高考领航 高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式

选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(一)考纲点击1．能利用三个正数的算术平均—几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)．2．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．3．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．(一)考纲点击(二)命题趋势1．高考对本节重点考查含绝对值不等式的解法，及利用含绝对值的重要不等式证明不等式．2．考查形式多以选择、填空题形式考查绝对值不等式的解法和性质，解答题可能涉及两个绝对值，考查分类讨论，同解变形的数学思想方法．

(二)命题趋势1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

，当且仅当

时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么 |a－c|≤

， 当且仅当

时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥01．绝对值三角不等式|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－对点演练若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|＜a，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，由题意，a＞1.答案：(1，＋∞)对点演练2．绝对值不等式的解法 (1)不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a|x|x＞a，或x＜－a|{x|x≠0}R2．绝对值不等式的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔

；②|ax＋b|≥c⇔

.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式

(2)(2014·肇庆模拟)|x|2－2|x|－15＞0的解集是________． 解析：不等式化为(|x|－5)(|x|＋3)＞0， ∴|x|－5＞0， ∴|x|＞5， ∴x＞5或x＜－5. 答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)(2)(2014·肇庆模拟)|x|2－2|x|－15＞0的1．不等式|x－a|＋|x－b|≥c的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．2．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.1．不等式|x－a|＋|x－b|≥c的解就是数轴上到A(a)题型一绝对值不等式的解法 (2013·辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．题型一绝对值不等式的解法高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式【归纳提升】

形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法：(1)零点分段讨论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．(2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解．(3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解．【归纳提升】形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式【归纳提升】

对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．【归纳提升】对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a针对训练2．(1)(2014·广州一模)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是(

) A．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－4,2) D．[－4,1] (2)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．针对训练解析：(1)由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函数(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要满足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．(2)“|x＋1|＋|x－2|”的几何含义为点(x,0)到A(－1,0)和B(2,0)的距离之和，由图形可知其最小值为3，且|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，即(|x＋1|＋|x－2|)min≥a，∴a≤3.答案：(1)A

(2)(－∞，3]解析：(1)由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式【归纳提升】

含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．【归纳提升】含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简针对训练3．设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足|x－a|＜1.

求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3. 证明：法一：∵f(x)＝x2－2x， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a| ＝|(x－a)·(x＋a－2)| ＝|x－a||x＋a－2|＜|x＋a－2| ＝|(x－a)＋2a－2| ≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋2|a|＋2＝2|a|＋3， ∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.针对训练法二：|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|＝|x－a|·|x＋a－2|＜|x＋a－2|≤|x|＋|a－2|≤|x|＋|a|＋2＜|a|＋1＋|a|＋2＝2|a|＋3.(∵|x－a|＜1，∴|x|－|a|＜1，即|x|＜|a|＋1)∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.法二：|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|点击进入点击进入选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式选修4－5不等式选讲第1课时绝对值不等式(一)考纲点击1．能利用三个正数的算术平均—几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)．2．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．3．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．(一)考纲点击(二)命题趋势1．高考对本节重点考查含绝对值不等式的解法，及利用含绝对值的重要不等式证明不等式．2．考查形式多以选择、填空题形式考查绝对值不等式的解法和性质，解答题可能涉及两个绝对值，考查分类讨论，同解变形的数学思想方法．

(二)命题趋势1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤

，当且仅当

时，等号成立． (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么 |a－c|≤

， 当且仅当

时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥01．绝对值三角不等式|a|＋|b|ab≥0|a－b|＋|b－对点演练若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|＜a，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，由题意，a＞1.答案：(1，＋∞)对点演练2．绝对值不等式的解法 (1)不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a|x|x＞a，或x＜－a|{x|x≠0}R2．绝对值不等式的解法不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a{x(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔

；②|ax＋b|≥c⇔

.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式

(2)(2014·肇庆模拟)|x|2－2|x|－15＞0的解集是________． 解析：不等式化为(|x|－5)(|x|＋3)＞0， ∴|x|－5＞0， ∴|x|＞5， ∴x＞5或x＜－5. 答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)(2)(2014·肇庆模拟)|x|2－2|x|－15＞0的1．不等式|x－a|＋|x－b|≥c的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．2．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.1．不等式|x－a|＋|x－b|≥c的解就是数轴上到A(a)题型一绝对值不等式的解法 (2013·辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．题型一绝对值不等式的解法高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式【归纳提升】

形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法：(1)零点分段讨论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．(2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解．(3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解．【归纳提升】形如|x－a|±|x－b|≥c不等式的常用解法高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式【归纳提升】

对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．【归纳提升】对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a针对训练2．(1)(2014·广州一模)若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是(

) A．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－4,2) D．[－4,1] (2)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．针对训练解析：(1)由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函数(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要满足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．(2)“|x＋1|＋|x－2|”的几何含义为点(x,0)到A(－1,0)和B(2,0)的距离之和，由图形可知其最小值为3，且|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，即(|x＋1|＋|x－2|)min≥a，∴a≤3.答案：(1)A

(2)(－∞，3]解析：(1)由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式高考领航高考数学理一轮配套课件：x41-第1课时-绝对值不等式【归纳