矩阵特征值问题的数值解法课件

第八章矩阵特征值和特征向量计算第八章矩阵特征值和特征向量计算1第一节引言第二节幂法及反幂法幂法加速方法反幂法第三节豪斯霍尔德方法正交相似变换(1)正交相似变换(2)第四节QR方法主要内容第一节引言主要内容2以下是一些准备知识

工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。8.1引言第八章.矩阵特征值和特征向量计算以下是一些准备知识工程实践中有多种振动问题，3矩阵特征值问题的数值解法课件4

但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法.目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.但高次多项式求根精度低,一般不作为求解5机器求解机器求解6定理1

定理17矩阵特征值问题的数值解法课件8矩阵特征值问题的数值解法课件9矩阵特征值问题的数值解法课件10注注11重要结论亏损矩阵重要结论亏损矩阵12一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，13矩阵特征值问题的数值解法课件14矩阵特征值问题的数值解法课件15矩阵特征值问题的数值解法课件16矩阵特征值问题的数值解法课件17则则18对于矩阵特征值界如何估计？对于矩阵特征值界如何估计？19称为称为20或者A的特征值都在复平面上n个圆盘的并集之中.(2)如果A的m个圆盘组成一个连通的并集S，且S与余下的

则S内包含A的m个特征值个圆盘是分离的，n-m或者A的特征值都在复平面上n个圆盘的并集之中.(2)如果A的21特别：若A的一个圆盘与其它圆盘是分离的即孤立的

中精确地包含A的一个特征值.,则特别：若A的一个圆盘与其它圆盘是分离的即孤立的22矩阵特征值问题的数值解法课件23矩阵特征值问题的数值解法课件24即结论得证.即结论得证.25矩阵特征值问题的数值解法课件26由上述定理结论可知A的三个特征值位于三个圆盘的并集中，由上述定理结论可知A的三个特征值位于27所以D1内恰包含A的一个实特征值由于D1是孤立的所以，所以D1内恰包含A的一个实特征值由于D1是孤立的所以，28问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？解决途径：若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围.事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的某些圆盘半径及连通性发生变化.问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？解决途径：29具体实施?具体实施?30矩阵特征值问题的数值解法课件31对上边同一例题对上边同一例题32矩阵特征值问题的数值解法课件33矩阵特征值问题的数值解法课件34幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的迭代方法。适合于大型稀疏矩阵反幂法是计算Henssenberg阵或对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法.§2.幂法和反幂法.一、幂法幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值适合于大型稀疏矩阵反幂法35且有完全的特征向量组即且有完全的特征向量组即36

构造一个向量序列幂法的基本思想：任意取一个非零的初始向量由矩阵A

构造一个向量序列幂法的基本思想：任意取一个非零的初始向量由37称为迭代向量。

由此计算特征值和特征向量。称为迭代向量。

由此计算特征值和特征向量。38矩阵特征值问题的数值解法课件39矩阵特征值问题的数值解法课件40矩阵特征值问题的数值解法课件41必有必有42矩阵特征值问题的数值解法课件43主特征值主特征值44即相邻两个迭代向量分量的比值收敛到主特征值.即相邻两个迭代向量分量的比值收敛到主特征值.45矩阵特征值问题的数值解法课件46矩阵特征值问题的数值解法课件47矩阵特征值问题的数值解法课件48注意注意49矩阵特征值问题的数值解法课件50矩阵特征值问题的数值解法课件51矩阵特征值问题的数值解法课件52矩阵特征值问题的数值解法课件53同上讨论有同上讨论有54矩阵特征值问题的数值解法课件55矩阵特征值问题的数值解法课件56矩阵特征值问题的数值解法课件57矩阵特征值问题的数值解法课件58矩阵特征值问题的数值解法课件59矩阵特征值问题的数值解法课件60矩阵特征值问题的数值解法课件61矩阵特征值问题的数值解法课件62两种特殊情况两种特殊情况63矩阵特征值问题的数值解法课件64矩阵特征值问题的数值解法课件65矩阵特征值问题的数值解法课件66矩阵特征值问题的数值解法课件67矩阵特征值问题的数值解法课件68幂法小结幂法小结69矩阵特征值问题的数值解法课件70二、幂法的加速

因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值，当比值接近于1时，幂法收敛很慢幂法加速有多种，以下介绍两种。二、幂法的加速因为幂法的收敛速度是线性的，71矩阵特征值问题的数值解法课件72矩阵特征值问题的数值解法课件73矩阵特征值问题的数值解法课件74矩阵特征值问题的数值解法课件75矩阵特征值问题的数值解法课件76矩阵特征值问题的数值解法课件77矩阵特征值问题的数值解法课件78

反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。三、反幂法反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向79矩阵特征值问题的数值解法课件80矩阵特征值问题的数值解法课件81矩阵特征值问题的数值解法课件82反幂法的一个应用反幂法的一个应用83矩阵特征值问题的数值解法课件84矩阵特征值问题的数值解法课件85矩阵特征值问题的数值解法课件86矩阵特征值问题的数值解法课件87§2Jacobi方法§2Jacobi方法88一、矩阵的旋转变换一、矩阵的旋转变换89矩阵特征值问题的数值解法课件90矩阵特征值问题的数值解法课件91二、Jacobi方法二、Jacobi方法92矩阵特征值问题的数值解法课件93矩阵特征值问题的数值解法课件94矩阵特征值问题的数值解法课件95矩阵特征值问题的数值解法课件96矩阵特征值问题的数值解法课件97矩阵特征值问题的数值解法课件98矩阵特征值问题的数值解法课件99一、基本QR方法§3.QR方法60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。一、基本QR方法§3.QR方法60年代出现的QR算法100矩阵特征值问题的数值解法课件101定理（QR方法的收敛性）定理（QR方法的收敛性）102矩阵特征值问题的数值解法课件103

可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝“基本”收敛于对角矩阵。

可证，在一定条件下，基本QR方法产生104因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时，A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法。因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵105矩阵特征值问题的数值解法课件106矩阵特征值问题的数值解法课件107矩阵特征值问题的数值解法课件108

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列矩阵相似变换将A约化成拟上三角矩阵(称为上Hessenberg矩阵)，然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩109矩阵特征值问题的数值解法课件110矩阵特征值问题的数值解法课件111矩阵特征值问题的数值解法课件112为了求矩阵特征值先进行初等变换把矩阵变成较简单形式为了求矩阵特征值先进行初等变换把矩阵变成较简单形式1138.3、豪斯豪尔德(Householder)方法1、豪斯豪尔德(Householder)变换8.3、豪斯豪尔德(Householder)方法1、豪斯豪尔114矩阵特征值问题的数值解法课件115矩阵特征值问题的数值解法课件116矩阵特征值问题的数值解法课件1172、化一般矩阵为拟上三角阵2、化一般矩阵为拟上三角阵118矩阵特征值问题的数值解法课件119矩阵特征值问题的数值解法课件120矩阵特征值问题的数值解法课件121矩阵特征值问题的数值解法课件122矩阵特征值问题的数值解法课件123矩阵特征值问题的数值解法课件124矩阵特征值问题的数值解法课件125矩阵特征值问题的数值解法课件1263、拟上三角矩阵的QR分解3、拟上三角矩阵的QR分解127矩阵特征值问题的数值解法课件128矩阵特征值问题的数值解法课件129矩阵特征值问题的数值解法课件130矩阵特征值问题的数值解法课件131矩阵特征值问题的数值解法课件132矩阵特征值问题的数值解法课件133矩阵特征值问题的数值解法课件134矩阵特征值问题的数值解法课件135矩阵特征值问题的数值解法课件136五、带原点移位的QR方法五、带原点移位的QR方法137矩阵特征值问题的数值解法课件138矩阵特征值问题的数值解法课件139矩阵特征值问题的数值解法课件140矩阵特征值问题的数值解法课件141矩阵特征值问题的数值解法课件142

第八章矩阵特征值和特征向量计算第八章矩阵特征值和特征向量计算143第一节引言第二节幂法及反幂法幂法加速方法反幂法第三节豪斯霍尔德方法正交相似变换(1)正交相似变换(2)第四节QR方法主要内容第一节引言主要内容144以下是一些准备知识

工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。8.1引言第八章.矩阵特征值和特征向量计算以下是一些准备知识工程实践中有多种振动问题，145矩阵特征值问题的数值解法课件146

但高次多项式求根精度低,一般不作为求解方法.目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.但高次多项式求根精度低,一般不作为求解147机器求解机器求解148定理1

定理1149矩阵特征值问题的数值解法课件150矩阵特征值问题的数值解法课件151矩阵特征值问题的数值解法课件152注注153重要结论亏损矩阵重要结论亏损矩阵154一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵，155矩阵特征值问题的数值解法课件156矩阵特征值问题的数值解法课件157矩阵特征值问题的数值解法课件158矩阵特征值问题的数值解法课件159则则160对于矩阵特征值界如何估计？对于矩阵特征值界如何估计？161称为称为162或者A的特征值都在复平面上n个圆盘的并集之中.(2)如果A的m个圆盘组成一个连通的并集S，且S与余下的

则S内包含A的m个特征值个圆盘是分离的，n-m或者A的特征值都在复平面上n个圆盘的并集之中.(2)如果A的163特别：若A的一个圆盘与其它圆盘是分离的即孤立的

中精确地包含A的一个特征值.,则特别：若A的一个圆盘与其它圆盘是分离的即孤立的164矩阵特征值问题的数值解法课件165矩阵特征值问题的数值解法课件166即结论得证.即结论得证.167矩阵特征值问题的数值解法课件168由上述定理结论可知A的三个特征值位于三个圆盘的并集中，由上述定理结论可知A的三个特征值位于169所以D1内恰包含A的一个实特征值由于D1是孤立的所以，所以D1内恰包含A的一个实特征值由于D1是孤立的所以，170问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？解决途径：若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围.事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的某些圆盘半径及连通性发生变化.问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？解决途径：171具体实施?具体实施?172矩阵特征值问题的数值解法课件173对上边同一例题对上边同一例题174矩阵特征值问题的数值解法课件175矩阵特征值问题的数值解法课件176幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的迭代方法。适合于大型稀疏矩阵反幂法是计算Henssenberg阵或对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法.§2.幂法和反幂法.一、幂法幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值适合于大型稀疏矩阵反幂法177且有完全的特征向量组即且有完全的特征向量组即178

构造一个向量序列幂法的基本思想：任意取一个非零的初始向量由矩阵A

构造一个向量序列幂法的基本思想：任意取一个非零的初始向量由179称为迭代向量。

由此计算特征值和特征向量。称为迭代向量。

由此计算特征值和特征向量。180矩阵特征值问题的数值解法课件181矩阵特征值问题的数值解法课件182矩阵特征值问题的数值解法课件183必有必有184矩阵特征值问题的数值解法课件185主特征值主特征值186即相邻两个迭代向量分量的比值收敛到主特征值.即相邻两个迭代向量分量的比值收敛到主特征值.187矩阵特征值问题的数值解法课件188矩阵特征值问题的数值解法课件189矩阵特征值问题的数值解法课件190注意注意191矩阵特征值问题的数值解法课件192矩阵特征值问题的数值解法课件193矩阵特征值问题的数值解法课件194矩阵特征值问题的数值解法课件195同上讨论有同上讨论有196矩阵特征值问题的数值解法课件197矩阵特征值问题的数值解法课件198矩阵特征值问题的数值解法课件199矩阵特征值问题的数值解法课件200矩阵特征值问题的数值解法课件201矩阵特征值问题的数值解法课件202矩阵特征值问题的数值解法课件203矩阵特征值问题的数值解法课件204两种特殊情况两种特殊情况205矩阵特征值问题的数值解法课件206矩阵特征值问题的数值解法课件207矩阵特征值问题的数值解法课件208矩阵特征值问题的数值解法课件209矩阵特征值问题的数值解法课件210幂法小结幂法小结211矩阵特征值问题的数值解法课件212二、幂法的加速

因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值，当比值接近于1时，幂法收敛很慢幂法加速有多种，以下介绍两种。二、幂法的加速因为幂法的收敛速度是线性的，213矩阵特征值问题的数值解法课件214矩阵特征值问题的数值解法课件215矩阵特征值问题的数值解法课件216矩阵特征值问题的数值解法课件217矩阵特征值问题的数值解法课件218矩阵特征值问题的数值解法课件219矩阵特征值问题的数值解法课件220

反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。三、反幂法反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向221矩阵特征值问题的数值解法课件222矩阵特征值问题的数值解法课件223矩阵特征值问题的数值解法课件224反幂法的一个应用反幂法的一个应用225矩阵特征值问题的数值解法课件226矩阵特征值问题的数值解法课件227矩阵特征值问题的数值解法课件228矩阵特征值问题的数值解法课件229§2Jacobi方法§2Jacobi方法230一、矩阵的旋转变换一、矩阵的旋转变换231矩阵特征值问题的数值解法课件232矩阵特征值问题的数值解法课件233二、Jacobi方法二、Jacobi方法234矩阵特征值问题的数值解法课件235矩阵特征值问题的数值解法课件236矩阵特征值问题的数值解法课件237矩阵特征值问题的数值解法课件238矩阵特征值问题的数值解法课件239矩阵特征值问题的数值解法课件240矩阵特征值问题的数值解法课件241一、基本QR方法§3.QR方法60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。一、基本QR方法§3.QR方法60年代出现的QR算法242矩阵特征值问题的数值解法课件243定理（QR方法的收敛性）定理（QR方法的收敛性）244矩阵特征值问题的数值解法课件245

可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则｛A(k)｝“基本”收敛于对角矩阵。

可证，在一定条件下，基本QR方法产生246因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时，A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法。因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵247矩阵特征值问题的数值解法课件248矩阵特征值问题的数值解法课件249矩阵特征值问题的数值解法课件250

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩