初一数学知识点

初一知识点杨辉三角形基本性质杨辉三角有多种重要的性质。概述前提：端点的数为1.每个数等于它上方两数之和。每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。第n行的数字有n项。第n行数字和为2n-1。第n行的m个数可表示为

C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即

C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0;11=11^1;121=11^2……当n≥5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为25937424601=1110。应用性质5和性质7是杨辉三角的基本性质，是研究杨辉三角其他规律的基础。与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。例如在杨辉三角中，第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数（性质8），第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数，即，以此类推。又因为性质5：第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。数在杨辉三角中的出现次数由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞,1,2,2,2,3,2,2,2,4,2,2,2,2,4,...（OEIS:A003016）。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2,3,6,10,120,120,3003,3003,...（OEIS:A062527）除了1之外，所有正整数都出现有限次，只有2出现刚好一次，6,20,70等出现三次；出现两次和四次的数很多，还未能找到出现刚好五次的数。120,210,1540等出现刚好六次。（OEIS:A098565）因为丢番图方程

有无穷个解，所以出现至少六次的数有无穷个多。解为，其中Fn表示第n个斐波那契数（F1=F2=1）。3003是第一个出现八次的数。糖水不等式a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），则糖的质量和糖水的质量比为：b/a，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：(b+c)/(a+c)。生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：(b+c)/(a+c)>b/a(a>b>0,c>0)。趣称之为“糖水不等式”。证明方法作差法有分数

，在分子分母同时加上一个

，即：则用作差法表示为：∵a>b>0,c>0∴∴一个真分数在分母分子同时加上一个正数时，分数将变大。正如同糖水里加糖会越来越甜。糖水不等式：成立。作商法根据作商法可知：若糖水不等式成立，则不等式：也成立。由不等式左边得：即：∵a>b>0且c>0∴ab>0,ac>bc>0即：∴不等式：成立，糖水不等式：也成立。分析法由不等式的基本性质和糖水不等式有：⇒⇒⇒⇒⇒⇒∵c>0∴此等式成立，糖水不等式：也成立。公式拓展有分数

，在分子分母同时加上一个

，即：始终有：直线、射线、线段丰富的图形世界有理数四则混合计算：整式概念及加减运算平面图形及位置关系一次一元方程统计与知识回顾5.补充：1.劣角：0°＜劣角＜180°优角：180°＜优角＜360°2.随便画一个角，其实有两个角，只要小角≠90°，那小角是劣角，大角是优角。作商法是一种简易的比较两数或两式的方法比如说有两个数a和b。a/b与1比较，大于1则a大,小于1则b大，等于1则等大1、若a>0，b>0，a不等于b。比较a与b的大小。2、若a<0,b<0,a不等于b。比较a与b的大小[pre]关键是把两个数的商约分后化简，从而判断它们的商有理数有理数加减法：有理数乘除法：有理数的乘方：一元一次方程一元一次方程：等式的性质：其他：四边形简介凸四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。平行四边形(包括：普通平行四边形,矩形,菱形,正方形)。梯形(包括:普通梯形,直角梯形,等腰梯形)。凸四边形的内角和和外角和均为360度。凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。不做重点研究。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。折四边形四个顶点在同一平面内，且有一组对边相交的四边形。平行四边形定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。\o"平行四边形"平行四边形性质（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）判定（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”）（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）面积平行四边形的面积公式：底×高用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S=ah周长平行四边形的周长=2×两邻边的和，用“a”、“b”表示两邻边，“C”表示平行四边形的周长，则C=2（a+b）矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle).\o"矩形"矩形性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线平分且相等..判定①有一个角是直③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤有三个角是直角的四边形是矩形.面积设矩形的两条邻边长分别为a,b，则面积(S)为ab.周长设矩形的两条邻边长分别为a,b，则周长（C)为2(a+b).菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus).\o"菱形"菱形性质①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形面积①对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx周长菱形周长=边长×4用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a正方形定义有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square)。性质①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。判定因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以判定正方形有三个途径：①有一组邻边相等的矩形是正方形。（矩形+有一组邻边相等=正方形）②有一个角是直角的菱形是正方形。（菱形+有一个角是直角=正方形）③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形。面积①正方形面积=边长的平方S=a×a（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）。②对角线乘积的一半。周长正方形周长=边长×4用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a梯形定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形）。\o"梯形"梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isoscelestrapezium)。直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个内角相等；3、等腰梯形的对角线相等(可能垂直）；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形。2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3、对角线相等的梯形是等腰梯形。面积1、梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷22、梯形面积=梯形中位线×高周长梯形的周长=上底+下底+腰+腰用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰，“C”表示梯形的周长则c=a+b+c+d圆内接四边形定义四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。\o"圆内接四边形"圆内接四边形性质1、圆内接四边形的对角互补。2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。（托勒密定理）判定如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。面积圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。（a,b,c,d为四边形的四边长,其中P=(a+b+c+d)/2对角线定义连接四边形任意两个不相邻顶点的线段（四边形有两条对角线）。性质四边形面积等于两条对角线的积的一半。例：四边形ABCD中，AC⊥BD，则S□ABCD=1/2·AC·BD特殊对角线垂直的特殊四边形有：菱形、正方形、特殊梯形。不稳定性四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。轴对称图形定义在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形（axialsymmetricfigure)，这条直线叫做对称轴(axisofsymmetric)，并且对称轴用点画线表示；这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。比如圆、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等。举例例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对\o"轴对称图形2示例"轴对称图形2示例称图形.圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线。大写字母A、B、C、D、E、H等等性质1.对称轴是一条直线。2.在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。3.在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。4.如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称点所连线段。5.图形对称。\o"美丽的剪纸（轴对称图形）"美丽的剪纸（轴对称图形）定理定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理3：两个图形关于某条直线对称，如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。定理3的逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。生活作用\o"轴对称设计的天安门"轴对称设计的天安门1、为了美观。比如天安门，对称就显的美观漂亮；2、保持平衡。比如飞机的两翼；3、特殊工作的需要。比如五角星，剪纸。对称方法方法1、找出所给图形的关键点。2、找出图形关键点到对称轴的距离。3、找关键点的对称点。4、按照所给图形的顺序连接各点。\o"蝴蝶也是一种轴对称图形"蝴蝶也是一种轴对称图形画法1、找出图形的一对对称点。2、连接对称点。3、过这条线段的中点作这条线段的垂线。区别区分这两个概念要注意：轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合。实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形。现将小学课本中常见的图形归类如下：既是轴对称图形又是中心对称图形的有：长方形，正方形，圆，菱形等。只是轴对称图形的有：角，五角星，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等等。只是中心对称图形的有：平行四边形。既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等。一个图形既轴对称又中心对称一定有两条或两条以上的对称轴勾股定理勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，(a,b,c)叫做勾股数组。勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了勾股定理。定理定义如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。勾股定理是余弦定理中的一个特例。定理推广勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足

，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理是判断三角形为钝角、锐角或直角的一个简单的方法（依据），其中c为最长边：如果

，则△ABC是直角三角形。如果

，则△ABC是锐角三角形。（若无先前条件C为最长边，则仅满足∠C是锐角）如果

，则△ABC是钝角三角形。《几何原本》：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。推导过程勾股圆方图《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”用现代的数学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面积减去四个朱实的面积，即2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标即为该图。加菲尔德证法变形该证明对切即为加菲尔德证法。大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即\o"图示"图示青朱出入图\o"青朱出入图"青朱出入图青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。加菲尔德证法加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国总统，所以人们又叫它总统定理。在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，

，

，∵欧几里得证法在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。\o"欧几里得证法"欧几里得证法(2张)在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。因为A与K和L在同一直线上，所以四方形BDLK=2△ABD。因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。因此四边形BDLK=BAGF=AB²。同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。适用范围利用勾股定理求线段长度这是勾股定理的最基本运用，通常是在一个直角三角形中，已知两条边的长度，求第三边。对于这类问题，可以直接代入公式进行计算，比较容易。在许多题目中，都可能出现这一小步骤来解决许多大题。发展简史中国公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。外国在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个证明。1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。1940年《毕达哥拉斯命题》出版，收集了367种不同的证法。定理影响勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一，对数学的发展产生了不可小视的影响。勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题，正是“数形结合”思想的体现，这样的思想角度是十分重要的。同时，勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索；通过勾股定理，我们可以推导出许多其它真命题与定理，这大大地方便了我们对几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。方程中的设元组合数定义从m个不同元素中取出n（n≤m）个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数（Combination）。公式在线性写法中被写作C(m,n)。c(m,n)=p(m,n)/n!=m!/((m-n)!*n!)性质1.互补性质组合数性质如右图所示：即从m个不同元素中取出n个元素的组合数=从m个不同元素中取出(m-n)个元素的组合数组合数性质；这个性质很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。规定：C(m,0)=12.组合恒等式若表示在n个物品中选取m个物品，则如存在下述公式：C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)变换技巧举例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。（我不会用求和的符号）公式1：C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）证明：方法1、可直接利用组合数的公式证明方法2、（更重要的思路）C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。从M个物品中任意指定一个。则选出N个的方法中，包含这一个的有C（M-1，N-1）种，不包含这一个的有C（M-1，N）种。因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）公式2：S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）（M》=N）证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。则选出N个的方法可分类为：包含1号的有C（M-1，N-1）种；不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；。。。。。。不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种。。。。。。不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C（N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）公式3：S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）（P，Q）=N）证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。而公式里面的K表示选法中正品数量，C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）公式4（一种变换技巧）：S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）证明：S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=1，N）K*C（M，K）=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）证明：（类似上式）S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？解：（本题利用公式3、4、5）有K件次品的概率为：P（K）=C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）E（X）=S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，149）1000*C（999，K）*（14000，149-K）/C（15000，150）=1000*C（14999，149）/C（15000，150）=10D（X）=S（K=0，150）（K-10）*（K-10）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，150）（K*K-K-19*K+100）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，150）K*（K-1）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）-19*S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=S（K=0，148）1000*999*C（998，K）*C（14000，148-K）/C（15000，150）-19*S（K=0，149）*1000*C（999，K）*C（14000，149-K）/C（15000，150）+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）=1000*999*C（14998，148）/C（15000，150）-19*1000*C（14999，149）/C（15000，150）+100=138600/14999=9.240616041此题推广形式为：设M件产品中有P件次品，从中拿出N件（N《=P），求得到次品数的期望和方差？E（X）=P*N/MD（X）=P*（P-1）*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（1-2*P*N/M）*P*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（P*N/M）^2例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。解：射中R次，使用的射击次数为K次(K>=R)，则前K-1次射中R-1次，第K次射中了，概率为：P（K）=C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)(以下暂时用W表示无穷大）射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次因此S（K=R，W）P（K）=1（这是概率的特点）即：S（K=R，W）C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=1以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。E（X）=S（K=R，W）K*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）K*（K-1）！/（R-1）！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）R*K！/R！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）R*C（K，R）*P^R*(1-P)^(K-R)=R/P*S（K=R，W）C（K，R）*P^（R+1）*(1-P)^(K-R)令K1=K+1，R1=R+1，则E（X）=R/P*S（K1=R1，W）C（K1-1，R1-1）*P^R1*(1-P)^(K1-R1)利用以上公式得E（X）=P/RD（X）=S（K=R，W）（K-R/P）^2*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）（K*K-2*K*R/P+R*R/P/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）[K*（K+1）-（K+2*K*R/P）+R*R/P/P]*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=S（K=R，W）[K*（K+1）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)-S（K=R，W）（K+2*K*R/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)+S（K=R，W）R*R/P/P*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=（推导过程同求E（X），略）=R（R+1）/P/P-（2*R+P）*R/P/P+R*R/P/P=（1-P）*R/P/P组合恒等式性质基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)应用(一)多项式的求和例一∑i^2=∑i(i-1)+∑i=2∑C(2,i)+∑C(1,i)=2C(3,n+1)+C(2,n+1)=(n+1)n(n-1)/3+(n+1)n/2=(1/6)n(n+1)(2n+1)例二∑i^3=∑(i+1)i(i-1)+∑i=6∑C(3,i+1)+∑C(1,i)=6C(4,n+2)+C(2,n+1)=(n+2)(n+1)n(n-1)/4+(n+1)n/2=[n(n+1)/2]²例三∑i^4=∑(i+1)i(i-1)i+∑i^2=∑(i+1)i(i-1)(i-2)+∑i^2+2∑(i+1)i(i-1)=∑(i+1)i(i-1)(i-2)+∑i(i-1)+∑i+2∑(i+1)i(i-1)=24∑C(4,i+1)+12∑C(3,i+1)+∑C(1,i)+2∑C(2,i)=24C(5,n+2)+12C(4,n+2)+C(2,n+1)+2C(3,n+1)=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30一般地，我们有i^n=i!+(n-1)A(n-1,i)+(n-2)A(n-2,i)+...+1*A(1,i)设i(max)=m从而∑i^n=∑i!+(n-1)∑A(n-1,i)+...+∑A(1,i)=∑C(n,i)/n!+∑C(n-1,i)/(n-2)!...+∑C(1,i)/0!=C(n+1,m+1)/(n+1)!+C(n,m+1)/(n-1)!+...+C(2,m+1)/0!该式展开后可用于i<n+1时的级数求和，不展开只可用于i>=n+1的求和系数概念代数式的单项式中的数字因数叫做它的系数(coefficient).单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数.如abc的系数是1,次数是3。系数的字面意思：有关系的数字。比如说代数式"3x",它表示一个常数3与未知数x的乘积，即表示3×x，等于x+x+x。“3x”代表一个数值，这个数值只与x有关系，是什么关系呢？“3”便是说明了关系——是3个它相加的和。所以，“系数”可以解释为“有多少个未知数（相加的和）。在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数。不含未知数的项，称为常数项。例如：1，2，3，100等这样的数。含义这里“系数”这个词的用法与它的原本用法不太相同，但仍可以借用。假设所要反映的社会关系为3x=y,x代表基本情况（人口、资源等事实），不同的国家有不同的情况，3则代表那个数系——表示关系的数字，这么一乘我们就可以得出，它所要勾画的相应国家的实际情况了，即得数y。当然，这样做是否能真实地反映实际社会关系倒不一定。数学总结。讨论数学问题时，在与特定的变量(或未知函数)及其导数有关的表达式或方程中，与未知数相乘的已知函数或常数称为系数。在物理学﹑工程，电脑技术及其他方面，也广泛使用系数这一名词。如一个量的部分值与总值之比，或一个量的变化与另一些量的变化之间关系式中的某些有关的数，都称系数。这时在系数之前常冠以有关现象或事物的专名，如"膨胀系数"﹑"石碳酸系数"等。

单项式中的数字因数也叫做这个单项式的系数.

多项式中最高次幂项的因数叫做这个多项式的系数。单项数中的的数字因数为它的系数。举例式子系数14m14123x123上表中的14m的系数是14。123x的系数是123。函数关系式y=x+6与y=x中的单项系数相同，都是1。注意1.通常系数不为0.2.在多项式中含有字母的项，该项的整数部分称作是该项的系数，不含字母的项称作常数项。如多项式：4ab-5c+6d-7中，4、-5、6分别是含有字母的项ab、c、d的系数，而-7这项不含有字母，所以称作为常数项。3.如式子中没有数字，系数的默认情况下是为1或-1。例：-x系数：-1；x系数：14.次数指单项式中所有字母的指数的和。5.分数的系数，例：-3πxy÷2的系数为-3÷2。6.π是数字，不要误认为是字母。如3πm的系数是3π，次数是1。在算术中，如3π+6+9，则结果为3π+15，π不需保留两位小数常数项常数项多项式中，每个单项式上不含字母的项叫常数项（constantterm）。常数常数，就是除了字母以外的任何数，包括正负整数和正负小数、分数、0。一个数学常数，是指一个数值不变的常量，与之相反的是变量。跟大多数物理常数不一样的地方是，数学常数的定义是独立于所有物理测量的。常数项的次数单项式的次数是各字母的指数和，常数项没有字母，所以次数为0。关于常数项的次数，也可以这样理解：给常数配上一个不等于0的且指数为0的字母因数（非零的零次幂等于1），显而易见，常数项的次数为0.比较特殊的，0也是常数项，但0却没有次数。还有一个需要注意的，π和e。不是字母，而是常数项。例如有人问你πab的系数是多少，千万不能答1，而应该答π。因为π表示的是一个具体的数：3.1415926……所以π也是一个常数项。e=2.718281828459......因此，常数项（除0外）的次数都为0.举例在多项式6X-2X+7中，6X、-2X和7是它的项，其中7是常数项；在多项式x^2+2x+18中，它的项分别是x^2，2x和18，其中18是常数项；在多项式5x2-3x+4中,5x2,-3x,4是它的项，4是它的常数项。斐波那契数来源首先介绍斐波那契数列，斐波那契数列的排列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……依次类推下去，你会发现，它后一个数等于前面两个数的和。在这个数列中的数字，就被称为斐波那契数。2是第3个斐波那契数。这个级数与大自然植物的关系极为密切。几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字：菠萝表皮方块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线，它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字（如左旋8行，右旋13行）；还有向日葵花盘……倘若两组螺线条数完全相同，岂不更加严格对称？可大自然偏不！直到最近的1993年，人们才对这个古老而重要的级数给出真正满意的解释：此级数中任何相邻的两个数，次第相除，其比率都最为接近0.618034……这个值，它的极限就是所谓的"黄金分割数"。特别指出：0不是第一项，而是第零项。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。定义斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发现者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》（LiberAbacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于眼下的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。通项公式递推公式斐波那契数列：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+）。那么这句话可以写成如下形式：显然这是一个线性递推数列。通项公式(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时a1=1，a2=1，an=an-1+an-2（n>=3,n∈N*）公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：解得则F(n)=C1*X1n

+C2*X2n。C1*X12

+C2*X22。解得

。∴

（√5表示根号5）。方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s。使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。则r+s=1，-rs=1。n≥3时，有。F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。……F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。联立以上n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[sn-2]*[F⑵-r*F⑴]。∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。上式可化简得：F(n)=sn-1+r*F(n-1)。那么：F(n)=sn-1+r*F(n-1)。=sn-1+r*sn-2+r2*F(n-2)。=sn-1+r*sn-2+r2*sn-3+r3*F(n-3)。……=sn-1+r*sn-2+r2*sn-3+……+rn-2*s+rn-1*F⑴。=sn-1+r*sn-2+r2*sn-3+……+rn-2*s+rn-1。（这是一个以sn-1为首项、以rn-1为末项、

为公比的等比数列的各项的和）。=

。=

。r+s=1，-rs=1的一解为

。则

。方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。得α+β=1。αβ=-1。构造方程x2-x-1=0，解得

或。所以。

……①

……②由式1，式2，可得。

……③

……④将式③*

-④

，化简得

。关系它有一个递推关系，f(1)=1f(2)=1f(n)=f(n-1)+f(n-2),其中n>=23f(n)=f(n+2)+f(n-2)数列(n=1,2,3……）这个通项公式中虽然所有的an都是正整数，可是它们却是由一些无理数表示出来的。可用特征根法求的这个数列通项公式。游戏有一种两人游戏，名叫“尼姆”。游戏方法是由两个人轮流取一堆粒数不限的砂子。先取的一方可以取任意粒，但不能把这堆砂子全部取走。后取的一方，取数也多少不拘，但最多不能超过对方所取砂子数的一倍。然后又轮到先取的一方来取，但也不能超过对方最后一次所取砂子的一倍。这样交替地进行下去，直到全部砂子被取光为止，谁能拿到最后一粒砂子，谁就算胜利者。在这个游戏中，若所有砂子的粒数是个斐波那契数的话，那么后取的一方稳操胜券，但所有的砂子不是一个斐波那契数的话，那么先取的一方稳胜。例子：共有5个A拿1B就拿1A如果1还剩2个，B拿2个赢了A如果拿2，还剩一个，B拿1个赢了A如果拿3，还剩2个，B拿1个，A就赢了？相关应用生物应用斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。斐波那契数在植物叶片排列中展现斐波那契数与植物花瓣3………百合和蝴蝶花5………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………翠雀花13………金盏和玫瑰21………紫宛34、55、89……………雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。黄金分割随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……杨辉三角左对齐公式表示如下：f⑴=C(0,0)=1。f⑵=C(1,0)=1。f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。……F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m)(m<=n-1-m)质数数量斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除，.......我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）斐波那契数列的素数无限多吗？尾数循环斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。自然界中自然界中的斐波那契数列斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。数字谜题自然界中的斐波那契数列三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~在FOX热播美剧《Fringe》中更是无数次引用，甚至作为全剧宣传海报的设计元素之一。无限不循环小数简介无限不循环小数指小数点后有无限个数位,但没有周期性的重复,或者说没有规律的小数。所以数学上又称无限不循环小数为无理数(如圆周率π，希腊字母，音pài),把其他一切实数都称为有理数。无理数的类型无理数大致分为三个类型1、带根号开方开不尽（如根号2）2、与π和e有关（如π+2）3、按一定规律但不循环（如0.1010010001……也被称为构造性无理数）[1]数学运算首先明确一点无限不循环小数

是不能转化成分数的那么无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小