2022年上海市外国语大学附属外国语学校高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。22B0．53．4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A|xB|xx2A|xB．|1x|x

B等于（ ）|1xzA．3

12i

（bR,i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为( )B．3 C．D． 3设alog0.5，blog 0.3，c则a,b,c的大小关系是( )3 0.2A．abc B．acb C．cab D．cba如图，圆锥底面半径为2，体积为2 2，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中3点已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的离等于（ ）A．1 B．1 C．102 4

D．52设函数g(x)ex(1 e)xa（aR为自然对数的底数定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)x2，x0

f'(x)

x|f(x)

f(1x)x

x为函数

yg(x)x

的一个零点，则实数，且0 2 ，且a的取值范围为（ ） e e 2A． ,2

B．( e,) C．[ e,)

D．

,2 6．在中A,B,C所对的边分别是a,b,c，若a3,b4,C120，则c（ ）A．37 B．13 C．13 D．37F(4,0)

(4,0)，N是圆Ox2y24FNMFM的1 2 1 1垂直平分线与直线FM相交于点P，则点P的轨迹是（ ）2A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆18．已知a( )0.2,blog12 2

0.2,cab，则a,b,c的大小关系是（ ）A．abc B．cab C．acb D．bca某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．0

x0已知a

bcbc

x

xxybxayc

z2xy（ ）

11．记集合 和集合 表示的平面区域分别和Ax,yx2y21 Bx,yxy4,x0,y 11．记集合 和集合 表示的平面区域分别和1 2

,若在区域11

内任取一点,则该点落在区域21

的概率为( )1

2A．B． C．D．在中，H为BC上异于B的任一点，M为AH的中点若AMABAC则等（ ）1 2A． B．2 3

1 1C． D．6 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知fx为偶函数，当x0时，f(x)exx，则f(ln2) ．如图，在矩形

中，为边 的中点，AB1，BC2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（

AD上EB、EC及边

所围成的平面图形绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 . 2,0 2 2,0在ABC 中，B、C的坐标分别为 ， ，且满足sin 2,0 2 2,0若点P的坐标为，则AOAP的取值范围.x1,

2sinAO为坐标原点，2x y yx, z2xy 若变量，

满足约束条件 则3x2y15,

的最大值是 .7017（12分）已知函数x＝|－2－|＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）x>0g(x

ax2x1(a>0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．x18（12分）已知函数fxx1.（1）fxfx48；（2）a1b1a0fabaf

ba. 19（12分）已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线y1x上的圆E与x轴相切，2且F关于点M0对称.E和的标准方程；过点M的直线l与E交于，与交于，求证：CD 2AB.1 0 4 120（12分）已知矩阵A0 ，B2 ，若矩阵MBA，求矩阵M的逆矩阵M1． 21（12分）选修4-：不等式选讲已知函数（）=lo（|x+1|+|﹣2﹣．m=7f（x）的定义域；xR，求m的取值范围．22（10分）已知函数fxaxlnxx22x．（1）当a（e为自然对数的底数）fx的极值；

xx

xx （2）f

x 为yf

x的导函数当a0x 0时求证x

f 12 2xf x f 12

2x．1 2

2 2参考答案125601、A【解析】求出集合B，然后进行并集的运算即可.【详解】∵A|xB|xB|∴A xB|故选：A.【点睛】2、C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】z1bi2b1i2i 5

，又z的实部与虚部相等，b22b1，解得b3.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.3、A【解析】选取中间值0和1，利用对数函数ylogx，ylog x和指数函数y2x的单调性即可求.3 0.2【详解】ylogx在上单调递增,3所以log0.5log10,3 3因为对数函数ylog x在上单调递减,0.2所以0log 1log 0.3log 0.21，0.2 0.2 0.2y2xR上单调递增20.3201,综上可知abc故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4、D【解析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离.【详解】将抛物线放入坐标系，如图所示， ∵PO 2，OE1，OCOD 2 C1, 2 y22px，代入C点，y2

2x∴焦点为1,0，2 2 即焦点为OEF，1EF ，PE1，∴PF 5.12 2故选：D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.5、D【解析】先构造函数Txfx1x2，由题意判断出函数Tx的奇偶性，再对函数Tx求导，判断其单调性，进而可求2出结果.【详解】构造函数Txfx1x2，2因为fxfxx2，所以TxTxfx1x2fx1x22 2

fxfxx20，所以Tx为奇函数，x0T'xf'xx0，所以Tx在上单调递减，所以Tx在R上单调递减.

xfx1fxx，0 2 所以fx1f1xx，0 2 0 0所以Tx1x21T1x11x2x，0 2 0 2 0 2 0 0化简得Tx0

T1x，0所以x0

1x0

，即x 10 22，令hxgxxex exax12， 因为x0

为函数ygxx的一个零点，hxx1时有一个零点11211x

2h'x

ex

e2

0，ee所以函数hxxee

1时单调递减，2e由选项知a0，ae

01，2eeaea a aeeaea ee又因为h e aeee

0， 所以要使hxxe只需使h1 e

1时有一个零点，21eea0，解得a 1ee2 2 2eea2

D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.6、D【解析】直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵a3,b4,C120，∴c2a2b22abcosC9161237，c 37故选：D．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．7、B【解析】根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.【详解】FMFMP，如下图所示：

1PMPF

2，而O,N是中点，连接ON，故MF

2ON4，因此PF2

1PF1

2 2 24(4FF)21NPF1

PMPF2

MF2

，而O,N是中点，连接ON,MF2

2ON4PF1

PF2

4(4F2

F)，1综上所述：有PFPF 4(4FF)，所以点P的轨迹是双曲线.1 2 21故选：B【点睛】8、B【解析】利用函数

1xy2y

ylog1

x互为反函数，可得0a

b

1，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论. 2【详解】y

1x

ylog1

x关于直线

yx

对称，则

010.2log

0.2，2

2 2 12 10.log1

1log1

10.2 10.2即0ab1，又cabcab故选：B.

2

2 2

2

5

2

a，【点睛】9、C【解析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，ADC为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.10、B【解析】判断直线bxayc0与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.【详解】abc0abc，所以可得a0,c0.abaac

2,bcacc

c12

c1

1

2，a a 2 a 2 2 a所以由bxayc0ybx

，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图a a所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选：B【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.11、C【解析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M落在区域2A、B所表示区域的面积，然后代入区域的面积P【详解】

22区域的面积1

，计算即可得答案．A{(xy|x2y216}所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为16，集合B{(x,y)|xy4 0，x 0，y 0}表示的平面区域即为图中的RtAOB，

AOB

14482根据几何概率的计算公式可得P 8

1，故选：C．【点睛】

12、A【解析】根据题意，用AB,AC表示出AH,BH与AM ，求出,的值即可.【详解】解：根据题意，设BHxBC，则AM1AH1(ABBH)1(ABxBC)1AB1x(ACAB)1(1x)AB1xAC，2 2 2 2 2 2 2又AMABAC，

1(1x),1x，2 2

1(1x)1x1，2 2 2A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.4520132ln2【解析】由偶函数的性质直接求解即可【详解】fln2fln2eln2ln22ln2.故答案为2ln2【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力14、【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为.考点：旋转体的组合体.15、12,

；则所求几何体的体积为【解析】

x2 y2 由正弦定理可得点A在曲线 1,x2上，设A4 4AOAP2x26【详解】

x,y

，则AOAPx24xy2，将y2x24代入可得ACAB

BC 4 244 2，2 2 2 Ax2y2

1,x2上，4 4Axyx2

y2

1,x2，4 4AOAPx,y4yx24xy2，y2

x24，AOAPx24xx242x26，因为x2，则AOAP222612，AOAP的取值范围为故答案为：12,.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.16、9【解析】做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出z2xy的最大值.【详解】做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，目标函数z2xy过点A时取得最大值，yx 3x 2y

x3，解得 ，即A(3,3)，y 3所以z2xy最大值为9.故答案为:9.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.7017（Ⅰ）x|x（Ⅱ）[1＋)。【解析】（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得gxmin

2 a1，fx再由2 a11，求得a的范围．【详解】（Ⅰ）x2x2x11，此时不成立；1x2时，原不等式可化为2xx11x0，即x0；x1时，原不等式可化为2xx11x1.综上，原不等式的解集是x|x0．（Ⅱ）因为gxax112 a1，当且仅当xx

a时等号成立，agx

g

2 1aaa aaa min x0

fx12x,0x2，所以fx3,1．aa3,x2

11，解得a1，故实数a的取值范围为【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝零点分段法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．18（）,3,（）证明见解析.【解析】x33x1x1fxfx48，即可得出该不等式的解集；faba

ba a

ab1ab

ab12ab

0即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】fxfx

2x2,x3fx4x1x34,3x1 .2x2,x1x3时，由2x28xx；3x1fx8不成立；x1时，由2x28x3x3.fx4的解集为

3,；（2）fa

aab1ab， b a1b1a21b21，2 2

ab1 ab

a2b22ab1

a22abb2

a2b2a21b2 a2

b21b21a21 b21

0.ab1ab故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.19（）x22y

1,x24y（）.【解析】（）设的标准方程为x

2pyEa．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为x24y．半径ra1，则E的标准方程为x22y2

1．（2）设lkykx1AB2

2k．联立直线与抛物线的方程有k21x24kx4k0．设Cx

Dx,y

，利用韦达定理结合弦长公式可得CD k21xx1 1 2

2 1 22 4 k21 k2k

CDAB2

2k21k

k2k p

2k=2CDk

2AB ．（）设的标准方程为x

2py，则F0, ．2 2已知E在直线y1x上，故可设E2a,a．2E

M

2a0222对称，所以 p2 2

1,0，a1,解得p2.所以x2

4y．因为E与x轴相切，故半径ra1，所以E的标准方程为x22y2（2）设l的斜率为k，那么其方程为ykx1，

1．k1k21Ek1k21

，所以AB2 2 ．1d22kk21 x1d22kk21由ykx消去y并整理得：x24kx4k0．设Cx,yDx,y则xx 4k,xx

4k，xxx24xx1 2 12CD

xxk21k2k21k2k

k21

4 k21 ． 2 CD2AB216k2+1 CD2AB2所以 8k 2k212

2k21k

k2k

2kk

=2．CD

2AB2CD

AB ．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3 120M

1015

10．25【解析】

4 11 0 4

3 10

110 试题分析：MBA2 30 2

．1 25 5试题解析：

4 11 0 4 B．因为MBA2 30 2 3， 3 1 10所以M1

10．15

2521（1）(3)【解析】

(4,)（）(,1]试题分析：用零点分区间讨论法解含绝对值的不等式，根据绝对值三角不等式得出x1x2(x1)(x2)3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4Rm的范围.试题解析：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集： ，或 ，或 ，解得函数（）的定义域为（，﹣）∪，．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．22（）极大值e1，极小值e2（）详见解析.【解析】首先确定函数的定义域和fx；当afxfx单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；x 2 11

2111通过分析法可将问题转化为证明lnx 11x

x2x 1

，设txx

1h