等离子体的平衡方程课件

课堂小测试（2007.11.16）：1）请给出等离子体的振荡频率，及外磁场B中的回旋频率公式。2）给出德拜长度的公式，并简要说明其物理意义3）请写出等离子体粒子的F力场中的漂移公式4）请写出非磁化等离子体中的高频电磁波的色散关系。5）请给出磁声波、阿尔芬波的色散关系，并解释它们的激发机制。6）“静电波是纵波，电磁波是横波”对吗？为什么？7)现在经常采用波加热的方式提高等离子体能量，如果采用电子回旋波加热等离子体，你认为是左旋波还是右旋波，请简要说明加热机制。ECR：ElectronCyclotronResonace课堂小测试（2007.11.16）：1）请给出等离子体的振阿尔芬波色散关系：阿尔芬波基本以恒定速度沿B0传播。阿尔芬波的形成机制：扰动磁场叠加在外场上，导致磁力线弯曲，磁力线中产生产生磁张力；等离子体的磁冻结效应使得等离子体流体元粘附在磁力线上，即这时磁力线可以看成是有一定质量和一定张力（磁张力）的“弹性弦”，磁张力提供了磁场垂直方向的恢复力，使得流体元振动沿磁力线传播，形成阿尔芬波。zyB1B0B=B0+B1OO′A●⊙x,E1K阿尔芬波色散关系：阿尔芬波基本以恒定速度沿B0传播。阿尔芬波磁场扰动B1//B0，叠加到本底磁场上引起磁力线的疏密变化，此时除了压缩引起的热压力恢复力之外，磁压力也充当恢复力，因此磁声波的相速度大于普通声速。磁声波色散关系：取z轴沿B0方向，扰动电场在x轴方向，扰动磁场沿z轴方向，波矢k沿y轴方向。这时，等离子体离子电漂移E1xB0沿波传播的方向，在振荡过程中等离子体将被压缩，热压力是磁声波的恢复力之一。B0B1yzxE1k磁场扰动B1//B0，叠加到本底磁场上引起磁力线的疏密变化，第五章等离子体的平衡与稳定等离子体的平衡和稳定的概念产生于核聚变研究过程。核聚变等离子体温度非常高，带电离子的动能达到10keV（相当于1亿K），任何实物容器都无法承受这样高的温度，必须采用特殊的容器来“装”（即约束）聚变等离子体。在实验室内通过约束等离子体的方法主要有两种类型，即惯性约束和磁约束。第五章等离子体的平衡与稳定等离子体的平衡和

磁约束是利用磁场将高温等离子体约束在一定的区域内，使等离子体达到聚变点火条件。磁约束的基本问题是如何利用磁场把一定密度（n～1020/米3）的高温等离子体（Ti～10keV）在不和器壁接触的情况下稳定的约束足够长的时间（nτ>1020/米3，劳逊条件），产生净能量增益。为此，首先需要使等离子体处于平衡状态；其次这个平衡状态必须是宏观稳定的，即任何偏离平衡的扰动不随时间无限增长，最后，还必须使横越磁场的粒子和热的输运充分地小，这主要和等离子体的微观不稳定性有关。

惯性约束是利用强激光束或者相对论电子束球形对称地辐照一个尺寸极小的聚变靶材，使靶材在极短时间内达到高温高密度状态，等离子体由于惯性在极短时间内来不及飞散，从而使等离子体内产生聚变反应。磁约束是利用磁场将高温等离子体约束在一定的区域§5.1平衡和稳定的概念§5.2磁流体力学平衡§5.3等离子体不稳定性§5.1平衡和稳定的概念§5.1平衡和稳定的概念平衡是指所有外力相抵消的物理状态，等离子体的平衡理论描述的是被磁场约束的等离子体的力学平衡问题，通常指需考虑等离子体的动力压强与磁力平衡。稳定是指平衡状态发生偏移后能不能回复到原先的平衡状态，或者小扰动是否能被阻尼。在平衡和稳定性这两个问题中，稳定性比较好处理，因为稳定问题考虑的是小扰动，因而可以借助线性化方法求解问题，而平衡问题通常类似与扩散这样的非线性问题，不太容易处理。§5.1平衡和稳定的概念平衡是指所有外力相抵消的物理状态，力学平衡和稳定的概念示意图力学平衡和稳定的概念示意图§5.2磁流体力学平衡

5.2.1平衡方程

我们先研究等离子体处于静止状态的最简单情形，当然等离子体是一种流动性很大的介质，在实际条件下很少处于静止状态。由MHD方程组中运动方程因为处于静止状态，所以左边的项等于零，则得平衡方程2）▽p、j、B三者互相垂直，即j、B处于等压面上，不会穿越等压面。等压面3）▽p垂直于B，说明沿着磁力线压强相等，如果温度保持恒定，则沿着磁力线等离子体的密度相等。平衡的理想等离子体的特点：1）热压强梯度被洛仑兹力所平衡§5.2磁流体力学平衡我们先研究等离子体处于静止状态的最令磁流体力学方程组中E0＝V0＝0，与时间有关的项∂/∂t=0，可以得到：5.2.2比压β

n是磁力线曲率半径的单位矢量令磁流体力学方程组中E0＝V0＝0，与时间有关的项∂/∂t=当磁力线是直线的时候，R→∞，等离子体平衡条件为：这个关系式在整个等离子体区都应当被满足，特别是如果等离子体有锐边界，而等离子体内部的磁场为零，则有Be为外磁场在等离子体边界的强度，这时等离子体的热压力被磁压力所平衡，等离子体被磁压力约束在一个有限的区域内。由于磁场会向等离子体的内部扩散，磁场和等离子体之间没有一个明确的边界，实际的磁约束是使磁场扩散的速度足够慢，这样在等离子体和磁场的模糊边界上，磁场仍然能够提供磁压力约束等离子体。在要实现磁约束，必须先产生等离子体后产生磁场，因为先产生的等离子体的电导率高，可以有效的降低磁场的扩散速度。如果先建立磁场后产生等离子体，则磁场会被冻结在等离子体当中，只能起到稳定等离子体宏观流动的作用。当磁力线是直线的时候，R→∞，等离子体平衡条件为：这个关系式表明当压强分布为中心高边缘低的分布时，平衡条件要求磁场位形是呈中心弱边缘强的“磁阱”结构。等离子内部的磁场总是小于外部的磁场，这时由于等离子体产生的逆磁电流削弱了外加磁场，用磁场叉乘平衡方程可以得到逆磁电流的表达式等离子体平衡条件通常我们希望能用较小的磁场约束较高热压强的等离子体，为了表示磁场约束等离子体的效率，通常引入比压β：则β的取值范围是0<β≤1，β愈大，同样强度的磁场所能约束的等离子体压强愈大。低β装置：0<β<<0.1，等离子体对磁场的屏蔽效应弱，内外场几乎一样。高β装置：0.1≤β<1,等离子体的n和T很大，σ很大，等离子体有显著的抗磁性。表明当压强分布为中心高边缘低的分布时，平衡条件要求磁场位形是5.2.3磁面和磁通

磁面是一组有磁力线组成的空间曲面，如果一条磁力线和一个磁面相交，则这条磁力线就完全落在这个磁面上，磁面的法线和磁场垂直。设想一根磁力线绕着一个轮胎形状的环不断延伸，越来越稠密地覆盖在环面上，当抽掉环之后，就会出现一个有磁力线构成的环形磁面，这就是托克马克上面的磁位形结构。托克马克磁场位形可以看成是一层套着一层的嵌套磁面构成的，最里面的磁面退化称一根首尾相接的磁力线，称为磁轴。通常称沿着环的长周方向为环向，沿着环的短周方向为极向。有一些磁力线在沿环向走了有限圈之后，会自我闭合，则该磁力线所在的磁面称为有理磁面，否则称为无理磁面。每个有理磁面总是套在无理磁面之间，就像没有有理数夹在两个无理数之间一样。5.2.3磁面和磁通磁面是一组有磁力线组成的空间曲面，如在许多情况下，需要研究的不是单根磁力线，而是一束磁力线，在图示的周对称磁场位形中考虑在中心平面的圆截面内一束磁力线，该截面内的一束磁力线可以用磁通量表示，磁通就是通过一给定曲面的磁力线的总量：如果截面离开中心面，沿着磁力线移动，可以发现Ψ＝const的面始终包裹着同一束磁力线，当然磁场不均匀的时候，截面的形状大小会发生变化，因此磁面就是磁通为常数的面磁面和磁通的关系：1）磁场B的磁力线都位于Ψ具有不同值的各个磁面内；2）磁面的梯度▽Ψ垂直与磁场B。在许多情况下，需要研究的不是单根磁力线，而是一束磁力线，在图柱位形纵向磁通柱位形极向磁通环位形环向磁通环位形极向磁通柱位形和环位形的磁通柱位形纵向磁通柱位形极向磁通环位形环向磁通环位形极向磁通柱位等离子体的平衡方程：平衡时等离子体压强沿着磁力线和电流线没有梯度，即磁力线和电流线都位于等压面，磁面就是等压面，压强p和电流密度J可以写成磁面以及磁通的函数。等离子体的平衡方程：平衡时等离子体压强沿着磁力线和电流线没有5.2.3一维Grad-Shafranov方程(柱对称位形的平衡)Grad-Shafranov方程是任一截面的轴对称环形磁场中的等离子体平衡方程，在此处理最简单的轴对称，即圆柱对称。设等离子体圆柱中的电流密度为J＝[0，Jθ(r)，Jz(r)]，约束磁场为B＝[0，Bθ(r)，Bz(r)]，则电流线和磁场均为螺旋线，则压力p，电流j磁场B在等离子体平衡时满足方程：在此位形下，平衡方程分量形式为：Bθ：极向磁场；Jθ：极向电流密度Bz：纵向磁场；Jz：纵向电流密度5.2.3一维Grad-Shafranov方程Grad-极向磁通：柱位形极向磁通L柱坐标下有B＝[0，Bθ(r)，Bz(r)]极向磁通：柱位形极向磁通L柱坐标下有B＝[0，Bθ(r)，B令则极向电流密度为代入平衡方程（*）式，有一维Grad-Shafranov平衡方程令则极向电流密度为代入平衡方程（*）式，有一维Grad-S§5.3等离子体不稳定性当出现小扰动后，等离子体能否维持原先的平衡状态决定了该平衡状态是否稳定。一般所说的等离子体平衡是指等离子体处于力学平衡状态，平衡方程的解可以与时间无关。但是当等离子体不处在热力学平衡状态，比如等离子体的宏观参量、磁场空间不均匀，或者带电粒子的速度不是麦克斯韦分布，即使等离子体满足了平衡条件，也是一种不稳定或压稳定平衡。如果一个初始扰动出现后，等离子体受到的合外力使得初始扰动进一步增长，平衡状态就会被破坏，也就无法有效地约束等离子体，所以分析不稳定性的产生机制，进而找到抑制不稳定性的措施，是等离子体约束研究的一个重要课题。§5.3等离子体不稳定性当出现小扰动后，等离§5.3.1等离子体不稳定的分类宏观不稳定性等离子体的宏观参数如温度、压强、密度等热力学参量的空间局部化和不均匀性，这时等离子体再可空间的整体形状通常货发生改变，所以也称为位形空间不稳定性。微观不稳定性等离子体的速度分布函数偏离麦克斯韦分布导致的不稳定性，也称为速度空间不稳定性。宏观不稳定性通常用磁流体力学方程进行分析，故也称为磁流体力学不稳定性，而微观不稳定性则用动力论方程进行分析，因而也叫动动力学不稳定性。§5.3.1等离子体不稳定的分类宏观不稳定性宏观不稳定性宏观不稳定性和微观不稳定性还可以进一步分为静电不稳定性和电磁不稳定性。静电不稳定性是与电荷分离及其积累和增长有关的不稳定性。电磁不稳定性是与电流密度的积累增长有关的不稳定性。等离子体的不稳定性也可以按照驱动不稳定性的能量进行分类。磁能驱动的不稳定性称为电流不稳定性；等离子体密度和温度（即等离子体压强）的空间梯度产生的等离子体膨胀能引起漂移不稳定性（或普适不稳定性）；以及和等离子体的非麦克斯韦速度分布或者压强各向异性项对应的自由能引起速度空间不稳定性。宏观不稳定性和微观不稳定性还可以进一步分为静电不稳定性和电磁§5.3.2等离子体不稳定性的分析方法研究等离子体不稳定性通常采用直观分析、简正模分析和能量原理分析等分析方法。直观分析法直观分析法是对平衡位形施加某种扰动后分析作用于等离子体上的力的变化，如果扰动引起的作用力引起起始扰动动增长，则等离子体是不稳定的，反之扰动引起的作用力指向使起始扰动减小的方向，则等离子体稳定。这种分析方法能给出直观的物理解释，能帮助人们了解不稳定性的物理机制，并且是进一步进行理论分析的基础。但是给不出不稳定性的增长率等信息。§5.3.2等离子体不稳定性的分析方法研究等离子体不稳定简正模分析法简正模分析法是将不稳定性(振荡)的增长作为本征值问题来处理的一种方法。将随时间变化的扰动量(速度、电场、密度等）q（r，t）写成傅里叶分量形式：将它代入线性化的磁流体力学方程，同时考虑边界条件，解方程组，就可以得到色散关系D（ω，k）＝0。如果从色散关系得到的所有简正模式的ω均为实数，则所有扰动变量将做简谐振荡，这时等离子体是稳定的；如果至少有一个ω具有正虚部，则该扰动模式将随时间按eγt指数增长，系统不稳定。这种分析方法能够给出平衡位形稳定性的完整的信息。不过除了简单的位形外，本征方程通常很难解。简正模分析法将它代入线性化的磁流体力学方程，同时考虑边界条件能量原理分析法力学稳定性理论告诉我们，如果一个力学系统处于位能极小的平衡状态，则平衡为稳定平衡，能量原理就是根据这个一般性原理分析等离子体稳定性的一种方法。在用能量原理进行稳定性分析的时候，必须计算微小而有限的扰动所引起的原平衡位形的位能变化。如果对于满足给定边界条件的所有扰动，位能变化为正，则等离子体是稳定的；如果至少有一种扰动会引起位能变化为负，则系统不稳定。这种方法不需要求解基本方程，可以处理简正模分析没法处理的复杂位形。能量原理分析法§5.3.3几种常见的等离子体不稳定性

一、瑞利－泰勒（RT）不稳定性▽ρρ1ρ2ρ1>ρ2－▽G体系的流体方程为：（平衡时u0＝0）假定交界面上出现微扰，则当密度梯度和重力方向相反时，ω2<0，流体会产生不稳定性；如果交界面扰动的波数为k，重力驱动的RT不稳定性的增长率为（gk）1/2。

RT不稳定性是一种经典的流体不稳定性，瑞利早在1883年对这种不稳定性进行了理论研究，泰勒后来进行了推广并通过实验进行了验证。因为这种不稳定性由重力驱动，所以也称重力不稳定性，由于平衡被破坏之后，轻重流体会交换位置，所以又被称为交换不稳定性。§5.3.3几种常见的等离子体不稳定性▽ρρ1ρ2ρ1>ρ2重力驱动的磁约束等离子体RT不稳定性如图所示的平衡位形中，均匀的等离子体充满x＝0平面上方的空间，重力沿x方向作用在等离子体上，等离子体内外有z方向的均匀磁场，磁压强差与重力相平衡。在重力作用下，带电粒子的会发生漂移：正离子沿－y方向，电子沿+y方向，电荷分离形成电场E，会引起电漂移:电漂移的方向指向起始扰动增加的方向，所以平衡位形不稳定，而且我们可以计算出RT不稳定性的增长率为（gk）1/2。⊙Bg真空等离子体Vi,Dgyx++++++------E1E1×B等离子体-E1E1×B▽n重力驱动的磁约束等离子体RT不稳定性如图所示的平衡位形中，均磁力线弯曲引起的RT不稳定性上述不稳定机制中的本质是重力引起等离子体中的电荷分离。我们可以将这样的结果加以推广得到等离子体稳定性的一般判据：磁约束等离子体边界面上有与磁场垂直并且与电荷符号无关的任何力的作用是，如果力的方向是从等离子体指向真空，则系统不稳定，反之系统稳定。等离子体边界上的磁力线弯曲会导致带电粒子出现梯度漂移，漂移速度为：在重力作用下，带电粒子的会发生漂移：所以磁力线弯曲导致的等效重力加速度为：不稳定“坏”曲率等离子体稳定“好”曲率磁力线弯曲引起的RT不稳定性上述不稳定机制中的本质是重力引起R越小，磁场越强，形成了“磁阱”位形等离子体R越小，磁场越强，形成了“磁阱”位形等离子体课后思考题：磁场中的RT不稳定性的形成机制课后思考题：色散关系色散关系是联系波频率和波矢之间关系的方程，由色散关系可以求出ω（k），一般情况下，它们都是复数：对于给定的实波数k，函数ωr（k）确定等离子体的本征震荡特性。由可知ω

的实部ωr确定本征震荡频率，而虚部γ

确定震荡的阻尼率或者增长率，视γ

的符号而定。色散关系色散关系是联系波频率和波矢之间关系的方程，由色散关系托克马克嵌套在一起的磁面磁面的形成如图所示，磁力线沿大环绕行的时候，在小环截面上一次留下了1、2、3、4······一系列点，对于无理面来说这些点的集合将在截面上画出一个圆，这个圆就是磁面的横截面；对于有理面来说，磁力线在绕大环行进过程中，在横截面值留下有限几个点。返回托克马克嵌套在一起的磁面磁面的形成如图所示，磁力线沿大环绕行磁场B

中的电流j

会受到洛仑兹力作用f＝jxB，而根据麦克斯韦方程有所以所以知道了磁场就可以知道洛仑兹力e3e1e2RB如图所示的磁场B，选取沿磁力线切向、主法向和副法向建立坐标系，相应的坐标为x1、x2、x3，则在该坐标系里有磁场B中的电流j会受到洛仑兹力作用f＝j课堂小测试（2007.11.16）：1）请给出等离子体的振荡频率，及外磁场B中的回旋频率公式。2）给出德拜长度的公式，并简要说明其物理意义3）请写出等离子体粒子的F力场中的漂移公式4）请写出非磁化等离子体中的高频电磁波的色散关系。5）请给出磁声波、阿尔芬波的色散关系，并解释它们的激发机制。6）“静电波是纵波，电磁波是横波”对吗？为什么？7)现在经常采用波加热的方式提高等离子体能量，如果采用电子回旋波加热等离子体，你认为是左旋波还是右旋波，请简要说明加热机制。ECR：ElectronCyclotronResonace课堂小测试（2007.11.16）：1）请给出等离子体的振阿尔芬波色散关系：阿尔芬波基本以恒定速度沿B0传播。阿尔芬波的形成机制：扰动磁场叠加在外场上，导致磁力线弯曲，磁力线中产生产生磁张力；等离子体的磁冻结效应使得等离子体流体元粘附在磁力线上，即这时磁力线可以看成是有一定质量和一定张力（磁张力）的“弹性弦”，磁张力提供了磁场垂直方向的恢复力，使得流体元振动沿磁力线传播，形成阿尔芬波。zyB1B0B=B0+B1OO′A●⊙x,E1K阿尔芬波色散关系：阿尔芬波基本以恒定速度沿B0传播。阿尔芬波磁场扰动B1//B0，叠加到本底磁场上引起磁力线的疏密变化，此时除了压缩引起的热压力恢复力之外，磁压力也充当恢复力，因此磁声波的相速度大于普通声速。磁声波色散关系：取z轴沿B0方向，扰动电场在x轴方向，扰动磁场沿z轴方向，波矢k沿y轴方向。这时，等离子体离子电漂移E1xB0沿波传播的方向，在振荡过程中等离子体将被压缩，热压力是磁声波的恢复力之一。B0B1yzxE1k磁场扰动B1//B0，叠加到本底磁场上引起磁力线的疏密变化，第五章等离子体的平衡与稳定等离子体的平衡和稳定的概念产生于核聚变研究过程。核聚变等离子体温度非常高，带电离子的动能达到10keV（相当于1亿K），任何实物容器都无法承受这样高的温度，必须采用特殊的容器来“装”（即约束）聚变等离子体。在实验室内通过约束等离子体的方法主要有两种类型，即惯性约束和磁约束。第五章等离子体的平衡与稳定等离子体的平衡和

磁约束是利用磁场将高温等离子体约束在一定的区域内，使等离子体达到聚变点火条件。磁约束的基本问题是如何利用磁场把一定密度（n～1020/米3）的高温等离子体（Ti～10keV）在不和器壁接触的情况下稳定的约束足够长的时间（nτ>1020/米3，劳逊条件），产生净能量增益。为此，首先需要使等离子体处于平衡状态；其次这个平衡状态必须是宏观稳定的，即任何偏离平衡的扰动不随时间无限增长，最后，还必须使横越磁场的粒子和热的输运充分地小，这主要和等离子体的微观不稳定性有关。

惯性约束是利用强激光束或者相对论电子束球形对称地辐照一个尺寸极小的聚变靶材，使靶材在极短时间内达到高温高密度状态，等离子体由于惯性在极短时间内来不及飞散，从而使等离子体内产生聚变反应。磁约束是利用磁场将高温等离子体约束在一定的区域§5.1平衡和稳定的概念§5.2磁流体力学平衡§5.3等离子体不稳定性§5.1平衡和稳定的概念§5.1平衡和稳定的概念平衡是指所有外力相抵消的物理状态，等离子体的平衡理论描述的是被磁场约束的等离子体的力学平衡问题，通常指需考虑等离子体的动力压强与磁力平衡。稳定是指平衡状态发生偏移后能不能回复到原先的平衡状态，或者小扰动是否能被阻尼。在平衡和稳定性这两个问题中，稳定性比较好处理，因为稳定问题考虑的是小扰动，因而可以借助线性化方法求解问题，而平衡问题通常类似与扩散这样的非线性问题，不太容易处理。§5.1平衡和稳定的概念平衡是指所有外力相抵消的物理状态，力学平衡和稳定的概念示意图力学平衡和稳定的概念示意图§5.2磁流体力学平衡

5.2.1平衡方程

我们先研究等离子体处于静止状态的最简单情形，当然等离子体是一种流动性很大的介质，在实际条件下很少处于静止状态。由MHD方程组中运动方程因为处于静止状态，所以左边的项等于零，则得平衡方程2）▽p、j、B三者互相垂直，即j、B处于等压面上，不会穿越等压面。等压面3）▽p垂直于B，说明沿着磁力线压强相等，如果温度保持恒定，则沿着磁力线等离子体的密度相等。平衡的理想等离子体的特点：1）热压强梯度被洛仑兹力所平衡§5.2磁流体力学平衡我们先研究等离子体处于静止状态的最令磁流体力学方程组中E0＝V0＝0，与时间有关的项∂/∂t=0，可以得到：5.2.2比压β

n是磁力线曲率半径的单位矢量令磁流体力学方程组中E0＝V0＝0，与时间有关的项∂/∂t=当磁力线是直线的时候，R→∞，等离子体平衡条件为：这个关系式在整个等离子体区都应当被满足，特别是如果等离子体有锐边界，而等离子体内部的磁场为零，则有Be为外磁场在等离子体边界的强度，这时等离子体的热压力被磁压力所平衡，等离子体被磁压力约束在一个有限的区域内。由于磁场会向等离子体的内部扩散，磁场和等离子体之间没有一个明确的边界，实际的磁约束是使磁场扩散的速度足够慢，这样在等离子体和磁场的模糊边界上，磁场仍然能够提供磁压力约束等离子体。在要实现磁约束，必须先产生等离子体后产生磁场，因为先产生的等离子体的电导率高，可以有效的降低磁场的扩散速度。如果先建立磁场后产生等离子体，则磁场会被冻结在等离子体当中，只能起到稳定等离子体宏观流动的作用。当磁力线是直线的时候，R→∞，等离子体平衡条件为：这个关系式表明当压强分布为中心高边缘低的分布时，平衡条件要求磁场位形是呈中心弱边缘强的“磁阱”结构。等离子内部的磁场总是小于外部的磁场，这时由于等离子体产生的逆磁电流削弱了外加磁场，用磁场叉乘平衡方程可以得到逆磁电流的表达式等离子体平衡条件通常我们希望能用较小的磁场约束较高热压强的等离子体，为了表示磁场约束等离子体的效率，通常引入比压β：则β的取值范围是0<β≤1，β愈大，同样强度的磁场所能约束的等离子体压强愈大。低β装置：0<β<<0.1，等离子体对磁场的屏蔽效应弱，内外场几乎一样。高β装置：0.1≤β<1,等离子体的n和T很大，σ很大，等离子体有显著的抗磁性。表明当压强分布为中心高边缘低的分布时，平衡条件要求磁场位形是5.2.3磁面和磁通

磁面是一组有磁力线组成的空间曲面，如果一条磁力线和一个磁面相交，则这条磁力线就完全落在这个磁面上，磁面的法线和磁场垂直。设想一根磁力线绕着一个轮胎形状的环不断延伸，越来越稠密地覆盖在环面上，当抽掉环之后，就会出现一个有磁力线构成的环形磁面，这就是托克马克上面的磁位形结构。托克马克磁场位形可以看成是一层套着一层的嵌套磁面构成的，最里面的磁面退化称一根首尾相接的磁力线，称为磁轴。通常称沿着环的长周方向为环向，沿着环的短周方向为极向。有一些磁力线在沿环向走了有限圈之后，会自我闭合，则该磁力线所在的磁面称为有理磁面，否则称为无理磁面。每个有理磁面总是套在无理磁面之间，就像没有有理数夹在两个无理数之间一样。5.2.3磁面和磁通磁面是一组有磁力线组成的空间曲面，如在许多情况下，需要研究的不是单根磁力线，而是一束磁力线，在图示的周对称磁场位形中考虑在中心平面的圆截面内一束磁力线，该截面内的一束磁力线可以用磁通量表示，磁通就是通过一给定曲面的磁力线的总量：如果截面离开中心面，沿着磁力线移动，可以发现Ψ＝const的面始终包裹着同一束磁力线，当然磁场不均匀的时候，截面的形状大小会发生变化，因此磁面就是磁通为常数的面磁面和磁通的关系：1）磁场B的磁力线都位于Ψ具有不同值的各个磁面内；2）磁面的梯度▽Ψ垂直与磁场B。在许多情况下，需要研究的不是单根磁力线，而是一束磁力线，在图柱位形纵向磁通柱位形极向磁通环位形环向磁通环位形极向磁通柱位形和环位形的磁通柱位形纵向磁通柱位形极向磁通环位形环向磁通环位形极向磁通柱位等离子体的平衡方程：平衡时等离子体压强沿着磁力线和电流线没有梯度，即磁力线和电流线都位于等压面，磁面就是等压面，压强p和电流密度J可以写成磁面以及磁通的函数。等离子体的平衡方程：平衡时等离子体压强沿着磁力线和电流线没有5.2.3一维Grad-Shafranov方程(柱对称位形的平衡)Grad-Shafranov方程是任一截面的轴对称环形磁场中的等离子体平衡方程，在此处理最简单的轴对称，即圆柱对称。设等离子体圆柱中的电流密度为J＝[0，Jθ(r)，Jz(r)]，约束磁场为B＝[0，Bθ(r)，Bz(r)]，则电流线和磁场均为螺旋线，则压力p，电流j磁场B在等离子体平衡时满足方程：在此位形下，平衡方程分量形式为：Bθ：极向磁场；Jθ：极向电流密度Bz：纵向磁场；Jz：纵向电流密度5.2.3一维Grad-Shafranov方程Grad-极向磁通：柱位形极向磁通L柱坐标下有B＝[0，Bθ(r)，Bz(r)]极向磁通：柱位形极向磁通L柱坐标下有B＝[0，Bθ(r)，B令则极向电流密度为代入平衡方程（*）式，有一维Grad-Shafranov平衡方程令则极向电流密度为代入平衡方程（*）式，有一维Grad-S§5.3等离子体不稳定性当出现小扰动后，等离子体能否维持原先的平衡状态决定了该平衡状态是否稳定。一般所说的等离子体平衡是指等离子体处于力学平衡状态，平衡方程的解可以与时间无关。但是当等离子体不处在热力学平衡状态，比如等离子体的宏观参量、磁场空间不均匀，或者带电粒子的速度不是麦克斯韦分布，即使等离子体满足了平衡条件，也是一种不稳定或压稳定平衡。如果一个初始扰动出现后，等离子体受到的合外力使得初始扰动进一步增长，平衡状态就会被破坏，也就无法有效地约束等离子体，所以分析不稳定性的产生机制，进而找到抑制不稳定性的措施，是等离子体约束研究的一个重要课题。§5.3等离子体不稳定性当出现小扰动后，等离§5.3.1等离子体不稳定的分类宏观不稳定性等离子体的宏观参数如温度、压强、密度等热力学参量的空间局部化和不均匀性，这时等离子体再可空间的整体形状通常货发生改变，所以也称为位形空间不稳定性。微观不稳定性等离子体的速度分布函数偏离麦克斯韦分布导致的不稳定性，也称为速度空间不稳定性。宏观不稳定性通常用磁流体力学方程进行分析，故也称为磁流体力学不稳定性，而微观不稳定性则用动力论方程进行分析，因而也叫动动力学不稳定性。§5.3.1等离子体不稳定的分类宏观不稳定性宏观不稳定性宏观不稳定性和微观不稳定性还可以进一步分为静电不稳定性和电磁不稳定性。静电不稳定性是与电荷分离及其积累和增长有关的不稳定性。电磁不稳定性是与电流密度的积累增长有关的不稳定性。等离子体的不稳定性也可以按照驱动不稳定性的能量进行分类。磁能驱动的不稳定性称为电流不稳定性；等离子体密度和温度（即等离子体压强）的空间梯度产生的等离子体膨胀能引起漂移不稳定性（或普适不稳定性）；以及和等离子体的非麦克斯韦速度分布或者压强各向异性项对应的自由能引起速度空间不稳定性。宏观不稳定性和微观不稳定性还可以进一步分为静电不稳定性和电磁§5.3.2等离子体不稳定性的分析方法研究等离子体不稳定性通常采用直观分析、简正模分析和能量原理分析等分析方法。直观分析法直观分析法是对平衡位形施加某种扰动后分析作用于等离子体上的力的变化，如果扰动引起的作用力引起起始扰动动增长，则等离子体是不稳定的，反之扰动引起的作用力指向使起始扰动减小的方向，则等离子体稳定。这种分析方法能给出直观的物理解释，能帮助人们了解不稳定性的物理机制，并且是进一步进行理论分析的基础。但是给不出不稳定性的增长率等信息。§5.3.2等离子体不稳定性的分析方法研究等离子体不稳定简正模分析法简正模分析法是将不稳定性(振荡)的增长作为本征值问题来处理的一种方法。将随时间变化的扰动量(速度、电场、密度等）q（r，t）写成傅里叶分量形式：将它代入线性化的磁流体力学方程，同时考虑边界条件，解方程组，就可以得到色散关系D（ω，k）＝0。如果从色散关系得到的所有简正模式的ω均为实数，则所有扰动变量将做简谐振荡，这时等离子体是稳定的；如果至少有一个ω具有正虚部，则该扰动模式将随时间按eγt指数增长，系统不稳定。这种分析方法能够给出平衡位形稳定性的完整的信息。不过除了简单的位形外，本征方程通常很难解。简正模分析法将它代入线性化的磁流体力学方程，同时考虑边界条件能量原理分析法力学稳定性理论告诉我们，如果一个力学系统处于位能极小的平衡状态，则平衡为稳定平衡，能量原理就是根据这个一般性原理分析等离子体稳定性的一种方法。在用能量原理进行稳定性分析的时候，必须计算微小而有限的扰动所引起的原平衡位形的位能变化。如果对于满足给定边界条件的所有扰动，位能变化为正，则等离子体是稳定的；如果至少有一种扰动会引起位能变化为负，则系统不稳定。这种方法不需要求解基本方程，可以处理简正模分析没法处理的复杂位形。能量原理分析法§5.3.3几种常见的等离子体不稳定性

一、瑞利－泰勒（RT）不稳定性▽ρρ1ρ2ρ1>ρ2－▽G体系的流体方程为：（平衡时u0＝0）假定交界面上出现微扰，则当密度梯度和重力方