高等数学下课件

复习二元函数的极限二元函数的连续性1h复习二元函数的极限1h多元函数的极限2h多元函数的极限2h说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．3h说明：（1）定义中的方式是任意的课内练习p63,6(6)4h课内练习p63,6(6)4h确定极限不存在的方法：5h确定极限不存在的方法：5h多元函数的连续性定义3

.设二元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,6h多元函数的连续性定义3.设二元函数定义在D直观上来看，二元连续函数的图像就是一连绵不断地曲面7h直观上来看，二元连续函数的图像就是一连绵不断地曲面7h例5.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得8h例5.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*

(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)9h定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*(4)第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第九章10h第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导偏导数定义及其计算法11h偏导数定义及其计算法11h一、偏导数定义及其计算法回忆一元函数的导数12h一、偏导数定义及其计算法回忆一元函数的导数12h二元函数的偏导数关于x的偏增量f(x,y)对自变量x的偏导数13h二元函数的偏导数关于x的偏增量f(x,y)对自变量x的偏关于y的偏增量f(x,y)对自变量y的偏导数14h关于y的偏增量f(x,y)对自变量y的偏导数14h偏导函数：15h偏导函数：15h偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处16h偏导数的概念可以推广到二元以上函数如求偏导数的方法？比较导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是导数17h求偏导数的方法？比较导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是求偏导数的方法要求偏导数只需将自变量y暂时看成不变的常量对自变量x求导数即可。y视为常量要求偏导数只需将自变量x暂时看成不变的常量对自变量y求导数即可。同理！18h求偏导数的方法要求偏导数只需将自变量y暂时看成不变的常量对自解19h解19h课内练习解20h课内练习解20h注也可以先将代入，得一元函数然后对x求导：课内练习21h注也可以先将代入，得一元函例2证幂函数求导公式指数函数求导公式22h例2证幂函数求导公式指数函数求导公式22h例3.求的偏导数.解:同理，由对称性，得23h例3.求的偏导数.解:同理，由对称性，得23h利用对称性求偏导数的一个小窍门：如果函数f(x,y)关于自变量x和y对称：则例如24h利用对称性求偏导数的一个小窍门：如果函数f(x,y)关于自变偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,25h偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说二元函数偏导数的几何意义26h二元函数偏导数的几何意义26h导数反映出曲线在点P()处的倾斜程度曲线越陡，导数越大。27h导数反映出曲线28h28h29h29h30h30h31h31h32h32h二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的33h二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x偏导数存在与连续的关系34h偏导数存在与连续的关系34h３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，35h３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存偏导数存在与连续的关系36h偏导数存在与连续的关系36h37h37h高阶偏导数38h高阶偏导数38h二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:39h二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为40h类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)41h41h例5.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及42h例5.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏例如,二者不等43h例如,二者不等43h则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)证明44h则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z例6.

证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程45h例6.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程45h课内练习由对称性46h课内练习由对称性46h内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)47h内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意思考与练习解答提示:P130题5P130题5,6即x＝y＝0时,48h思考与练习解答提示:P130题5P130题5,6P130题6(1)(2)49hP130题6(1)(2)49h作业P691（偶数），3，4，550h作业P691（偶数），3，4，550h复习二元函数的极限二元函数的连续性51h复习二元函数的极限1h多元函数的极限52h多元函数的极限2h说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．53h说明：（1）定义中的方式是任意的课内练习p63,6(6)54h课内练习p63,6(6)4h确定极限不存在的方法：55h确定极限不存在的方法：5h多元函数的连续性定义3

.设二元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,56h多元函数的连续性定义3.设二元函数定义在D直观上来看，二元连续函数的图像就是一连绵不断地曲面57h直观上来看，二元连续函数的图像就是一连绵不断地曲面7h例5.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得58h例5.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*

(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)59h定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则*(4)第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第九章60h第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导偏导数定义及其计算法61h偏导数定义及其计算法11h一、偏导数定义及其计算法回忆一元函数的导数62h一、偏导数定义及其计算法回忆一元函数的导数12h二元函数的偏导数关于x的偏增量f(x,y)对自变量x的偏导数63h二元函数的偏导数关于x的偏增量f(x,y)对自变量x的偏关于y的偏增量f(x,y)对自变量y的偏导数64h关于y的偏增量f(x,y)对自变量y的偏导数14h偏导函数：65h偏导函数：15h偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处66h偏导数的概念可以推广到二元以上函数如求偏导数的方法？比较导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是导数67h求偏导数的方法？比较导数的定义和偏导数的定义偏导数实际上就是求偏导数的方法要求偏导数只需将自变量y暂时看成不变的常量对自变量x求导数即可。y视为常量要求偏导数只需将自变量x暂时看成不变的常量对自变量y求导数即可。同理！68h求偏导数的方法要求偏导数只需将自变量y暂时看成不变的常量对自解69h解19h课内练习解70h课内练习解20h注也可以先将代入，得一元函数然后对x求导：课内练习71h注也可以先将代入，得一元函例2证幂函数求导公式指数函数求导公式72h例2证幂函数求导公式指数函数求导公式22h例3.求的偏导数.解:同理，由对称性，得73h例3.求的偏导数.解:同理，由对称性，得23h利用对称性求偏导数的一个小窍门：如果函数f(x,y)关于自变量x和y对称：则例如74h利用对称性求偏导数的一个小窍门：如果函数f(x,y)关于自变偏导数记号是一个例4.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,75h偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说二元函数偏导数的几何意义76h二元函数偏导数的几何意义26h导数反映出曲线在点P()处的倾斜程度曲线越陡，导数越大。77h导数反映出曲线78h28h79h29h80h30h81h31h82h32h二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的83h二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x偏导数存在与连续的关系84h偏导数存在与连续的关系34h３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，85h３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存偏导数存在与连续的关系86h偏导数存在与连续的关系36h87h37h高阶偏导数88h高阶偏导数38h二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:89h二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶偏导数为90h类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)91h41h例5.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数及92h例5.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏例如,二者不等93h例如,二者不等43h