2018年四川大学附中自主招生数学试卷含答案

2018年四川大学附中自主招生数学试卷一、选择题（12560项是最符合题目要求的，请把答案涂在答题卷的相应位置）1（5分）如图，若数轴上的两点AB表示的数分别为ab，﹣b|等于（ ）A．a B．a﹣2b C．﹣a 2（5分）如m（n﹣2012＝，那么n的值为（ ）A．﹣1 B．1 C．2018 D．﹣20183（5分）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下，那么小正方体个数为（ ）4（5分）有四张正面分别标有数字，﹣，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它4（5分）有四张正面分别标有数字，﹣，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它x值使分式的值为0的概率是（）A．B．C．D．5（5分）已知a+26ab且b，则的值为（）A．B．±C．2D．±26（5分）将边长分别为、1、、5的正方形依次选取2个、345个拼成矩形，按下面的规①②、矩形、矩形④形⑧的周长应该为（）A．288 B．220 C．178 D．1107（5分）若对所有的实数，+a+a恒为正，则（ ）A．a＜0 B．a＞4 C．a＜0或a＞4 D．0＜a＜48（5分）已知，n是关于x的一元二次方程﹣+22＝0的两实数根，则2（）的最小值是（ ）A．7 B．11 C．12 D．16A．B．C．D．10（5分）一次函数＝4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣（、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、yA．B．C．D．10（5分）一次函数＝4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣（、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y115分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到1）→10）→，）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）125分）二次函数＝a125分）二次函数＝a2b+≠）①ab0；②当≥1y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0；⑤＜1，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4135分）如果a135分）如果a＜0，那么++＝．145分）如图C中，＝9°＝15D是B边上的动点E是C边上的动点，则BE+ED的最小值为 ．155分）如图，矩形ABCD四个顶点均在函数y＝的图象上，且矩形面积为2xA＝．l1：Ax+Byl1：Ax+By+C1＝0l2：Ax+By+C2＝0d＝如：求：两条平行线x+3y﹣4＝0和2x+6y﹣9＝0的距离．解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得 2x+6y﹣8＝0和2x+6y﹣9＝0，因此，d＝l1：3x+4y＝10l2：6x+8y﹣10＝0的距离是．175分）已知﹣4175分）已知﹣4＝0，求的值．185分）如果＝3+m的值．19（12分）植树节前夕，某校所有学生参加植树活动，要求每人植26棵．活动结束后，校学生会就本图中提供的信息解答以下问题：求该校共有多少名学生；将条形统计图补充完整；棵”部分所对应的圆心角的度数；在这次调查中，众数和中位数分别为多少？棵”的概率是多少？20（15分）如图，在矩形DE是B边的中点，沿C对折矩形，使B点落在点P处，折ECECAPAPCDFBPCEH．若∠PBA：∠PBC＝1：2的形状并说明；AECF为平行四边形．2115分）COAO上一点，过点CO的切线，交A的延长线于点，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（2）若OC＝CP，AB（2）若OC＝CP，AB＝3 ，求CD的长．22（18分）如图，抛物线＝+b+c与x轴交于AB两点，其中点（，，交y轴于点（，﹣．直线＝+ 过点B与y轴交于点，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线D下方的抛物线上一动点（不与点D重合，过点P作y轴的平行线，交直线D于点E，过点D作⊥y轴于点M．（1）y＝x2+bx+cD的坐标；PEMNP的坐标；过点PPF⊥BDFC，点Pa，求Ca的函数关系式，并C的最大值．2018年四川大学附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12560项是最符合题目要求的，请把答案涂在答题卷的相应位置）1（5分）如图，若数轴上的两点AB表示的数分别为ab，﹣b|等于（ ）A．a B．a﹣2b C．﹣a D．b﹣a【解答】解：由数轴可知：﹣2＜b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，b＜0，∴原式＝a﹣b﹣b＝a﹣2b，故选：B．2（5分）如m（n﹣2012＝，那么n的值为（ ）A．﹣1 B．1 C．2018 D．﹣2018【解答】解：由题意得，m+1＝0，n﹣2018＝0，解得m＝﹣1，n＝2018，所以，mn＝（﹣1）2018＝1．故选：B．3（5分）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下，那么小正方体个数为（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个表示在该位置上摆立方体的个数）4（5分）有四张正面分别标有数字4（5分）有四张正面分别标有数字，﹣，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它x值使分式的值为0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＝﹣3时，分式0．1212x值使分式02个，∴小李得到的x值使分式0的概率为＝；5（55（5分）已知a+26ab且b，则的值为（）A．B．±C．2D．±2【解答】解：∵a2+b2＝6ab，∴（）2＝＝2，∴（+）＝8aa﹣）∴（）2＝＝2，∴＝．又∵a＞b＞∴＝．故选：A．6（5分）将边长分别为、1、、5的正方形依次选取2个、345个拼成矩形，按下面的规①②、矩形、矩形④形⑧的周长应该为（ ）A．288 B．220 C．178 D．110第⑥2×13+2，第⑦×（21+3，第⑧个的周长为：2×（34+55）＝178，故选：C．7（5分）若对所有的实数，+a+a恒为正，则（ ）A．a＜0 B．a＞4 C．a＜0或a＞4 D．0＜a＜4【解答】解：令y＝x2+ax+a，这个函数开口向上，式子的值恒大于0的条件是：△＝a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜4．故选：D．8（5分）已知，n是关于x的一元二次方程﹣+22＝0的两实数根，则2（）的最小值是（ ）A．7 B．11 C．12 D．16【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，∴mn）（+）＝28＝17．∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16．故选：D．95分）如图，EF分别为正方形D中C边的中点，连接E相交于点，连接，则cos∠CGD＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AB＝ADA．B．C．D．∵E、F分别为AB、BC边的中点，∴AE＝BF，，在△ABF和△DAE中，，∴≌（SA，∴∠AED＝∠BFA，∵∠BAF+∠AED＝∠BAF+∠BFA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥DE，取AD的中点H，连接CH，因为H是AD的中点，CH∥AF，CHDGMHADGDM＝GM，所以CH垂直平分DG，∴CD＝CG，∴∠CGD＝∠CDG，∵AB∥CD，∴∠CGD＝∠AED，由勾股定理得，DE＝＝＝ a，∴cos由勾股定理得，DE＝＝＝ a，∴cos∠AED＝＝＝，∴cos∠CGD＝∴cos∠CGD＝cos∠AED＝．10（5分）一次函数＝4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣（、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，即：﹣kx+4＝有解，A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，即：﹣kx+4＝有解，∴﹣kx2+4x﹣k＝0，Δ＝16﹣4k2＞0，k2＜4，∴函数图象在二、四象限，∴2k2﹣9＜﹣1＜0∴函数图象在二、四象限，∵﹣1＜﹣，如图，在每个象限内，y随∵﹣1＜﹣，x＝时，y3＜0，x＝时，y3＜0，15分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到1）→10）→，）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）A．886 B．903 C．946 D．990【解答】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→L，发现：当x＝0时，有两个点，共2个点，当x＝1时，有3个点，x＝2时，1个点，共4个点；当x＝3时，有4个点，x＝4，1个点，x＝5，1个点，共6个点；当x＝6时，有5个点，x＝7，1个点，x＝8，1个点，x＝9，1个点，共8个点；当x＝10时，有6个点，x＝11，1个点，x＝12，1个点，x＝13，1个点，x＝14，1个点，共10个点；xx＝，有（n+1）个点，共2n个点；≤2018且n为正整数，2+4+6+8+10+…≤2018且n为正整数，得n＝44，∵n＝44时，2+4+6+8+10+…+88＝1980，且当n＝45时，2+4+6+8+10+…+90＝2070，∴当n＝44时，x＝（∴当n＝44时，x＝（44×45）＝990，∴1980＜2018＜1980+46，∴2018125分）二次函数＝ab+≠）①ab0；②当≥1y随x的增大而减小；③2a+b＝0的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0；⑤＜1，其中正确的个数是（）【解答】解：①由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，∴①正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即当x≥1时，y随x的增大而增大，∴②错误；∴﹣＝1，③∵抛物线的对称轴为x∴﹣＝1，

D．4∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，∴③正确；④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴④正确；⑤观察图象可知：x＝﹣2即4a﹣2b+c＞0，4a+c＞2b，＜1，∵b＜＜1，∴⑤正确．∴①③④⑤正确．故选：D．135分）如果a135分）如果a＜0，那么++＝﹣1 ．【解答】解：∵ab＜0，∴++＝1﹣∴++＝1﹣1﹣1＝﹣1；145145分）C＝9＝15D是BE是C边上的动点，则BE+ED的最小值为．BACBB′D⊥ABACAB′、BEBE+ED＝B′E+ED＝B′D的值最小．∵点B关于AC的对称点是B′，BC＝5，∴B′C＝5，BB′＝10．∴AB＝＝13．∵SABB＝△ ′AB•B′D＝∴AB＝＝13．∵SABB＝△ ′AB•B′D＝•BB′•AC，∴B′D＝＝＝，∴BE+ED＝B′D＝．故答案为．155分D四个顶点均在函数＝2xA155分D四个顶点均在函数＝2xA＝．点A在反比例函数＝的图象上，设点A的坐标，，D（，，△ ∵SAOE＝S△ ∴S△AOD＝S梯形AEFD＝S矩形ABCD＝×2＝，即，∴S△AOD＝S梯形AEFD＝S矩形ABCD＝×2＝，即，＝，也就是，（+（﹣）＝，解得：x＝x＝＜（舍去，故答案为：．△ △ △ 165分）两条平行线间的距离公式l1：Ax+By+C1＝0l2：Ax+By+C2＝0l1：Ax+By+C1＝0l2：Ax+By+C2＝0d＝如：求：两条平行线x+3y﹣4＝0和2x+6y﹣9＝0的距离．解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得 2x+6y﹣8＝0和2x+6y﹣9＝0，因此，d＝l1：3x+4y＝10l2：6x+8y﹣10＝0的距离是1．∴d＝＝1．故答案为：1．175分）已知2﹣4175分）已知2﹣4＝0，求的值．【解答】解：原式＝＝∴x2﹣4x＝﹣1.．18∴x2﹣4x＝﹣1.．185分）如果＝3+m的值．【解答】解：去分母得：3x﹣2＝3（x+1）+m，3x﹣2＝3x+3+m，3x﹣3x﹣2﹣3＝m，m＝﹣5．19（12分）植树节前夕，某校所有学生参加植树活动，要求每人植26棵．活动结束后，校学生会就本图中提供的信息解答以下问题：求该校共有多少名学生；将条形统计图补充完整；棵”部分所对应的圆心角的度数；在这次调查中，众数和中位数分别为多少？棵”的概率是多少？）根据题意得：300÷30100（人，答：该校共有1000名学生；（2）植5100×35＝35（人，补图如下：（3）根据题意得：×360°＝（3）根据题意得：×360°＝72°，55棵；把这些数从小到大排列，第501和502个数的平均数是中位数，则中位数是4棵．棵”的概率是＝．1000棵”的概率是＝．20（15分）如图，在矩形DE是B边的中点，沿C对折矩形，使B点落在点P处，折ECECAPAPCDFBPCEH．若∠PBA：∠PBC＝1：2的形状并说明；AECF为平行四边形．（1）解：△PBC是等边三角形，ABCD∵∠PBA：∠PBC＝1：2，∴∠OBC＝60°，∵沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，∴PC＝BC，∴△PBC是等边三角形；（2）证明：∵根据折叠得出△EBC≌△（2）证明：∴BE＝PE，∴∠1＝∠2，∵E为AB的中点，∴BE＝AE，∴AE＝PE，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴BP⊥AF，∵对折矩形ABCD，∴BP⊥CE，∴AF∥CE，∵根据矩形ABCD得：AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．2115分）COAO上一点，过点CO的切线，交A的延长线于点，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（2）若OC＝CP，AB＝（2）若OC＝CP，AB＝3CD的长．【解答】（1）证明：连接AO，AC；如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝CE＝DE∴AE＝CD＝CE＝DE，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠ECA+∠OCA＝90°，∴∠EAC+∠OAC＝90°，∴OA⊥AP，∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；解：由OA⊥AP．∴sinP＝＝；在Rt△OAP中，∵∠OAP＝90°，OC＝CP＝OA，即OP∴sinP＝＝；∴∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，在Rt△BAC中，∵∠BAC在Rt△BAC中，∵∠BAC＝90°，AB＝3，∠ACO＝60°，∴AC＝＝＝3，∴CD＝＝＝2．22（18分）如图，抛