平面的基本性质与推论

关于平面的基本性质与推论第一页，共二十七页，2022年，8月28日平面图形与立体图形比较平面图形直线是向两方无限延伸直线用线段加想象表示平面几何研究平面图形最简单、最基本的图形是：点、直线立体图形平面是向四周无限延伸，无比平整的平面用封闭平面图形加以想象表示立体几何研究空间图形最简单、最基本的图形是：点、直线、平面第二页，共二十七页，2022年，8月28日点、线、面的表示1.字母表示：点（元素）：大写字母A、B、C、D……直线（点的集合）：小写英文字母平面（点的集合）：用希腊字母或用平行四边形ABCD相对两字母表示，即AC2.点、线、面之间的关系表示用集合中的关系符号元素与集合关系：集合与集合关系：第三页，共二十七页，2022年，8月28日平面的特征：(2)无限延展性(3)没有厚度(1)平展性平面的画法：通常用平行四边形来表示平面。平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ等表示平面，或用表示平面的多边形的顶点字母来表示，如平面ABC。第四页，共二十七页，2022年，8月28日三种语言转换图形语言文字语言符号语言

点P在直线AB上点Q不在直线AB上点M在平面AC内点A1不在平面AC内直线AB与直线BC交于点B直线l和平面α交于A平面α和平面β交于直线l直线AB在平面AC内直线AA1不在平面AC内第五页，共二十七页，2022年，8月28日正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空．

练一练（6）平面A1C1CA∩平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOoo1第六页，共二十七页，2022年，8月28日平面基本性质公理1：1.文字语言：若一条直线上的两点在同一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内。3.图形语言：α．A．B第七页，共二十七页，2022年，8月28日平面的基本性质基本性质2过一点可以做几条直线？两点呢？过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？第八页，共二十七页，2022年，8月28日平面基本性质基本性质2：1.文字语言：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。3.图形语言：第九页，共二十七页，2022年，8月28日第十页，共二十七页，2022年，8月28日平面基本性质基本性质3：1.文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。3.图形语言：第十一页，共二十七页，2022年，8月28日两个相交平面的画法：第十二页，共二十七页，2022年，8月28日第十三页，共二十七页，2022年，8月28日推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面.baαabα推论1

经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa二、平面的基本性质的推论第十四页，共二十七页，2022年，8月28日课本练习A思考与讨论： 已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？第十五页，共二十七页，2022年，8月28日例题讲解第十六页，共二十七页，2022年，8月28日例题讲解第十七页，共二十七页，2022年，8月28日1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，

a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是[

]练习：D第十八页，共二十七页，2022年，8月28日2．下列推断中，错误的是[

]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共C第十九页，共二十七页，2022年，8月28日例题讲解例3

两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.证法一：因为AB∩AB=A所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面.第二十页，共二十七页，2022年，8月28日ABC证法二：因为A

直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）因为A∈，

B∈BC，所以B∈.故AB

，同理AC

，所以AB，AC，BC共面.第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日ABC证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3）因为A∈，B∈，所以AB

.（公理1）同理BC

，AC

，所以AB，BC，CA三直线共面.要证各线共面，先确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日例4已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、R求证：P、Q、R共线BAQRCP证明：同理Q、R也为公共点所以P、Q、R共线要证明各点共线，只要证明他们是两个平面的公共点第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日小结：掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．1．证明若干点或直线共面通常有两种思路（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内．2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内．3．证明三线共点，通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点．第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日（×）（×）（×）（