高中数学北师大必修课件：-柱锥台的侧面展开与面积

§7

简单几何体的再认识§7简单几何体的再认识7.1

柱、锥、台的侧面展开与面积7.1柱、锥、台的侧面展开与面积高中数学北师大必修课件：-柱锥台的侧面展开与面积1.侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积

1.侧面积的概念2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积高中数学北师大必修课件：-柱锥台的侧面展开与面积【做一做1】

已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比为

(

)A.1∶2 B.1∶1C.1∶4 D.1∶3解析:以长度为1的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2,母线长为1,其侧面积S1=2π×2×1=4π.以长度为2的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母线长为2,其侧面积S2=2π×1×2=4π,故S1∶S2=1∶1.答案:B【做一做1】已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积名师点拨1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加即得;对于正棱锥和正棱台,其侧面积也可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.2.对于正棱锥和正棱台来说,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的.3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系:名师点拨1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每【做一做2】

若圆锥的主视图是正三角形,则它的侧面积是底面积的(

)A.倍 B.3倍C.2倍

D.5倍解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则由题意知l=2r,于是S侧=πr·2r=2πr2,S底=πr2.答案:C【做一做2】若圆锥的主视图是正三角形,则它的侧面积是底面积4.几何体的表面积几何体的表面积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧面积与其底面的面积之和,也称为全面积.【做一做3】

一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为

.

解析:根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为r=1,所以该圆柱的表面积为S圆柱表=2πrl+2πr2=4π+2π=6π.故填6π.答案:6π4.几何体的表面积思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱.(

)(2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=πrl.(

)(3)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧=ch'中c为底面周长,而h'为正棱锥的高.(

)×√×思考辨析×√×探究一探究二探究三易错辨析探究一简单旋转体的侧面积与表面积【例1】

(1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面积是(

)(2)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(

)A.72 B.42π C.67π D.72π分析:(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长,求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)直接套用公式可求表面积.探究一探究二探究三易错辨析探究一简单旋转体的侧面积与表面积(探究一探究二探究三易错辨析(2)S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.答案:(1)D

(2)C反思感悟1.简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长(弧长)与原几何体有关量的关系.2.求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.探究一探究二探究三易错辨析(2)S圆台表=S圆台侧+S上底+变式训练1(1)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以BC边所在直线为轴旋转一周,则形成的几何体的侧面积为

.

(2)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为

.

解析:(1)该几何体是底面圆的半径为2,母线长为3的圆柱体,故该几何体的侧面积是2π×2×3=12π.(2)设圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r,R,则l=(r+R),又32π=π(r+R)l=2πl2,∴l2=16,∴l=4.答案:(1)12π

(2)4探究一探究二探究三易错辨析变式训练1(1)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以BC探究一探究二探究三易错辨析探究二简单多面体的侧面积与表面积

【例2】

(1)如图所示为一个几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,A1B1=2,AA1=4,则该几何体的表面积为

(

)探究一探究二探究三易错辨析探究二简单多面体的侧面积与表面积

探究一探究二探究三易错辨析(2)已知正四棱锥的底面边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,则该正四棱锥的侧面积等于

cm2.

分析(1)由三视图知该几何体是正三棱柱,套用表面积公式计算可得;(2)画出图形,由已知条件求出斜高,套用公式计算.探究一探究二探究三易错辨析(2)已知正四棱锥的底面边长为4探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,侧棱长为4,因此其侧面积S1=3×2×4=24,其两个底面的面积(2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.答案:(1)C

(2)32探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)由三视图可知,该几何体探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算.2.对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一个侧面的面积分别求出来,然后相加即得侧面积.3.注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.对于直棱柱、正棱锥、正探究一探究二探究三易错辨析变式训练2

(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A.180 B.200

C.220 D.240(2)若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于

.

探究一探究二探究三易错辨析变式训练2(1)某几何体的三视图探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)几何体为直四棱柱,只不过是倒放的,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的等腰梯形,易知其腰为5,故两个底面面积的和为2××(2+8)×4=40,四个侧面面积的和为(2+8+5+5)×10=200,所以直四棱柱的表面积为S=40+200=240.故选D.探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)几何体为直四棱柱,只不探究一探究二探究三易错辨析探究三简单组合体的表面积

【例3】根据几何体的三视图(如下图所示),则该几何体的表面积为

.

探究一探究二探究三易错辨析探究三简单组合体的表面积

探究一探究二探究三易错辨析解析:先根据三视图还原该几何体的形状,如右图所示,则该几何体的表面积为圆锥的侧面积S1、圆台的侧面积S2以及底面积S3的和.∵S1=π×2×3=6π,探究一探究二探究三易错辨析解析:先根据三视图还原该几何体的形探究一探究二探究三易错辨析反思感悟怎样求组合体的表面积1.求组合体的表面积的基本步骤:(1)弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么;(2)根据组合体的组成形式设计计算思路;(3)根据公式计算求值.2.求组合体的表面积的解题策略:(1)对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响;(2)对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟怎样求组合体的表面积探究一探究二探究三易错辨析变式训练3如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为

.

解析:由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积.故其表面积S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24-0.5π+2π=24+1.5π.答案:24+1.5π探究一探究二探究三易错辨析变式训练3如图所示,一个正方体的棱探究一探究二探究三易错辨析对几何体认识不清而致误【典例】如图所示,从底面半径为2a,高为

a的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.探究一探究二探究三易错辨析对几何体认识不清而致误探究一探究二探究三易错辨析纠错心得本题中挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积,但同时增加了一个圆锥的侧面的面积,而错解未考虑到增加的部分.几何体的表面积是各个面的面积之和,因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式,而应先分析该几何体由几部分组成,几何体各个面间有无重叠,再结合相应几何体选择公式求解.探究一探究二探究三易错辨析纠错心得本题中挖去圆锥的几何体的表探究一探究二探究三易错辨析变式训练

把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.

探究一探究二探究三易错辨析变式训练把长和宽分别为6和3的矩12341.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是(

)A.6cm2

B.π

cm2 C.4π2cm2

D.6π

cm212341.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是(1234解析:该几何体是底面半径为1

cm,母线长为3

cm的圆柱,则其侧面积为2πrl=2π×1×3=6π(cm2).答案:D1234解析:该几何体是底面半径为1cm,母线长为3cm12342.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为(

)A.6 B.12 C.24 D.48答案:D12342.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥12343.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为(

)A.7 B.6 C.5 D.3解析:设圆台较小底面的半径为r,则圆台较大底面的半径为3r,圆台的侧面积为π(r+3r)×3=84π,解得r=7.答案:A12343.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长12344.已知长方体的对角线长为2

,长、宽、高的比为3∶2∶1,则它的表面积为

.

解析:设长,宽,高分别为3x,2x,x,

∴x=2.∴表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.答案:8812344.已知长方体的对角线长为2,长、宽§7

简单几何体的再认识§7简单几何体的再认识7.1

柱、锥、台的侧面展开与面积7.1柱、锥、台的侧面展开与面积高中数学北师大必修课件：-柱锥台的侧面展开与面积1.侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积

1.侧面积的概念2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积高中数学北师大必修课件：-柱锥台的侧面展开与面积【做一做1】

已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,所形成几何体的侧面积之比为

(

)A.1∶2 B.1∶1C.1∶4 D.1∶3解析:以长度为1的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为2,母线长为1,其侧面积S1=2π×2×1=4π.以长度为2的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母线长为2,其侧面积S2=2π×1×2=4π,故S1∶S2=1∶1.答案:B【做一做1】已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积名师点拨1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一个侧面的面积分别计算,然后相加即得;对于正棱锥和正棱台,其侧面积也可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面都是全等的三角形或梯形.2.对于正棱锥和正棱台来说,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的.3.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系:名师点拨1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每【做一做2】

若圆锥的主视图是正三角形,则它的侧面积是底面积的(

)A.倍 B.3倍C.2倍

D.5倍解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则由题意知l=2r,于是S侧=πr·2r=2πr2,S底=πr2.答案:C【做一做2】若圆锥的主视图是正三角形,则它的侧面积是底面积4.几何体的表面积几何体的表面积是指几何体的所有面的面积的和,即该几何体的侧面积与其底面的面积之和,也称为全面积.【做一做3】

一个高为2的圆柱,底面周长为2π,则该圆柱的表面积为

.

解析:根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为r=1,所以该圆柱的表面积为S圆柱表=2πrl+2πr2=4π+2π=6π.故填6π.答案:6π4.几何体的表面积思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用于正棱柱.(

)(2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=πrl.(

)(3)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧=ch'中c为底面周长,而h'为正棱锥的高.(

)×√×思考辨析×√×探究一探究二探究三易错辨析探究一简单旋转体的侧面积与表面积【例1】

(1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面积是(

)(2)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(

)A.72 B.42π C.67π D.72π分析:(1)由轴截面为等边三角形得到圆锥的底面半径和母线长,求出侧面积和底面积相加即得表面积;(2)直接套用公式可求表面积.探究一探究二探究三易错辨析探究一简单旋转体的侧面积与表面积(探究一探究二探究三易错辨析(2)S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.答案:(1)D

(2)C反思感悟1.简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段长(弧长)与原几何体有关量的关系.2.求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.探究一探究二探究三易错辨析(2)S圆台表=S圆台侧+S上底+变式训练1(1)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以BC边所在直线为轴旋转一周,则形成的几何体的侧面积为

.

(2)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为

.

解析:(1)该几何体是底面圆的半径为2,母线长为3的圆柱体,故该几何体的侧面积是2π×2×3=12π.(2)设圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r,R,则l=(r+R),又32π=π(r+R)l=2πl2,∴l2=16,∴l=4.答案:(1)12π

(2)4探究一探究二探究三易错辨析变式训练1(1)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以BC探究一探究二探究三易错辨析探究二简单多面体的侧面积与表面积

【例2】

(1)如图所示为一个几何体的三视图,其中俯视图为等边三角形,A1B1=2,AA1=4,则该几何体的表面积为

(

)探究一探究二探究三易错辨析探究二简单多面体的侧面积与表面积

探究一探究二探究三易错辨析(2)已知正四棱锥的底面边长为4cm,高与斜高的夹角为30°,则该正四棱锥的侧面积等于

cm2.

分析(1)由三视图知该几何体是正三棱柱,套用表面积公式计算可得;(2)画出图形,由已知条件求出斜高,套用公式计算.探究一探究二探究三易错辨析(2)已知正四棱锥的底面边长为4探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,其底面边长为2,侧棱长为4,因此其侧面积S1=3×2×4=24,其两个底面的面积(2)如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.答案:(1)C

(2)32探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)由三视图可知,该几何体探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算.2.对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一个侧面的面积分别求出来,然后相加即得侧面积.3.注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.对于直棱柱、正棱锥、正探究一探究二探究三易错辨析变式训练2

(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A.180 B.200

C.220 D.240(2)若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于

.

探究一探究二探究三易错辨析变式训练2(1)某几何体的三视图探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)几何体为直四棱柱,只不过是倒放的,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的等腰梯形,易知其腰为5,故两个底面面积的和为2××(2+8)×4=40,四个侧面面积的和为(2+8+5+5)×10=200,所以直四棱柱的表面积为S=40+200=240.故选D.探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)几何体为直四棱柱,只不探究一探究二探究三易错辨析探究三简单组合体的表面积

【例3】根据几何体的三视图(如下图所示),则该几何体的表面积为

.

探究一探究二探究三易错辨析探究三简单组合体的表面积

探究一探究二探究三易错辨析解析:先根据三视图还原该几何体的形状,如右图所示,则该几何体的表面积为圆锥的侧面积S1、圆台的侧面积S2以及底面积S3的和.∵S1=π×2×3=6π,探究一探究二探究三易错辨析解析:先根据三视图还原该几何体的形探究一探究二探究三易错辨析反思感悟怎样求组合体的表面积1.求组合体的表面积的基本步骤:(1)弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么;(2)根据组合体的组成形式设计计算思路;(3)根据公式计算求值.2.求组合体的表面积的解题策略:(1)对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响;(2)对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟怎样求组合体的表面积探究一探究二探究三易错辨析变式训练3如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为

.

解析:由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积.故其表面积S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=24-0.5π+2π=24+1.5π.答案:24+1.5π探究一探究二探究三易错辨析变式训练3如图所示,一个正方体的棱探究一探究二探究三易错辨析对几何体认识不清而致误【典例】如图所示,从底面半径为2a,高为

a的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与