小学数学解题专题研究4

第四讲 小学数学解题的思想方法（三）问题12：对应思想在数学问题的各种数量关系中，有时存在着相对应的关系，抓住这种对应关系就可以找到解答问题的途径。在具体解答问题时，可以摘录已知条件分析数量之间的联系，找出两类量之间相对应的关系，也可以画出线段图揭示这种对应关系。例1.甲、乙、丙三人在商场各出同样的钱批发了一些同样的水果罐头，回来以后，甲和乙都比丙多要了6听罐头，因此甲和乙分别给丙4.9元钱。每听水果罐头的批发价是多少元（甘肃文化出版社，199512262页。）分析：这道题的数量关系较复杂也比较隐蔽，关键是找出水果罐头的听数和相对应的钱数，就可以解决问题。我们用“对应思想”来确定数量关系。甲、乙、丙各出同样的钱甲、乙都比丙多要了 6听罐

——→——→

一共多要了×2＝1（听）三人平均各应再分得的罐头听数

——→

3＝4（听）甲实际比平均数多要（乙实际比平均数多要（

6－6－

甲给丙的4.9乙给丙的4.9通过这样的思考，我们搞清了数量关系。由于甲、乙、丙三人在商场各出同样的钱批发了一些同样的水果罐头，甲和乙都比丙多要了都是他们三人的钱。这说明他们应该再平均分这

6听罐头，一共多要了 12听罐头，而买这12听罐头的钱也124甲实际比丙多要了 6听罐头，比平均

4听多要了2听，这

4.9元钱。（当然也可以这样想：实际甲、乙两人一共比丙多要了钱）因此，就可以算出每听水果罐头的批发价是多少元。社，1991年3月版，第116页。

2×2听罐头，一共给丙补了 2元郑君文、张恩华：《数学学习论》，广西教育出版解：元）或元）答：每听水果罐头的批发价是 2.45元。在解题的过程中，在运用对应思想找数量之间对应的关系时，可能会用其它解题思想方法的辅助，如转化思想、线段图示法等。我们掌握了这一思想方法，就善于把握复杂问题所对应着的简单数量关系，从而化繁为简，清晰反映数量之间的关系，找到解题思路和方法。例2包。方便面和麻辣粉丝各运来多少包？

210包，当方便面卖掉一半时，方便面比麻辣粉丝少 30分析：我们用对应思想来确定数量关系之间的联系。运来的方便面比麻辣粉丝 ————————————→多 210包方便面卖掉一半时比麻辣粉丝

————————————→少

30包两次比较比较的标准“麻辣粉丝的包数”没变，只是方便面的包数相差一半，比较的结果出现“多210包”和“少包”，因此方便面包数的一半就是对应 210包与30包的和。所以找到了这种17PAGEPAGE25对应关系，也就找到了解题的方法。画出线段图更能说明问题：方便面麻辣粉丝

30包

多210包解：（2=包） 480－210=270（包）答：方便面运来480包，麻辣粉丝运来 270包。例3甲乙两人比较岁数。 甲对乙说：“当我像你现在这么大的岁数时， 你刚好3岁。”乙对甲说：“当我长到你现在这么大的岁数时，你就 15岁了。”甲、乙二人今年各是多少岁？分析：通过画线段图，分析题目中的数量关系。线段图中甲比乙大的年龄就是“年龄差” 。从甲对乙说的话“当我像你现在这么大的岁数时，你刚好 3岁”中知道，此时是把甲现在的年龄减少了1个“年龄差”（线段图中的粗线部分）后的年龄，相对应的乙是 3岁。因此甲当时的年龄对应着“3岁”和1与2个“年龄差”的和。

3岁”从乙对甲说的话“当我长到你现在这么大的岁数时，你就 15岁了”中又可以知道，此时是把乙现在的年龄增加了

1个“年龄差”（线段图中虚线部分）

15岁。因此，甲当时的年龄对应着“3岁”与个“年龄差”的和。所以先算出这个“年龄差”，就可以算出甲、乙现在的年龄。15岁甲年龄差乙3岁

年龄差现在解：（1－）÷（＋＋）=（岁）15－4=1（岁） 11－4=7岁）答：甲今年11岁，乙今年7

问题13：假设思想当数学问题的数量关系隐蔽时，可以先把题中的条件假设为一个与之相近、相似的条件，或直接假设问题，然后从这个假设开始，分析题目的数量关系，从而找到解题途径和方法。例一批石油，用甲种油槽车装载，要用 45辆；如果用乙种油槽车装载，只要 36辆。已知种车比乙种车每辆少装4吨，这批石油共重多少吨?（柴学林《小学数学题典》，甘肃文化出版社，1995年12102页。）分析：我们假设一个条件“假设用甲种油槽车 36辆装载石油”，根据题意，用甲种油槽车装完这批石油，要用45辆，比假设的条件多（

45－36）

36辆，已知甲种车比乙种车每辆少装 4吨，36辆甲种油槽车

36

4×36吨，这些石油正好是由（45－36）共重多少吨。解：（每辆甲种油槽车装多少吨？4×）＝吨（2）这批石油共重多少吨？16×吨）答：这批石油共重720当然，也可以假设“用乙种油槽车 45辆装载石油”去思考解答，请大家试一试。例2.同学们参加野营活动，一个同学到负责后勤的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问：“多少人吃饭？”他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。

”这个同学给多少人领碗？（九年义务教育小学《数学》课本，第十一册，人民教育出版社105页思考题。）

2001年12月版，第分析：假设这个同学给6人领碗，那么根据题意，要领 6个饭碗、3个菜碗和2个汤碗，一共要领的碗数是：6＋个），这个碗数与题目中的一共领“ 55个碗”的条件不相符合，要进行调整。由于55÷，个碗是个碗的×5＝30（人）。所以，问题就可以解决。

5倍，即6问题14：转化思想当数学问题情景陌生而且数量关系复杂时，要对题目进行“等效处理”，应用转化思想方法去解答问题。在数学解题中应用转化的思想方法，其核心是把陌生的问题转化为熟悉的问题，或把数量关系复杂的问题转化为数量关系简单的问题，然后进行解答。在小学数学解题中，要着重考虑：从“未知”向“已知”转化；从“繁难”向“简易”转化；从“一个量”向“另一个量”转化，从而找到解答问题的途径和方法。例1.如下图所示，求图中阴影部分的面积。分析：从图中可知，正方形的边长是10厘米，正方形内阴影部分是由两个半圆相交所围成的图形，直接计算有困难。应用转化的思想，把阴影部分右侧两块虚线画出的弓形图形转动，补在图形中间，阴影部分正好转化成一个底和高都是 10厘米的三角形，由此阴影部分的面积就可以求出来。解：10×10÷2＝50（平方厘米）这道题还可以有其它的解法，大家可以试一试。转化是解决问题的一种最基本的思想方法。我们要注意学习和体会在解题过程中，怎样化繁就简、化难为易、化陌生为熟悉、化未知为已知，使问题得到解决，从而逐步积累解题经验，进一步掌握解题的思想方法。问题15：分类思想在小学数学中，一些概念就是通过分类定义的，有的运算法则、运算性质和计算公式也是用分类的方法给出的，一些图形的辨认和相互位置的变化规律也要通过分类加以研究。在解答小学数学问题时，也要用分类的思想方法对一些比较复杂的问题进行分析，分成若干类加以考察，从而使问题得到解决。例小于1000的自然数中，各数位上的数的和是5分析：可以按数位多少进行分类，分别考察满足条件的自然数各有多少个。（1）符合条件的三位数。百位数是11225个。

4，这些自然数是：104、、、、百位数是2有4个。

3，这些自然数是：203、、、百位数是3百位数是4

2，这些自然数是：302320、311，有3个。1，这些自然数是：401410，有2个。答：阴影部分的面积是50平方厘米。在这道题的解答思考过程中，实际上是先把一个较复杂的平面图形面积的计算问题，转化为一个简单的平面图形面积的计算问题，然后再进行计算。例答：阴影部分的面积是50平方厘米。在这道题的解答思考过程中，实际上是先把一个较复杂的平面图形面积的计算问题，转化为一个简单的平面图形面积的计算问题，然后再进行计算。例3双皮鞋的价钱与皮鞋和布鞋各多少元？双布鞋的价钱相等。买2双皮鞋与5双布鞋要付660元钱，每双分析：我们利用转化思想对题目条件进行“等效处理”：由于“买3双皮鞋的价钱与20双布鞋的价钱相等”，那么推得：买32双皮鞋价钱与20×2双布鞋的价钱相等；又由于“买2双皮鞋与5双布鞋要付660元钱”，那么又可以推得：买2×3双皮鞋与3双布鞋要付3元钱。再用“双布鞋的价钱”去代替“32双皮鞋价钱”就可以推得：买20×2双布鞋与×3双布鞋要付×3元钱。从而可以先求出每双布鞋多少元钱。解：（1）每双布鞋多少元钱？660×3÷（＋元）（每双皮鞋多少元钱？36×元）答：每双皮鞋240元，每双布鞋36元。

5001个。5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。（（符合条件的两位数：14、5个。（符合条件的一位数只有5，有1个。解：综合以上的分析可知，符合条件的自然数一共有：15＋个）答：小于1000的自然数中，各数位上的数的和是5的自然数有21个。例1厘米的正方形组成的，在这个图形中一共可以找出多少个正方形？1厘米1厘米分析：直接去数难免有重复或遗漏的情况，我们可以按正方形的边长的多少进行分类，考察正方形的个数。（1）边长是1厘米的正方形，从大正方形的一边看有5个，从另一边看也有5个，因此共有：5×5＝25（个）。4×（2）边长是4＝16（个）。2厘米的正方形，从大正方形的一边看有4个，从另一边看也有4个，因此共有：（3）边长是3厘米的正方形，从大正方形的一边看有3个，从另一边看也有3个，因此共有：3×3＝9（个）。（4）边长是4厘米的正方形，从大正方形的一边看有2个，从另一边看也有2个，因此共有：2×2＝4（个）。（5）边长是5厘米的正方形，只有1在这个图形中一共可以找出的正方形有：5×个）答：在这个图形中一共可以找出 55个正方形。分类既是一种数学思想，又是自然科学及社会科学研究中的基本逻辑方法。在小学数学解题中，常常以概念的划分、集合的分类为基础，首先要能够想到分类，然后要能够会用分类的方法对问题进行逐一考察和解决，从而使数学问题得到解答。问题16：数形结合思想“数”与“形”是反映现实世界中客观事物属性的两个方面。一般来讲， “数”是“形”的概与抽象，“形”是“数”的具体体现，“数”和“形”在一定条件下可以互相转化。在小学数学解题中，数形结合思想就是利用“形”把问题的数量关系形象地表示出来，如用线段图、长方形面积图分析：这道题目的数量关系比较抽象，直接理解有困难。我们可以根据问题中的已知条件，画出线段图，数量关系就清楚了。如下图所示：由于两辆汽车的速度相同，都是每小时60千米，那么就可以用同样的线段长度表示两辆汽车在一定时间里所行的路程。在8时32分时，如果把第二辆汽车所行的路程（距离）看作 1份，那么第一辆汽车离开化肥厂所行的路程（距离）就是这样的 3份；在时39分时，第一辆汽车离开化肥厂的路程（距离） ，正好是第二辆汽车离开化肥厂路程（距离）离）两辆汽车各行驶了 7分钟。

2倍，符合题目条件。可以看出，每行 1份的路程（距或集合图等帮助理解数量关系，进行广泛联想，促使“数”与“形”的和谐统一，从而打开思维通或集合图等帮助理解数量关系，进行广泛联想，促使“数”与“形”的和谐统一，从而打开思维通道，使问题简明、直观，找到解决问题的方法。例1．早晨8时以后，有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去，两辆汽车的速度都是每小时60千米。在8时32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车离开化肥厂距离的 3倍；到了时39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车离开化肥厂距离的 2倍。第一辆汽车是8时几分离开化肥厂的？（首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）化肥厂832839分第一辆汽车第二辆汽车解：39－32＝7（分）83273＝83221＝811811法。利用数形结合思想解答小学数学问题，主要是借助图形把抽象、复杂的数量关系形象化、直观化，以帮助理解题中的数量关系，拓宽解题思路，提高解题能力。问题在小学数学解题中应用代数思想，就是指能够通过用字母表示数，以及用字母表示实际问题中的数量关系和数学的一般规律性，从而找到解决问题的方法。如用代数方法（列方程）解应用题就是代数思想在小学解题中的重要应用。算术方法解答问题，未知数处于特殊地位，解题思路和方法经常受到限制，有时解题比较困难，就可以考虑用代数方法（列方程的方法）解决问题。一个数学问题用代数方法解决，首先要熟悉列方程解决问题的思路；其次是分析、探索找等量关系的途径；再次是把握数量之间的相等关系，列出方程；最后通过解方程解答数学问题。在解题的思维过程中，可以用字母或文字表示数量关系，借助“代数式”进行分析，寻找解题方法。例1.鸡兔同笼共有36只，脚有100只，鸡兔各有多少只？这个问题我们先用算术方法解答，然后再用代数思想进行分析解答，从而又可以看出代数思想在解题中的作用。在解题中的作用。分析：如果我们想象，这些鸡兔做精彩的表演，所有的鸡都是单脚站立，“金鸡独立”；所有的100只），因为鸡兔的总数不变，而此时鸡的只数等于鸡脚的只数，所以兔的只数是 50－36＝只），因而鸡的只数是36－14＝22（只）。解：（兔的有多少只？100÷只）（鸡有多少只？36－只）答：鸡有22只，兔有14只。再分析：以上这种具有想象力的解题思路显得新颖独特，别出心裁，是一种“奇思巧想”，是一个“再发现式”的创造性思维过程。事实上，如果设鸡有 x只，兔有y只，列出方程是：＋＝362x＋100解得÷体现了用代数思想解决问题的优越性，是代数思想在解题中的应用。例甲、乙、丙三数的和是 244。已知甲数除以乙数、乙数除以丙数，结果都是商 3余。数是多少？分析：由于甲数除以乙数商3余这说明甲数是乙数的 3倍还多同样乙数除以丙数商 3余2，同样也说明乙数是丙数的 3倍还多如果用算术方法思考商量