】解：由题意可知，AB=9，AC=6，AM=3，①若△AMN∽△ABC，则=，即=，解得：AN=2；②若△AMN∽△ACB，则=，即=，解得：AN=4.5；故AN=2或4.5．故答案为：2或4.5．12．若△ADE∽△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且=，∴△ADE与△ACB的面积比为：，∴△ADE与四边形BCED的面积比为：，又四边形BCED的面积是2，∴△ADE的面积是，故答案为：．13．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为5米．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得AM=5m．则小明的影长为5米．14．一个舞台长10米，演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，则演员应站在距舞台一端15﹣5或5﹣5米远的地方．【解答】解：∵演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，∴距舞台一端是10×（1﹣）=15﹣5（米）．或10﹣（15﹣5）=5﹣5（米）．故答案为：15﹣5或5﹣5．15．如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM=或．【解答】解：∵E为BC中点，正方形ABCD的边长AB=2，∴BE=×2=1，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE===，∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，则=，即=，解得DM=，②DM与BE是对应边时，则=，即=，解得DM=，综上所述，DM=或．故答案为：或．解答题16．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．求证：△ABC∽△BDC．【解答】证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD．∵∠BAC=40°，∴∠ABD=40°，∵∠ABC=80°，∴∠DBC=40°，∴∠DBC=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC．17．如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B=90°．∵AD∥BC，∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．所以AP=或AP=2或AP=6．18．如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．