高中数学人教A版必修第三章用二分法求方程的近似解课件4

用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解1定理一、零点存在性定理复习回顾如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。定理一、零点存在性定理复习回顾如果函数y=f(x)在区间[a2(f(2)<0,f(3)>0)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection).当|a—b|<ε时，区间[a，b]中任意一探究:用二分法求函数零点近似值的步骤函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：如此查下去，不用几次就能把故障锁定在一两根故函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且零点|1.5)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.理解二分法的定义和思想（逐步逼近|1.思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值？1、确定区间[a,b]，验证f(a).如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<0探究:用二分法求函数零点近似值的步骤思考：如何求出这个零点呢？解:原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下：53125|=0.lnx+2x-6=0f(x)=lnx+2x-675)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.探索：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点。如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,5)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.二.例题回顾：关于函数f(x)=lnx+2x-6思考：如何求出这个零点呢？

函数f(x)=lnx+2x-6在定义域内是增函数，又

f(2)<0,f(3)>0

故函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且零点就在区间(2,3)内。(f(2)<0,f(3)>0)二.例题回顾：关于函数f(3实例

从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

实例从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了4

提示：这段线路每50米一根电线杆，

10km长的线路，大约有200根电线杆子，每查一段，都要爬一次电线杆子。

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？提示：这段线路每50米一根电线杆，10km5思路1：直接逐个电线杆去寻找。思路2：通过查找中点，逐渐缩小查找范围。具体做法如下：思路1：直接逐个电线杆去寻找。思路2：通过查找中点，逐渐6如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,BAC4.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半。如此查下去，不用几次就能把故障锁定在一两根电线杆附近。

2.再到BC段中点点D查,如果发现BD段正常,可见故障就在CD段,3.再到CD中点E来看......DE1.首先从AB中点C查，用随身带的话机向两端检测时,发现AC段正常,断定故障在BC段.如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,BAC4.这样每查7

同学们感觉这两种方法哪种方法更简单有效一些？同学们感觉这两种方法哪种8二.例题回顾：关于函数f(x)=lnx+2x-6思考：如何求出这个零点呢？

函数f(x)=lnx+2x-6在定义域内是增函数，又

f(2)<0,f(3)>0

故函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且零点就在区间(2,3)内。二.例题回顾：关于函数f(x)=lnx+2x-6思考：如何求9

如果我们把区间(2,3)内的这个零点当成电话线的故障点，请同学们思考：

我们怎样才能找到这个零点?合作探究如果我们把区间(2,3)内的这个零点当成电话线的故障点10探索：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点。(f(2)<0,f(3)>0)1.取区间（2，3）的中点2.5，计算得

f(2.5)≈-0.084<0这时我们有f(2.5)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.5,3)内；2.取区间（2.5，3）的中点2.75，计算得

f(2.75)≈0.512>0这时我们有f(2.5)·f(2.75)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.5,2.75)内；探索：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内11

思考:怎样计算函数在区间（2，3）内的零点？

区间（a，b）

中点值mf（m）的近似值区间长度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.56250.0660.125（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625（2.53125，2.5625）2.5468750.0290.03125（2.53125，2.546875）2.53906250.010.015625（2.53125，2.5390625）2.535156250.0010.007813思考:怎样计算函数在区间（212思考：在区间（2，3）内有无穷多个点1.如果我们所查的某个区间（a,b）中，存在一个中点m,使得f(m)=0

那么m就是f(x)的零点；2.如果在有限次查找中，没有哪个区间（a,b）的中点m使得f(m)=0，这时该怎么办？

思考：13区间（a，b）

中点值mf（m）的近似值精确度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.56250.0660.125（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625（2.53125，2.5625）2.5468750.0290.03125（2.53125，2.546875）2.53906250.010.015625（2.53125，2.5390625）2.535156250.0010.007813

思考:怎样计算函数在区间（2，3）内精确度为0.01的零点？

区间（a，b）中点值mf（m）的近似值精确度（2，3）214函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：当精确度为0.01时，由于

|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01所以，我们可以将x=2.53125作为函数

f(x)=lnx+2x-6的近似零点；也即是方程

lnx+2x-6=0根的近似值。函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：当精确度为0.015用二分法求方程的近似解xyo232.5用二分法求方程的近似解xyo232.516

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection).二分法的定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f17牛刀小试：牛刀小试：18思考1:用二分法求函数的零点近似值的步骤？运用零点存在性定理，确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<0探究:用二分法求函数零点近似值的步骤简单说是一、确定函数零点的存在性；二、确定零点近似值的大小。思考2:如何确定零点的存在性？

思考1:用二分法求函数的零点近似值的步骤？运用零点存在性定19探究:用二分法求函数零点近似值的步骤思考3:

如何确定函数零点的近似值？

求区间的中点c，并计算f(c)的值

（1）若f(c)=0

，则c就是函数的零点；

（2）若f(a)·f(c)<0

，则零点x0∈(a,c)；（3）若f(c)·f(b)<0

，则零点x0∈(c,b).探究:用二分法求函数零点近似值的步骤思考3:如何确定函数零20思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值？

探究:用二分法求函数零点近似值的步骤

当|a—b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值都是函数零点满足精确度ε的近似值.为方便，一般统一取区间端点a(或b)作为零点近似值。思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值？探究:用二分法求函21如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。就在区间(2,3)内。所以，我们可以将x=2.所以，我们可以将x=2.探究:用二分法求函数零点近似值的步骤所以，原方程的近似解可取为1.375)<0,f(1.如果我们把区间(2,3)内的这个零点当成电话线的故障点，请同学们思考：探究:用二分法求函数零点近似值的步骤(f(2)<0,f(3)>0)例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.53125|=0.思考:怎样计算函数在区间（2，3）内精确度为0.思考2:如何确定零点的存在性？例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.理解二分法的定义和思想（逐步逼近(f(2)<0,f(3)>0)探究:用二分法求函数零点近似值的步骤在区间（2，3）内有无穷多个点f(x)=lnx+2x-6375)<0,f(1.确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<05)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<0思考：如何求出这个零点呢？用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：1、确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε；2、求区间（a,b）的中点c，3、计算f(c)

（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a).f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c));（3）若f(c).f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,,b));4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,

则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的22例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解:原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下：

x012345678f(x)-6-2310214075142273例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似23根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（1,2）f(1)<0，f(2)>01.5f(1.5)>0（1,1.5）f(1)<0，f(1.5)>01.25f(1.25)<0（1.25,1.5）f(1.25)<0，f(1.5)>01.375f(1.375)<0

（1.375,1.5）f(1.375)<0，f(1.5)>01.4375f(1.4375)>0（1.375,1.4375）f(1.375)<0,f(1.4375)>0根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（1,2）f24由于

|1.375-1.4375|=0.0625<0.1

所以，原方程的近似解可取为1.4375。高中数学人教A版必修第三章用二分法求方程的近似解课件425课堂小结理解二分法的定义和思想（逐步逼近思想及数形结合思想）。3.用二分法求函数零点近似值的步骤。2.明确二分法的适用条件，即函数在零点所在区间内是连续不断的。课堂小结理解二分法的定义和思想（逐步逼近3.用二分法求函数26个值都是函数零点满足精确度ε的近探索：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点。解:原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下：例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.理解二分法的定义和思想（逐步逼近|1.1、确定区间[a,b]，验证f(a).首先从AB中点C查，用随身带的话机向两端检测时,发现AC段正常,断定故障在BC段.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。思路1：直接逐个电线杆去寻找。求区间的中点c，并计算f(c)的值取区间（2，3）的中点2.53125|=0.思考：如何求出这个零点呢？f(b)<0,给定精确度ε；【书面作业】课本习题3.f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c));提示：这段线路每50米一根电线杆，10km长的线路，大约有200根电线杆子，每查一段，都要爬一次电线杆子。思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值？探究:用二分法求函数零点近似值的步骤理解二分法的定义和思想（逐步逼近用二分法求函数零点近似值的步骤。例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.【书面作业】课本习题3.简单说是一、确定函数零点的存在性；课外作业1.【书面作业】课本习题3.1A组3、4、5。3.【课外思考】现有大小形状完全相同的金属小球12个，其中有一个是实心的，其余都是空心的。用一架天平需要至少几次就一定能找到实心小球？2.【知识链接】课本阅读与思考“中外历史上的方程求解”。个值都是函数零点满足精确度ε的近课外作业1.【书面作业】课27

谢谢！

28用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解29定理一、零点存在性定理复习回顾如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。定理一、零点存在性定理复习回顾如果函数y=f(x)在区间[a30(f(2)<0,f(3)>0)对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection).当|a—b|<ε时，区间[a，b]中任意一探究:用二分法求函数零点近似值的步骤函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：如此查下去，不用几次就能把故障锁定在一两根故函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且零点|1.5)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.理解二分法的定义和思想（逐步逼近|1.思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值？1、确定区间[a,b]，验证f(a).如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<0探究:用二分法求函数零点近似值的步骤思考：如何求出这个零点呢？解:原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下：53125|=0.lnx+2x-6=0f(x)=lnx+2x-675)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.探索：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点。如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,5)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.二.例题回顾：关于函数f(x)=lnx+2x-6思考：如何求出这个零点呢？

函数f(x)=lnx+2x-6在定义域内是增函数，又

f(2)<0,f(3)>0

故函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且零点就在区间(2,3)内。(f(2)<0,f(3)>0)二.例题回顾：关于函数f(31实例

从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

实例从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了32

提示：这段线路每50米一根电线杆，

10km长的线路，大约有200根电线杆子，每查一段，都要爬一次电线杆子。

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？提示：这段线路每50米一根电线杆，10km33思路1：直接逐个电线杆去寻找。思路2：通过查找中点，逐渐缩小查找范围。具体做法如下：思路1：直接逐个电线杆去寻找。思路2：通过查找中点，逐渐34如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,BAC4.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半。如此查下去，不用几次就能把故障锁定在一两根电线杆附近。

2.再到BC段中点点D查,如果发现BD段正常,可见故障就在CD段,3.再到CD中点E来看......DE1.首先从AB中点C查，用随身带的话机向两端检测时,发现AC段正常,断定故障在BC段.如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B,BAC4.这样每查35

同学们感觉这两种方法哪种方法更简单有效一些？同学们感觉这两种方法哪种36二.例题回顾：关于函数f(x)=lnx+2x-6思考：如何求出这个零点呢？

函数f(x)=lnx+2x-6在定义域内是增函数，又

f(2)<0,f(3)>0

故函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且零点就在区间(2,3)内。二.例题回顾：关于函数f(x)=lnx+2x-6思考：如何求37

如果我们把区间(2,3)内的这个零点当成电话线的故障点，请同学们思考：

我们怎样才能找到这个零点?合作探究如果我们把区间(2,3)内的这个零点当成电话线的故障点38探索：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点。(f(2)<0,f(3)>0)1.取区间（2，3）的中点2.5，计算得

f(2.5)≈-0.084<0这时我们有f(2.5)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.5,3)内；2.取区间（2.5，3）的中点2.75，计算得

f(2.75)≈0.512>0这时我们有f(2.5)·f(2.75)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.5,2.75)内；探索：函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内39

思考:怎样计算函数在区间（2，3）内的零点？

区间（a，b）

中点值mf（m）的近似值区间长度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.56250.0660.125（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625（2.53125，2.5625）2.5468750.0290.03125（2.53125，2.546875）2.53906250.010.015625（2.53125，2.5390625）2.535156250.0010.007813思考:怎样计算函数在区间（240思考：在区间（2，3）内有无穷多个点1.如果我们所查的某个区间（a,b）中，存在一个中点m,使得f(m)=0

那么m就是f(x)的零点；2.如果在有限次查找中，没有哪个区间（a,b）的中点m使得f(m)=0，这时该怎么办？

思考：41区间（a，b）

中点值mf（m）的近似值精确度|a-b|（2，3）2.5-0.0841（2.5，3）2.750.5120.5（2.5，2.75）2.6250.2150.25（2.5，2.625）2.56250.0660.125（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625（2.53125，2.5625）2.5468750.0290.03125（2.53125，2.546875）2.53906250.010.015625（2.53125，2.5390625）2.535156250.0010.007813

思考:怎样计算函数在区间（2，3）内精确度为0.01的零点？

区间（a，b）中点值mf（m）的近似值精确度（2，3）242函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：当精确度为0.01时，由于

|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01所以，我们可以将x=2.53125作为函数

f(x)=lnx+2x-6的近似零点；也即是方程

lnx+2x-6=0根的近似值。函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值：当精确度为0.043用二分法求方程的近似解xyo232.5用二分法求方程的近似解xyo232.544

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection).二分法的定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f45牛刀小试：牛刀小试：46思考1:用二分法求函数的零点近似值的步骤？运用零点存在性定理，确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<0探究:用二分法求函数零点近似值的步骤简单说是一、确定函数零点的存在性；二、确定零点近似值的大小。思考2:如何确定零点的存在性？

思考1:用二分法求函数的零点近似值的步骤？运用零点存在性定47探究:用二分法求函数零点近似值的步骤思考3:

如何确定函数零点的近似值？

求区间的中点c，并计算f(c)的值

（1）若f(c)=0

，则c就是函数的零点；

（2）若f(a)·f(c)<0

，则零点x0∈(a,c)；（3）若f(c)·f(b)<0

，则零点x0∈(c,b).探究:用二分法求函数零点近似值的步骤思考3:如何确定函数零48思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值？

探究:用二分法求函数零点近似值的步骤

当|a—b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值都是函数零点满足精确度ε的近似值.为方便，一般统一取区间端点a(或b)作为零点近似值。思考4:若给定精确度ε,如何选取近似值？探究:用二分法求函49如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。就在区间(2,3)内。所以，我们可以将x=2.所以，我们可以将x=2.探究:用二分法求函数零点近似值的步骤所以，原方程的近似解可取为1.375)<0,f(1.如果我们把区间(2,3)内的这个零点当成电话线的故障点，请同学们思考：探究:用二分法求函数零点近似值的步骤(f(2)<0,f(3)>0)例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.53125|=0.思考:怎样计算函数在区间（2，3）内精确度为0.思考2:如何确定零点的存在性？例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.理解二分法的定义和思想（逐步逼近(f(2)<0,f(3)>0)探究:用二分法求函数零点近似值的步骤在区间（2，3）内有无穷多个点f(x)=lnx+2x-6375)<0,f(1.确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<05)·f(3)<0,则函数的f(x)的零点就被锁定在区间(2.确定零点存在的区间[a,b]，使f(a)f(b)<0思考：如何求出这个零点呢？用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：1、确定区间[a,b]，验证f(a).f(b)<0,给定精确度ε；2、求区间（a,b）的中点c，3、计算f(c)

（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a).f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c));（3）若f(c).f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,,b));4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,

则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的50例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）解:原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表如下：

x012345678f(x)-6-2310214075142273例2借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似51根