高三数学-第六篇-第三节直线的交点坐标与距离公式课件-理-北师大版

第三节直线的交点坐标与距离公式第一页，编辑于星期五：八点三十四分。第三节直线的交点坐标与距离公式第一页，编辑于星期五：八点1考纲点击1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.热点提示1.本节重点体现一种思想——转化与化归的思想，这种思想是高考的热点之一.2.本部分在高考中主要以选择、填空为主，属于中低档题目.第二页，编辑于星期五：八点三十四分。考纲点击1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.热点21．两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的 就是方程组的解，假设方程组有唯一解，那么两条直线 ，此解就是 ；假设方程组 ，那么两条直线无公共点，此时两条直线 ；反之，亦成立．交点坐标相交交点的坐标无解平行第三页，编辑于星期五：八点三十四分。1．两条直线的交点交点坐标相交交点的坐标无解平行第三页，编辑3第四页，编辑于星期五：八点三十四分。第四页，编辑于星期五：八点三十四分。4第五页，编辑于星期五：八点三十四分。第五页，编辑于星期五：八点三十四分。5【答案】

C第六页，编辑于星期五：八点三十四分。【答案】C第六页，编辑于星期五：八点三十四分。62．直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是那么直线l1的方程为()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0D．x＋y＝0或x＋y－2＝0解得，c＝3或c＝－1.∴l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.第七页，编辑于星期五：八点三十四分。2．直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是7【答案】C3．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，那么|AB|的值为()A．6B.C．2D．不能确定【答案】

B第八页，编辑于星期五：八点三十四分。【答案】C【答案】B第八页，编辑于星期五：八点三十四分84．直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与直线相交于B点，且|AB|＝5，那么直线l的方程为________．求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，第九页，编辑于星期五：八点三十四分。4．直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直9第十页，编辑于星期五：八点三十四分。第十页，编辑于星期五：八点三十四分。10即3x＋4y＋1＝0为所求．【答案】x＝1或3x＋4y＋1＝05．直线l1：kx－y＋1－k＝0与l2：ky－x－2k＝0的交点在第一象限，那么实数k的取值范围为________．第十一页，编辑于星期五：八点三十四分。即3x＋4y＋1＝0为所求．第十一页，编辑于星期五：八点三11【答案】

k＜0或k＞1点P(2，－1)．第十二页，编辑于星期五：八点三十四分。【答案】k＜0或k＞1点P(2，－1)．第十二页，编辑于星12(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由．第十三页，编辑于星期五：八点三十四分。(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；第十三页，编辑13【自主探究】(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.假设斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，第十四页，编辑于星期五：八点三十四分。【自主探究】(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标14由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．第十五页，编辑于星期五：八点三十四分。由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.(15【方法点评】

1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|.(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.【特别提醒】点到直线的距离公式当A＝0或B＝0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离．第十六页，编辑于星期五：八点三十四分。【方法点评】1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是161．直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．【解析】方法一：由题意，直线l1，l2之间的距离为且直线l被平行直线l1，l2所截得的线段AB的长为5.第十七页，编辑于星期五：八点三十四分。1．直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋17设直线l与直线l1的夹角为θ，那么 ，故θ=45°.由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为x=3或y=1.方法二：设直线l与l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1+y1+1=0，x2+y2+6=0，两式相减得(x1-x2)+(y1-y2)=5①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25②第十八页，编辑于星期五：八点三十四分。设直线l与直线l1的夹角为θ，第十八页，编辑于星期五：八点18由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°，故所求的直线方程为x＝3或y＝1.求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．【思路点拨】转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解．第十九页，编辑于星期五：八点三十四分。由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°，求直线l1：y＝19设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得第二十页，编辑于星期五：八点三十四分。设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，第二十页，编辑于星期20∴直线l2的方程为x－2y＝0.方法二：设所求直线上一点为P(x，y)，那么在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称．第二十一页，编辑于星期五：八点三十四分。∴直线l2的方程为x－2y＝0.第二十一页，编辑于星期五：八21代入直线l1：y＝2x＋3得x＋1＝2(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直线方程为x－2y＝0.【方法点评】常见的对称问题：(1)中心对称①假设点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，那么由中点坐标公式得②直线关于点的对称，其主要方法是：在直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．第二十二页，编辑于星期五：八点三十四分。代入直线l1：y＝2x＋3得x＋1＝2(y－1)＋3，第二十22(2)轴对称①点关于直线的对称假设两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，那么线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是直线与对称轴相交；二是直线与对称轴平行．第二十三页，编辑于星期五：八点三十四分。(2)轴对称可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2232．在△MPQ中，点M的坐标为(3,5)，点P在直线l：x－2y＋2＝0上，点Q在y轴上，当P、Q在什么位置时，△MPQ的周长最小？第二十四页，编辑于星期五：八点三十四分。2．在△MPQ中，点M的坐标为(3,5)，点P在直线l：x－24【解析】如以下图，易得点M(3,5)关于y轴的对称点M2(-3,5)，关于直线l的对称点M1(5,1)，那么直线M1M2的方程为x+2y-7=0.解得直线M1M2与y轴的交点Q .又解方程组解得交点P的坐标为那么△MPQ的周长为MQ+PQ+MP=M2Q+PQ+M1P=M1M2.故此时△MPQ的周长最小．第二十五页，编辑于星期五：八点三十四分。【解析】如以下图，易得点M(3,5)关于y轴的对称点M2(25求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【思路点拨】

(1)先求交点，然后根据l3的斜率求出l的斜率，利用点斜式写出方程；(2)利用直线系来求．第二十六页，编辑于星期五：八点三十四分。求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝026方法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.方法三：∵l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.第二十七页，编辑于星期五：八点三十四分。方法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，27代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.方法四：∵l⊥l3，故l属于直线系5x＋3y＋C＝0①又l过l1、l2的交点，故l又属于直线系(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0②第二十八页，编辑于星期五：八点三十四分。代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.第二十八页，28【方法点评】几种常用的直线系方程如下：(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为

A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0.第二十九页，编辑于星期五：八点三十四分。【方法点评】几种常用的直线系方程如下：第二十九页，编辑于星29(3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m为参数且m≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．第三十页，编辑于星期五：八点三十四分。(3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y303．求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程．【解析】方法一：由得两直线交点为(1,2)，又5x－y＋3＝0的斜率为5，∴所求直线为y－2＝5(x－1),即5x－y－3＝0.方法二：设所求直线方程为：3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0，第三十一页，编辑于星期五：八点三十四分。3．求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的31因此直线与5x－y＋3＝0平行，∴－(λ＋3)＝5(2－λ)．解得λ＝∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，即5x－y－3＝0.第三十二页，编辑于星期五：八点三十四分。因此直线与5x－y＋3＝0平行，第三十二页，编辑于星期五：八321．(2021年江西高考)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于以下四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．【解析】点(0,2)到直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)的距离第三十三页，编辑于星期五：八点三十四分。1．(2021年江西高考)设直线系M：xcosθ＋(y－233∴此直线系M是以(0,2)为圆心，半径为1的圆的切线．如图1所示，①选项A显然不正确，所有切线不会过一个定点．②选项B正确，存在定点P(0,2)不在M中的任一条直线上．第三十四页，编辑于星期五：八点三十四分。∴此直线系M是以(0,2)为圆心，半径为1的圆的切线．第三十34③选项C正确，当n≥3，存在如图2正n边形，其边均为M中直线．④选项D不正确，如图3，△ABC与△A′B′C′

均为等边三角形．显然面积不相等．【答案】

B，C第三十五页，编辑于星期五：八点三十四分。③选项C正确，当n≥3，存在如图2正n边形，其边均为M中直线352．(2021年全国Ⅰ高考)假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，那么m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)【解析】求得两平行线间的距离为，那么m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，那么m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.【答案】①⑤第三十六页，编辑于星期五：八点三十四分。2．(2021年全国Ⅰ高考)假设直线m被两平行线l1：x－y363．(2021年广东高考)经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．【解析】易知点C为(－1,0)，而与直线x＋y＝0垂直，我们设待求的直线的方程为y＝x＋b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为1，故待求的直线方程为x－y＋1＝0.【答案】x－y＋1＝04．(2021年上海高考)A(1,2)，B(3,4)，直线l1：x＝0，l2：y＝0和l3：x＋3y－1＝0.设Pi是li(i＝1,2,3)上与A、B两点距离平方和最小的点，那么△P1P2P3的面积是________．第三十七页，编辑于星期五：八点三十四分。3．(2021年广东高考)经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C37【解析】取AB中点M，在△PAB中由余弦定理知：PA2＝PM2＋AM2－2×PM×AM×cos∠AMP，PB2＝PM2＋BM2－2×PM×BM×cos∠BMP，二式相加得PA2＋PB2＝2PM2＋AB2，要使PA2＋PB2最小，只要求PM的最小值，即求点M到直线li(i＝1,2,3)的距离最小，可求P1(0,3)，P2(2,0)，P3(1,0)，S△P1P2P3＝×1×3＝.【答案】

第三十八页，编辑于星期五：八点三十四分。【解析】取AB中点M，在△PAB中由余弦定理知：PA2＝P381．用解析法研究平面内两条直线的位置关系时，有平行、相交、重合三种．从方程的角度来说，对于两条直线的方程组成的方程组假设有唯一解，那么两直线相交；假设无解，那么两直线平行；假设有无穷多个解，那么两直线重合，反之亦然．2．距离公式和中点坐标公式是解析几何中的两个重要工具，应用广泛．(1)通过距离与长度的计算可以解决三点共线问题、三角形面积计算问题、四边形形状判断问题，以及距离最值问题．第三十九页，编辑于星期五：八点三十四分。1．用解析法研究平面内两条直线的位置关系时，有平行、相交、重39(2)通过中点坐标公式与其他知识的有机结合，可以解决一系列的对称问题．①点P(x0，y0)关于Q(a，b)的对称点的坐标为(2a－x0,2b－y0)．②点P(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，l⊥PP′且PP′的中点在直线l上，所以x′，y′满足的方程组为由此可解得P′的坐标为(x′，y′)．③代点转移法是求直线关于轴l对称的直线方程的有效方法，应通过解题把握实质．第四十页，编辑于星期五：八点三十四分。(2)通过中点坐标公式与其他知识的有机结合，可以解决一系列的403．直线系方程具有某一个共同性质的一组直线叫做直线系，它的方程叫做直线系方程．(1)平行直线系：与Ax＋By＋C＝0平行的直线可以表示为Ax＋By＋m＝0(C≠m)(其中m为参数)；(2)垂直直线系：与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可以表示为Bx－Ay＋m＝0(其中m为参数)；(3)过两直线交点的直线系：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，假设l1与l2相交，那么过l1与l2交点的直线可以写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，不包含l2)．第四十一页，编辑于星期五：八点三十四分。3．直线系方程第四十一页，编辑于星期五：八点三十四分。414．解析法即坐标法，就是用代数的方法研究平面几何问题．其实质就是在几何图形上建立适当的坐标系，使点用坐标表示，直线、线段用方程表示．利用数形结合思想方法把直线与方程有机结合起来，运用方程的知识解决问题．第四十二页，编辑于星期五：八点三十四分。4．解析法即坐标法，就是用代数的方法研究平面几何问题．其实质42课时作业点击进入链接第四十三页，编辑于星期五：八点三十四分。课时作业第四十三页，编辑于星期五：八点三十四分。43第三节直线的交点坐标与距离公式第一页，编辑于星期五：八点三十四分。第三节直线的交点坐标与距离公式第一页，编辑于星期五：八点44考纲点击1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.热点提示1.本节重点体现一种思想——转化与化归的思想，这种思想是高考的热点之一.2.本部分在高考中主要以选择、填空为主，属于中低档题目.第二页，编辑于星期五：八点三十四分。考纲点击1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.热点451．两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的 就是方程组的解，假设方程组有唯一解，那么两条直线 ，此解就是 ；假设方程组 ，那么两条直线无公共点，此时两条直线 ；反之，亦成立．交点坐标相交交点的坐标无解平行第三页，编辑于星期五：八点三十四分。1．两条直线的交点交点坐标相交交点的坐标无解平行第三页，编辑46第四页，编辑于星期五：八点三十四分。第四页，编辑于星期五：八点三十四分。47第五页，编辑于星期五：八点三十四分。第五页，编辑于星期五：八点三十四分。48【答案】

C第六页，编辑于星期五：八点三十四分。【答案】C第六页，编辑于星期五：八点三十四分。492．直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是那么直线l1的方程为()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0D．x＋y＝0或x＋y－2＝0解得，c＝3或c＝－1.∴l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.第七页，编辑于星期五：八点三十四分。2．直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是50【答案】C3．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，那么|AB|的值为()A．6B.C．2D．不能确定【答案】

B第八页，编辑于星期五：八点三十四分。【答案】C【答案】B第八页，编辑于星期五：八点三十四分514．直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与直线相交于B点，且|AB|＝5，那么直线l的方程为________．求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，第九页，编辑于星期五：八点三十四分。4．直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直52第十页，编辑于星期五：八点三十四分。第十页，编辑于星期五：八点三十四分。53即3x＋4y＋1＝0为所求．【答案】x＝1或3x＋4y＋1＝05．直线l1：kx－y＋1－k＝0与l2：ky－x－2k＝0的交点在第一象限，那么实数k的取值范围为________．第十一页，编辑于星期五：八点三十四分。即3x＋4y＋1＝0为所求．第十一页，编辑于星期五：八点三54【答案】

k＜0或k＞1点P(2，－1)．第十二页，编辑于星期五：八点三十四分。【答案】k＜0或k＞1点P(2，－1)．第十二页，编辑于星55(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由．第十三页，编辑于星期五：八点三十四分。(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；第十三页，编辑56【自主探究】(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.假设斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，第十四页，编辑于星期五：八点三十四分。【自主探究】(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标57由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．第十五页，编辑于星期五：八点三十四分。由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.(58【方法点评】

1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|.(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.【特别提醒】点到直线的距离公式当A＝0或B＝0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离．第十六页，编辑于星期五：八点三十四分。【方法点评】1.点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是591．直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．【解析】方法一：由题意，直线l1，l2之间的距离为且直线l被平行直线l1，l2所截得的线段AB的长为5.第十七页，编辑于星期五：八点三十四分。1．直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋60设直线l与直线l1的夹角为θ，那么 ，故θ=45°.由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为x=3或y=1.方法二：设直线l与l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1+y1+1=0，x2+y2+6=0，两式相减得(x1-x2)+(y1-y2)=5①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25②第十八页，编辑于星期五：八点三十四分。设直线l与直线l1的夹角为θ，第十八页，编辑于星期五：八点61由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°，故所求的直线方程为x＝3或y＝1.求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．【思路点拨】转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解．第十九页，编辑于星期五：八点三十四分。由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°，求直线l1：y＝62设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得第二十页，编辑于星期五：八点三十四分。设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，第二十页，编辑于星期63∴直线l2的方程为x－2y＝0.方法二：设所求直线上一点为P(x，y)，那么在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称．第二十一页，编辑于星期五：八点三十四分。∴直线l2的方程为x－2y＝0.第二十一页，编辑于星期五：八64代入直线l1：y＝2x＋3得x＋1＝2(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直线方程为x－2y＝0.【方法点评】常见的对称问题：(1)中心对称①假设点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，那么由中点坐标公式得②直线关于点的对称，其主要方法是：在直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．第二十二页，编辑于星期五：八点三十四分。代入直线l1：y＝2x＋3得x＋1＝2(y－1)＋3，第二十65(2)轴对称①点关于直线的对称假设两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，那么线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A≠0，x1≠x2)．②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是直线与对称轴相交；二是直线与对称轴平行．第二十三页，编辑于星期五：八点三十四分。(2)轴对称可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2662．在△MPQ中，点M的坐标为(3,5)，点P在直线l：x－2y＋2＝0上，点Q在y轴上，当P、Q在什么位置时，△MPQ的周长最小？第二十四页，编辑于星期五：八点三十四分。2．在△MPQ中，点M的坐标为(3,5)，点P在直线l：x－67【解析】如以下图，易得点M(3,5)关于y轴的对称点M2(-3,5)，关于直线l的对称点M1(5,1)，那么直线M1M2的方程为x+2y-7=0.解得直线M1M2与y轴的交点Q .又解方程组解得交点P的坐标为那么△MPQ的周长为MQ+PQ+MP=M2Q+PQ+M1P=M1M2.故此时△MPQ的周长最小．第二十五页，编辑于星期五：八点三十四分。【解析】如以下图，易得点M(3,5)关于y轴的对称点M2(68求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【思路点拨】

(1)先求交点，然后根据l3的斜率求出l的斜率，利用点斜式写出方程；(2)利用直线系来求．第二十六页，编辑于星期五：八点三十四分。求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝069方法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.方法三：∵l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.第二十七页，编辑于星期五：八点三十四分。方法二：∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，70代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.方法四：∵l⊥l3，故l属于直线系5x＋3y＋C＝0①又l过l1、l2的交点，故l又属于直线系(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0②第二十八页，编辑于星期五：八点三十四分。代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.第二十八页，71【方法点评】几种常用的直线系方程如下：(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为

A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)及x＝x0.第二十九页，编辑于星期五：八点三十四分。【方法点评】几种常用的直线系方程如下：第二十九页，编辑于星72(3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m为参数且m≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中，有一个条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．第三十页，编辑于星期五：八点三十四分。(3)平行直线系方程：与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y733．求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程．【解析】方法一：由得两直线交点为(1,2)，又5x－y＋3＝0的斜率为5，∴所求直线为y－2＝5(x－1),即5x－y－3＝0.方法二：设所求直线方程为：3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0，第三十一页，编辑于星期五：八点三十四分。3．求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的74因此直线与5x－y＋3＝0平行，∴－(λ＋3)＝5(2－λ)．解得λ＝∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，即5x－y－3＝0.第三十二页，编辑于星期五：八点三十四分。因此直线与5x－y＋3＝0平行，第三十二页，编辑于星期五：八751．(2021年江西高考)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于以下四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．【解析】点(0,2)到直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)的距离第三十三页，编辑于星期五：八点三十四分。1．(2021年江西高考)设直线系M：xcosθ＋(y－276∴此直线系M是以(0,2)为圆心，半径为1的圆的切线．如图1所示，①选项A显然不正确，所有切线不会过一个定点．②选项B正确，存在定点P(0,2)不在M中的任一条直线上．第三十四页，编辑于星期五：八点三十四分。∴此直线系M是以(0,2)为圆心，半径为1的圆的切线．第三十77③选项C正确，当n≥3，存在如图2正n边形，其边均为M中直线．④选项D不正确，如图3，△ABC与△A′B′C′

均为等边三角形．显然面积不相等．【答案】

B，C第三十五页，编辑于星期五：八点三十四分。③选项C正确，当n≥3，存在如图2正n边形，其边均为M中直线782．(2021年全国Ⅰ高考)假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，那么m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)【解析】求得两平行线间的距离为，那么m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，那么m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.【答案】①⑤第三十六页，编辑于星期五：八点三十四分。2．(2021年全国Ⅰ高考)假设直线m被两平行线l1：x－y793．(2