《线性规划应用》教学课件

合理利用线材问题：如何下料使用材最少。配料问题：在原料供给量的限制下如何获取最大利润。投资问题：从投资工程中选取方案，使投资回报最大。2.线性规划应用建模

一、线性规划---合理利用线材问题：如何下料使用材最少。2.线性规划1产品生产方案：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。2.线性规划应用产品生产方案：合理利用人力、物力、财力等，使获2数学规划的建模有许多共同点，要遵循以下原那么：(1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解，还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。(2)容易查找模型中的错误。这个原那么的目的显然与(1)相关。常出现的错误有：书写错误和公式错误。2.线性规划应用数学规划的建模有许多共同点，要遵循以下原那么：2.线3(3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。这条原那么的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对两条原那么进展统筹考虑。2.线性规划应用(3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控4建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：(1)设立决策变量；(2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；(3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大〔Max〕还是极小〔Min〕；(4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。2.线性规划应用建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：2.线性规划5例3.12：某昼夜效劳的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

①人力资源分配的问题设司机和乘务人员分别在各时间段一开场时上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?例3.12：某昼夜效劳的公交线路每天各时间段内所需6解：设xi表示第i班次时开场上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0

人力资源分配的问题解：设xi表示第i班次时开场上班的司机和乘务人员7例3.13:某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？②套裁下料问题解:考虑以下各种下料方案〔按一种逻辑顺序给出〕把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出例3.13:某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,8假设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面前5种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。目标函数：

Min

x1+x2+x3+x4+x5

约束条件：

s.t.

x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0套裁下料问题假设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面前5种方案9

例3.14:明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？③生产方案的问题例3.14:明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸10解：设x1,x2,x3

分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5

分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。生产方案的问题解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加11求xi的利润:利润=售价-各本钱之和可得到xi〔i=1,2,3,4,5〕的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下数学模型：目标函数:Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5约束条件：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0生产方案的问题求xi的利润:利润=售价-各本钱之和12

例3.15:永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B

两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成A

工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B

工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序,只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？生产方案的问题例3.15:永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过13解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量.利润=[〔销售单价-原料单价〕×产品件数]之和-〔每台时的设备费用×设备实际使用的总台时数〕之和。

生产方案的问题解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第14这样我们建立如下的数学模型:Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123s.t5x111+10x211≤6000〔设备A1〕7x112+9x212+12x312≤10000〔设备A2〕6x121+8x221≤4000(设备B1〕4x122+11x322≤700(设备B2〕7x123≤4000〔设备B3〕生产方案的问题这样我们建立如下的数学模型:生产方案的问题15x111+x112-x121-x122-x123=0(Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等〕x211+x212-x221=0(Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等〕x312-x322=0(Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等〕xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3生产方案的问题x111+x112-x121-x122-x123=16

例3.16:某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？④配料问题例3.16:某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不17配料问题解：设xij表示第i种〔甲、乙、丙〕产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：

对于甲：x11，x12，x13；

对于乙：x21，x22，x23；

对于丙：x31，x32，x33；

对于原料1：x11，x21，x31；

对于原料2：x12，x22，x32；

对于原料3：x13，x23，x33；配料问题解：设xij表示第i种〔甲18目标函数：

利润最大，利润=收入-原料支出

约束条件：规格要求4个；

供给量限制3个。

Max

z=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

配料问题目标函数：

利润最大，利润=收入-原料支出

约束19s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0〔原材料1不少于50%〕-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0〔原材料2不超过25%〕0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0〔原材料1不少于25%〕-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0〔原材料2不超过50%〕x11+x21+x31≤100(供给量限制〕x12+x22+x32≤100(供给量限制〕x13+x23+x33≤60(供给量限制〕xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3配料问题s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x1320例3.17：某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的工程投资。：工程A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；工程B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；工程C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；工程D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。

⑤投资问题例3.17：某部门现有资金200万元，今后五年内考虑21

据测定每万元每次投资的风险指数如下表：

投资问题据测定每万元每次投资的风险指数如下表：

投资问题22

a〕应如何确定这些工程的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？

b〕应如何确定这些工程的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的根底上使得其投资总的风险系数为最小？

问：投资问题

a〕应如何确定这些工程的每年投资额，使得第五年年末23投资问题解：1〕确定决策变量：连续投资问题设xij(i=1—5，j=1、2、3、4)表示第i年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)工程的金额。这样我们建立如下决策变量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24投资问题解：1〕确定决策变量：连续投资问题242〕约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是：x11+x12=200第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是：x21+x22+x24=1.1x11第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是：x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x32B、C、D的投资限制：xi2≤30(i=1，2，3，4)，x33≤80，x24≤100投资问题2〕约束条件：投资问题25a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200x21+x22+x24=1.1x11x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12x41+x42=1.1x31+1.25x22x51=1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤100xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕最优解Z=341.35x11=170x12=63x13=0x14=0x15=33.5x21=30x22=24x23=26.79999x33=80x42=1003〕目标函数及模型：投资问题a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+26b)Minf=〔x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12≤200x21+x22+x24≤1.1x11+200-(x11+x12)x31+x32+x33≤1.1x21+1.25x12x41+x42≤1.1x31+1.25x22x51≤1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕投资问题b)投资问题27⑥牧草农场问题〔最小化问题〕农场在试验一种新赛马食品。赛马食品有三种：普通饲料、高营养燕麦和新饲料。成分如下表：饲料成分普通饲料S高营养燕麦E新饲料A饲料A0.80.20.0饲料B1.01.53.0饲料C0.10.62.0每磅成本0.250.503.00一匹马一天的最小进食量为：3单位A、6单位B、4单位C总摄入量不能超过6磅。农场希望找到一种饲料组合，既可以满足马一天的营养需要，又可以使总本钱最低。⑥牧草农场问题〔最小化问题〕农场在试验一种新赛马食品。赛马食28牧场问题的线性规划模型为：▲最小化0.25S+0.50E+3A▲约束条件饲料A

0.8S+0.2E≥

3饲料B1.0S

+1.5E+3.0A≥6饲料C0.1

S+0.6E+2.0A≥

4总饲料量

S+E+A≤6

S，E,A≥

0▲最优解

S=3.514E=0.946A=1.541牧场问题的线性规划模型为：▲最小化0.25S+0.50E29⑦电子通信公司问题〔4变量〕公司开发了新产品，有4种分销渠道。情况如下表：分销渠道单位销售利润单位广告成本单位销售时间航海分销店M90102商业分销店B8483全国连锁店R7093直接邮购D6015无广告预算5000美元，每个分销点最大销售时间1800小时。现阶段产品600个，全国连锁店最少销售150个如何分配各渠道的销售量、销售时间以及广告预算，可以使销售利润最大。⑦电子通信公司问题〔4变量〕公司开发了新产品，有4种分销渠道30通信公司问题的线性规划模型：▲最大化90M+84B+70R+60D▲约束条件广告10M+8B+9R+15D≤5000可销售时间2M+3B+3R≤1800生产水平

M+B+R+D=600连锁店销售要求

R≥150M,B，R

,D≥

0▲最优解

M=25B=425AR=150D=0通信公司问题的线性规划模型：▲最大化90M+84B+7031⑧威尔特公司企业退休金财务方案公司有一个提前退休方案，未来8年内为68个提前退休人员准备资金如下表(每年年初支付)：理财途径有1.一年期储蓄利率4％2.第一年年初可以投资政府债券投资〔3种〕，面值1000，到期时支付1000，利率是相对于面值的。利息每年年末提取,不作复利计算。收益如下：年度12345678现金需求430210222231240195225255⑧威尔特公司企业退休金财务方案公司有一个提前退休方案，未来832威尔特公司企业退休金财务方案债券价格利率到期年数111508.8755210005.50063135011.7507决策变量有F八年方案所需总金额B1第一年年初买入债券1的单位数量B2第一年年初买入债券2的单位数量B3第一年年初买入债券3的单位数量Si第i年年初投资于储蓄的金额〔i=1、2、……8〕威尔特公司企业退休金财务方案债券价格利率到期年数11133威尔特公司企业退休金财务方案：▲最小值F▲约束条件第一年F-1.15B1-1B2-1.35B3-S1

=430第二年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210第三年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222第四年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231第五年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=240第六年1.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=195第七年1.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=225第八年1.1175B3+1.04S7-S8=255各参数≥

0▲最优解

F=1728.794B1=144.988B2=187.856B3=228.188S1=636.148S2=501.606S3=349.682S4=182.681S5=S6=S7=S8=0年初可用资金-投资于债券和储蓄的金额=该年的支付责任威尔特公司企业退休金财务方案：▲最小值F年初可用资金-投资于34⑨

资源利用问题

假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需要消耗的第i种资源的数量为aij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2，…，n)。试问如何安排这几种产品的生产方案，才能使规划期内资源利用的总产值到达最大?⑨资源利用问题假设某地区拥有m种资源，其中35设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，那么上述资源问题就是：求一组实数变量xj(j=1，2，…，n)，使其满足设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，那么上述36⑩农场种植方案模型某农场I、II、III等耕地的面积分别为100hm2〔公顷〕、300hm2和200hm2，方案种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表3.3.1所示。假设三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，〔1〕如何制订种植方案，才能使总产量最大？〔2〕如何制订种植方案，才能使总产值最大？⑩农场种植方案模型某农场I、II、III等耕地的面积分别37表3.3.1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg/hm2)

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000表3.3.1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg/38对于上面的农场种植方案问题，我们可以用线性规划方法建立模型。根据题意，决策变量设置如表3.3.2所示,表中Xij表示在第j等级的耕地上种植第i种作物的面积。三种作物的产量可以用表3.3.3表示。对于上面的农场种植方案问题，我们可以用线性规划方法建立模型。39表3.3.2作物方案种植面积〔单位:hm2)表3.3.3三种作物的总产量〔单位:kg〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻大豆玉米作物种类总产量水稻大豆玉米表3.3.2作物方案种植面积〔单位:hm2)

I等耕40根据题意，约束方程如下,耕地面积约束：最低收获量约束：

非负约束：

根据题意，约束方程如下,耕地面积约束：41调用Matlab软件系统优化工具箱中的linprog函数，进展求解运算，可以得到一个最优解〔如表3.3.4所示〕。在该方案下，最优值，即最大总产量为6892200kg。从表中可以看出，如果以追求总产量最大为种植方案目标，那么，玉米的种植面积在I、II、III等耕地上都占绝对优势。〔1〕追求最大总产量的目标函数为：调用Matlab软件系统优化工具箱中的linprog函数，进42表3.3.4追求总产量最大的方案方案〔单位：hm2〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻0021.1111大豆0021.6667玉米100300157.2222表3.3.4追求总产量最大的方案方案〔单位：hm2〕43(2)追求最大总产值的目标函数为：进展求解运算，可以得到一个最优解〔如表3.3.5所示〕。在该方案下，最优值，即最大总产值为6830500元。从表中可以看出，如果以追求总产值最大为种植方案目标，那么，水稻的种植面积在I、II、III等耕地上都占绝对优势。(2)追求最大总产值的目标函数为：进展求解运算，可以得到一44表3.3.5追求总产值最大的方案方案〔单位：hm2〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻58.75300200大豆16.2500玉米2500表3.3.5追求总产值最大的方案方案〔单位：hm2〕45⑾证券组合投资决策

某人有一笔50万的资金可用于长期投资，可供选择的投资时机包括购置国库券、公司债券、投资房地产、购置股票或银行保值储蓄等。不同的投资方式的具体参数见下表。⑾证券组合投资决策某人有一笔50万的资金可用于长期投资，可46

序号投资方式投资期限（年）年收益率（%）风险系数增长潜力（%）1国库券311102公司债券10153153房地产6258304股票2206205短期定期存款110156长期保值储蓄5122107现金存款0300

序号投资方式投资期限（年）年收益率（%）风险系数增长潜力47投资者希望①

投资组合的平均年限不超过5年，②

平均的期望收益率不低于13%，③

平均风险系数不超过4，④

平均的收益的增长潜力不低于10%.问：在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高。投资者希望48解：由题意，目标：平均年收益率最高；决策变量：设xi是第i种投资在总投资中所占的比例；资源约束：①

投资组合的平均年限不超过5年；②

平均的期望收益率不低于13%；③

平均风险系数不超过4；④

平均的收益的增长潜力不低于10%；⑤

各项投资比例之和等于1。

那么，其线性规划模型为：解：由题意，49MaxZ=11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7s.t.3

x1+10x2+6x3+2x4+

x5+5x6≤5平均年限

x1+3

x2+8x3+6x4+

x5+2x6≤4风险系数

15

x2+30x3+20x4+5x5+10x6≥10增长潜力

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7=1各项投资比例之和等于1

x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0MaxZ=11x1+15x2+25x3+20x4+150⑿施肥问题

某农场主需要对他的20亩菜地和30亩小麦地施肥。经土壤分析后，分析报告指出每亩菜地至少需施6公斤氮，2公斤磷，1.5公斤钾；每亩小麦地至少需施8公斤氮，1公斤磷，3公斤钾。现市场上有A,B两种可用的肥料，相关数据如下表所示。请帮助该农场主制定购置A,B两种肥料的合理预算和施肥方案。

每袋重量（公斤）每袋价格（元）氮含量（％）磷含量（％）钾含量（％）A406020520B605010105⑿施肥问题某农场主需要对他的20亩菜地和30亩小麦地施肥。51解：设xij表示第i种肥施于第j类用地的数量〔袋〕，i=1,2,j=1,2.依题意，建立数学模型如下，minz=60(x11+x12)+50(x21+x22)菜地：40×

0.2x11+60×

0.1x21≥20×6 40×0.05x11+60×

0.1x21≥20×2 40×

0.2x11+60×0.05x21≥20×1.5麦地：40×

0.2x12+60×

0.1x22≥30×8 40×0.05x12+60×

0.1x22≥30×1 40×

0.2x12+60×0.05x22≥30×3xij≥0,i,j=1,2.解：设xij表示第i种肥施于第j类用地的数量〔袋〕，i=1,52线性规划的其他应用⑴市场营销调查。⑵医院绩效评定等线性规划的其他应用线性规划的其他应用线性规划的其他应用53合理利用线材问题：如何下料使用材最少。配料问题：在原料供给量的限制下如何获取最大利润。投资问题：从投资工程中选取方案，使投资回报最大。2.线性规划应用建模

一、线性规划---合理利用线材问题：如何下料使用材最少。2.线性规划54产品生产方案：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。2.线性规划应用产品生产方案：合理利用人力、物力、财力等，使获55数学规划的建模有许多共同点，要遵循以下原那么：(1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解，还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。(2)容易查找模型中的错误。这个原那么的目的显然与(1)相关。常出现的错误有：书写错误和公式错误。2.线性规划应用数学规划的建模有许多共同点，要遵循以下原那么：2.线56(3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。这条原那么的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对两条原那么进展统筹考虑。2.线性规划应用(3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控57建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：(1)设立决策变量；(2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；(3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大〔Max〕还是极小〔Min〕；(4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。2.线性规划应用建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：2.线性规划58例3.12：某昼夜效劳的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

①人力资源分配的问题设司机和乘务人员分别在各时间段一开场时上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?例3.12：某昼夜效劳的公交线路每天各时间段内所需59解：设xi表示第i班次时开场上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0

人力资源分配的问题解：设xi表示第i班次时开场上班的司机和乘务人员60例3.13:某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？②套裁下料问题解:考虑以下各种下料方案〔按一种逻辑顺序给出〕把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出例3.13:某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,61假设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面前5种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。目标函数：

Min

x1+x2+x3+x4+x5

约束条件：

s.t.

x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0套裁下料问题假设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面前5种方案62

例3.14:明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？③生产方案的问题例3.14:明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸63解：设x1,x2,x3

分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5

分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。生产方案的问题解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加64求xi的利润:利润=售价-各本钱之和可得到xi〔i=1,2,3,4,5〕的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下数学模型：目标函数:Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5约束条件：s.t.5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0生产方案的问题求xi的利润:利润=售价-各本钱之和65

例3.15:永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B

两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成A

工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B

工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序,只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？生产方案的问题例3.15:永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过66解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量.利润=[〔销售单价-原料单价〕×产品件数]之和-〔每台时的设备费用×设备实际使用的总台时数〕之和。

生产方案的问题解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第67这样我们建立如下的数学模型:Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123s.t5x111+10x211≤6000〔设备A1〕7x112+9x212+12x312≤10000〔设备A2〕6x121+8x221≤4000(设备B1〕4x122+11x322≤700(设备B2〕7x123≤4000〔设备B3〕生产方案的问题这样我们建立如下的数学模型:生产方案的问题68x111+x112-x121-x122-x123=0(Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等〕x211+x212-x221=0(Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等〕x312-x322=0(Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等〕xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3生产方案的问题x111+x112-x121-x122-x123=69

例3.16:某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？④配料问题例3.16:某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不70配料问题解：设xij表示第i种〔甲、乙、丙〕产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：

对于甲：x11，x12，x13；

对于乙：x21，x22，x23；

对于丙：x31，x32，x33；

对于原料1：x11，x21，x31；

对于原料2：x12，x22，x32；

对于原料3：x13，x23，x33；配料问题解：设xij表示第i种〔甲71目标函数：

利润最大，利润=收入-原料支出

约束条件：规格要求4个；

供给量限制3个。

Max

z=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33

配料问题目标函数：

利润最大，利润=收入-原料支出

约束72s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0〔原材料1不少于50%〕-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0〔原材料2不超过25%〕0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0〔原材料1不少于25%〕-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0〔原材料2不超过50%〕x11+x21+x31≤100(供给量限制〕x12+x22+x32≤100(供给量限制〕x13+x23+x33≤60(供给量限制〕xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3配料问题s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x1373例3.17：某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的工程投资。：工程A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；工程B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；工程C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；工程D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。

⑤投资问题例3.17：某部门现有资金200万元，今后五年内考虑74

据测定每万元每次投资的风险指数如下表：

投资问题据测定每万元每次投资的风险指数如下表：

投资问题75

a〕应如何确定这些工程的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？

b〕应如何确定这些工程的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的根底上使得其投资总的风险系数为最小？

问：投资问题

a〕应如何确定这些工程的每年投资额，使得第五年年末76投资问题解：1〕确定决策变量：连续投资问题设xij(i=1—5，j=1、2、3、4)表示第i年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)工程的金额。这样我们建立如下决策变量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24投资问题解：1〕确定决策变量：连续投资问题772〕约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是：x11+x12=200第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是：x21+x22+x24=1.1x11第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是：x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x32B、C、D的投资限制：xi2≤30(i=1，2，3，4)，x33≤80，x24≤100投资问题2〕约束条件：投资问题78a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200x21+x22+x24=1.1x11x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12x41+x42=1.1x31+1.25x22x51=1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤100xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕最优解Z=341.35x11=170x12=63x13=0x14=0x15=33.5x21=30x22=24x23=26.79999x33=80x42=1003〕目标函数及模型：投资问题a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+79b)Minf=〔x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12≤200x21+x22+x24≤1.1x11+200-(x11+x12)x31+x32+x33≤1.1x21+1.25x12x41+x42≤1.1x31+1.25x22x51≤1.1x41+1.25x32xi2≤30(i=1、2、3、4)，x33≤80，x24≤1001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24≥330xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4〕投资问题b)投资问题80⑥牧草农场问题〔最小化问题〕农场在试验一种新赛马食品。赛马食品有三种：普通饲料、高营养燕麦和新饲料。成分如下表：饲料成分普通饲料S高营养燕麦E新饲料A饲料A0.80.20.0饲料B1.01.53.0饲料C0.10.62.0每磅成本0.250.503.00一匹马一天的最小进食量为：3单位A、6单位B、4单位C总摄入量不能超过6磅。农场希望找到一种饲料组合，既可以满足马一天的营养需要，又可以使总本钱最低。⑥牧草农场问题〔最小化问题〕农场在试验一种新赛马食品。赛马食81牧场问题的线性规划模型为：▲最小化0.25S+0.50E+3A▲约束条件饲料A

0.8S+0.2E≥

3饲料B1.0S

+1.5E+3.0A≥6饲料C0.1

S+0.6E+2.0A≥

4总饲料量

S+E+A≤6

S，E,A≥

0▲最优解

S=3.514E=0.946A=1.541牧场问题的线性规划模型为：▲最小化0.25S+0.50E82⑦电子通信公司问题〔4变量〕公司开发了新产品，有4种分销渠道。情况如下表：分销渠道单位销售利润单位广告成本单位销售时间航海分销店M90102商业分销店B8483全国连锁店R7093直接邮购D6015无广告预算5000美元，每个分销点最大销售时间1800小时。现阶段产品600个，全国连锁店最少销售150个如何分配各渠道的销售量、销售时间以及广告预算，可以使销售利润最大。⑦电子通信公司问题〔4变量〕公司开发了新产品，有4种分销渠道83通信公司问题的线性规划模型：▲最大化90M+84B+70R+60D▲约束条件广告10M+8B+9R+15D≤5000可销售时间2M+3B+3R≤1800生产水平

M+B+R+D=600连锁店销售要求

R≥150M,B，R

,D≥

0▲最优解

M=25B=425AR=150D=0通信公司问题的线性规划模型：▲最大化90M+84B+7084⑧威尔特公司企业退休金财务方案公司有一个提前退休方案，未来8年内为68个提前退休人员准备资金如下表(每年年初支付)：理财途径有1.一年期储蓄利率4％2.第一年年初可以投资政府债券投资〔3种〕，面值1000，到期时支付1000，利率是相对于面值的。利息每年年末提取,不作复利计算。收益如下：年度12345678现金需求430210222231240195225255⑧威尔特公司企业退休金财务方案公司有一个提前退休方案，未来885威尔特公司企业退休金财务方案债券价格利率到期年数111508.8755210005.50063135011.7507决策变量有F八年方案所需总金额B1第一年年初买入债券1的单位数量B2第一年年初买入债券2的单位数量B3第一年年初买入债券3的单位数量Si第i年年初投资于储蓄的金额〔i=1、2、……8〕威尔特公司企业退休金财务方案债券价格利率到期年数11186威尔特公司企业退休金财务方案：▲最小值F▲约束条件第一年F-1.15B1-1B2-1.35B3-S1

=430第二年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210第三年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222第四年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231第五年0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=240第六年1.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=195第七年1.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=225第八年1.1175B3+1.04S7-S8=255各参数≥

0▲最优解

F=1728.794B1=144.988B2=187.856B3=228.188S1=636.148S2=501.606S3=349.682S4=182.681S5=S6=S7=S8=0年初可用资金-投资于债券和储蓄的金额=该年的支付责任威尔特公司企业退休金财务方案：▲最小值F年初可用资金-投资于87⑨

资源利用问题

假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需要消耗的第i种资源的数量为aij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2，…，n)。试问如何安排这几种产品的生产方案，才能使规划期内资源利用的总产值到达最大?⑨资源利用问题假设某地区拥有m种资源，其中88设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，那么上述资源问题就是：求一组实数变量xj(j=1，2，…，n)，使其满足设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，那么上述89⑩农场种植方案模型某农场I、II、III等耕地的面积分别为100hm2〔公顷〕、300hm2和200hm2，方案种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植三种作物的单产如表3.3.1所示。假设三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，〔1〕如何制订种植方案，才能使总产量最大？〔2〕如何制订种植方案，才能使总产值最大？⑩农场种植方案模型某农场I、II、III等耕地的面积分别90表3.3.1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg/hm2)

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米140001200010000表3.3.1不同等级耕地种植不同作物的单产(单位:kg/91对于上面的农场种植方案问题，我们可以用线性规划方法建立模型。根据题意，决策变量设置如表3.3.2所示,表中Xij表示在第j等级的耕地上种植第i种作物的面积。三种作物的产量可以用表3.3.3表示。对于上面的农场种植方案问题，我们可以用线性规划方法建立模型。92表3.3.2作物方案种植面积〔单位:hm2)表3.3.3三种作物的总产量〔单位:kg〕

I等耕地II等耕地III等耕地水稻大豆玉米作物种类总产量水稻大豆玉米表3.3.2作物方案种植面积〔单位:hm2)

I等耕93根据题意，约束方程如下,耕地面积约束：最低收获量约束：

非负约束：

根据题意，约束方程如下,耕地面积约束：94调用Matlab软件系统优化工具箱中的linprog函数，进展求解运算，可以得到一