北京科技大学2006-2007学年度第1学期高等数学A试题及答案

2006-20071A北京科技大学2006--2007学年第一学期高等数学 试卷（A）院(系) 班级 学号 姓名试卷卷面成绩题一二三四五六七八九十十十小得阅校

成绩

绩占30%

课程考核成绩自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊装订线内不得答题． 设 |a1|b3,且a与b的夹角为,|ab6．．已知dz．

z(2x5y)2x

，则全微分． 已 1

d[fdx

1)]1 , 则x2 xf'( ) .24.2(x2arctanxcos5xsin7x)dx2.高等数学A试卷第2页共16页5

1dxx

． 不 定 积 分=．得分二、单项选择题（每小题3分，共15分）得分x(et26．

0 ,x0x2设f(x) a,x0

x0处连续，则a 的值为【 ．（A）0 （B）1 （C）2 （D）127．在空间直角坐标系下，z轴的对称式方程为【 ．（A）x1yz； （B）0 0 1xyz3 ；0 0 2

yz；

（D）xyz

1 0 0．0 1 0高等数学A试卷第3页共16页高等数学A试卷第4页共16页高等数学A试卷第5页共16页得分六（8分） 利用定积分定义计算极限得分1p2p np )lim (p0)n np1高等数学A试卷第6页共16页得分求极限得分

sinx（8

limx0

1cosxx1x1高等数学A试卷第7页共16页得分（8得分

32xdx1高等数学A试卷第8页共16页得分（8得分

lim

1cos

et2dt自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊装订自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊装订线内不得答题高等数学A试卷第9页共16页得分5得分（

分已知汽车行驶每小时的耗油费用为y（元，它与行驶速度（公里/小时）的关yx系为y 12500

．若汽车行驶时除耗油费用外的x3100驶速度为多少？得分得分高等数学A试卷第10页共16页5（

分）如图：已知半径为

的半球形水池R所做的功的一半时，水面下降的高度。R得分 十二（4分）f(x在区间[0,上可导,f(0)1，且满足等式（1）f(x；

f(x)f(x) 1x1

xf(t)dt00（2）证明:当x0时，成立不等式exf(x)1.高等数学A试卷第11页共16页高等数学A试卷第12页共16页A卷北京科技大学2006—2007学年度第一学期高等数学试卷（A）题答案及评分标准(注：此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档)71．72．

参考答案2(2xy） 5(2xy） .(2x5y)2xy{[2ln(2x5y)3．14．161 1

]dx[ln(2x5y) 2x5y 2x5y5．xarctan

x2)x 2二．选择题6．A 7．B 8．C 9．A10．B三．lim(sinx1x1 x=2(cosx+=

sin x)x1x1 x1sin 分）1 1 （x1 x+

2(cos

sinxx1 x

3分）=0（2分）tt2)

（5分）dx高等数学A试卷第13页共16页d2yt2)

（3分）dx2 五解法令tarcsin xx(sint)2dx2(sintcostdt原式

tcost

2sintcostdt

（3分）2tsintdt2tdcost

（3分）11x2

（2分）xx2 Cxx1x解法2：原式=21x

（3分）21x1x

arcsin11x

2xx2xx

（3分）xxC （2分）xx六．I

lim

n

i

1（3分）=1x

pdx

（4分）n

i1

n n 0=1p1

（1分）七．解：原式limex0

lnsinxx1cos

（3分）

lnsinx sinx

1（3分）lim xx01cos

等价穷小代换lim xx0 x22lim2sinxx

1x0 x3 33原式e1（2分）3八解：设原积分＝，则I设原积分＝，则I高等数学A试卷第14页共16页I2(2x)dx3(x)=52=5

（5分）（3分）九．解：原式=

lim1limcosx0

ett（3分）x2（3分分limecosx(（3分分x0

2x 2e十解：设汽车行驶了L

公里，则耗时L小时．x

L 1

x2

100

（3分）F(x) x3

100L

x0x 2500 x 2500 xF(x) (0, ) 根据 x3F'(x 1250

x50

1分）唯一的．则当行驶速度为公里/小时时总费用最省．（1分）50十一．如图：dWgx(R2x2)dx

（3分）WR gx(R2x2)dx0

R4g4当水面下降高度为h时，W h 0

gx(R2x2)dx4

h2g(2R2h2

（1分）

2 2h 2

（1分）高等数学A试卷第15页共16页十二（1）解：由题设知(xf(x)(xf(x)10

f(t)dt0上式两边对于x(xf(x(x2f(x。uf(x，得到

x2u，解之得到

f(x)u

Cex。dx x1 x1f(0)1f(0f(00f(0)1，从而C1f(x

exx

（2分）证当 时，x 0

(x)

0f(x

f(0)1，所以（1分） xf(xf(01。