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2018年四川大学附中自主招生数学试卷一、选择题(12560项是最符合题目要求的,请把答案涂在答题卷的相应位置)1(5分)如图,若数轴上的两点AB表示的数分别为ab,﹣b|等于( )A.a B.a﹣2b C.﹣a 2(5分)如m(n﹣2012=,那么n的值为( )A.﹣1 B.1 C.2018 D.﹣20183(5分)由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下,那么小正方体个数为( )4(5分)有四张正面分别标有数字,﹣,2的不透明卡片,它们除数字不同外其余相同.现将它4(5分)有四张正面分别标有数字,﹣,2的不透明卡片,它们除数字不同外其余相同.现将它x值使分式的值为0的概率是()A.B.C.D.5(5分)已知a+26ab且b,则的值为()A.B.±C.2D.±26(5分)将边长分别为、1、、5的正方形依次选取2个、345个拼成矩形,按下面的规①②、矩形、矩形④形⑧的周长应该为()A.288 B.220 C.178 D.1107(5分)若对所有的实数,+a+a恒为正,则( )A.a<0 B.a>4 C.a<0或a>4 D.0<a<48(5分)已知,n是关于x的一元二次方程﹣+22=0的两实数根,则2()的最小值是( )A.7 B.11 C.12 D.16A.B.C.D.10(5分)一次函数=4与反比例函数的图象有两个不同的交点,点(﹣(、(,y3)是函数图象上的三个点,则y1、yA.B.C.D.10(5分)一次函数=4与反比例函数的图象有两个不同的交点,点(﹣(、(,y3)是函数图象上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是()A.y2<y3<y1 B.y1<y2<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y115分)如图,一个粒子从原点出发,每分钟移动一次,依次运动到1)→10)→,)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→……,则2018分钟时粒子所在点的横坐标为( )125分)二次函数=a125分)二次函数=a2b+≠)①ab0;②当≥1y随x的增大而减小;③2a+b=0;④b2﹣4ac>0;⑤<1,其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4135分)如果a135分)如果a<0,那么++=.145分)如图C中,=9°=15D是B边上的动点E是C边上的动点,则BE+ED的最小值为 .155分)如图,矩形ABCD四个顶点均在函数y=的图象上,且矩形面积为2xA=.l1:Ax+Byl1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0d=如:求:两条平行线x+3y﹣4=0和2x+6y﹣9=0的距离.解:将两方程中x,y的系数化成对应相等的形式,得 2x+6y﹣8=0和2x+6y﹣9=0,因此,d=l1:3x+4y=10l2:6x+8y﹣10=0的距离是.175分)已知﹣4175分)已知﹣4=0,求的值.185分)如果=3+m的值.19(12分)植树节前夕,某校所有学生参加植树活动,要求每人植26棵.活动结束后,校学生会就本图中提供的信息解答以下问题:求该校共有多少名学生;将条形统计图补充完整;棵”部分所对应的圆心角的度数;在这次调查中,众数和中位数分别为多少?棵”的概率是多少?20(15分)如图,在矩形DE是B边的中点,沿C对折矩形,使B点落在点P处,折ECECAPAPCDFBPCEH.若∠PBA:∠PBC=1:2的形状并说明;AECF为平行四边形.2115分)COAO上一点,过点CO的切线,交A的延长线于点,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.(2)若OC=CP,AB(2)若OC=CP,AB=3 ,求CD的长.22(18分)如图,抛物线=+b+c与x轴交于AB两点,其中点(,,交y轴于点(,﹣.直线=+ 过点B与y轴交于点,与抛物线的另一个交点是D,点P是直线D下方的抛物线上一动点(不与点D重合,过点P作y轴的平行线,交直线D于点E,过点D作⊥y轴于点M.(1)y=x2+bx+cD的坐标;PEMNP的坐标;过点PPF⊥BDFC,点Pa,求Ca的函数关系式,并C的最大值.2018年四川大学附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(12560项是最符合题目要求的,请把答案涂在答题卷的相应位置)1(5分)如图,若数轴上的两点AB表示的数分别为ab,﹣b|等于( )A.a B.a﹣2b C.﹣a D.b﹣a【解答】解:由数轴可知:﹣2<b<﹣1<0<a<1,∴a﹣b>0,b<0,∴原式=a﹣b﹣b=a﹣2b,故选:B.2(5分)如m(n﹣2012=,那么n的值为( )A.﹣1 B.1 C.2018 D.﹣2018【解答】解:由题意得,m+1=0,n﹣2018=0,解得m=﹣1,n=2018,所以,mn=(﹣1)2018=1.故选:B.3(5分)由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下,那么小正方体个数为( )A.5个 B.6个 C.7个 D.8个表示在该位置上摆立方体的个数)4(5分)有四张正面分别标有数字4(5分)有四张正面分别标有数字,﹣,2的不透明卡片,它们除数字不同外其余相同.现将它x值使分式的值为0的概率是()A.B.C.D.【解答】解:当x=﹣3时,分式0.1212x值使分式02个,∴小李得到的x值使分式0的概率为=;5(55(5分)已知a+26ab且b,则的值为()A.B.±C.2D.±2【解答】解:∵a2+b2=6ab,∴()2==2,∴(+)=8aa﹣)∴()2==2,∴=.又∵a>b>∴=.故选:A.6(5分)将边长分别为、1、、5的正方形依次选取2个、345个拼成矩形,按下面的规①②、矩形、矩形④形⑧的周长应该为( )A.288 B.220 C.178 D.110第⑥2×13+2,第⑦×(21+3,第⑧个的周长为:2×(34+55)=178,故选:C.7(5分)若对所有的实数,+a+a恒为正,则( )A.a<0 B.a>4 C.a<0或a>4 D.0<a<4【解答】解:令y=x2+ax+a,这个函数开口向上,式子的值恒大于0的条件是:△=a2﹣4a<0,解得:0<a<4.故选:D.8(5分)已知,n是关于x的一元二次方程﹣+22=0的两实数根,则2()的最小值是( )A.7 B.11 C.12 D.16【解答】解:∵m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,∴m+n=2t,mn=t2﹣2t+4,∴mn)(+)=28=17.∵方程有两个实数根,∴Δ=(﹣2t)2﹣4(t2﹣2t+4)=8t﹣16≥0,∴t≥2,∴(t+1)2+7≥(2+1)2+7=16.故选:D.95分)如图,EF分别为正方形D中C边的中点,连接E相交于点,连接,则cos∠CGD=( )A.B.C.D.【解答】解:如图,在正方形ABCD中,AB=ADA.B.C.D.∵E、F分别为AB、BC边的中点,∴AE=BF,,在△ABF和△DAE中,,∴≌(SA,∴∠AED=∠BFA,∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°,∴∠AGE=90°,∴AF⊥DE,取AD的中点H,连接CH,因为H是AD的中点,CH∥AF,CHDGMHADGDM=GM,所以CH垂直平分DG,∴CD=CG,∴∠CGD=∠CDG,∵AB∥CD,∴∠CGD=∠AED,由勾股定理得,DE=== a,∴cos由勾股定理得,DE=== a,∴cos∠AED===,∴cos∠CGD=∴cos∠CGD=cos∠AED=.10(5分)一次函数=4与反比例函数的图象有两个不同的交点,点(﹣(、(,y3)是函数图象上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是()y=﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点,即:﹣kx+4=有解,A.y2<y3<y1 B.y1<y2<y3 C.y3<y1<y=﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点,即:﹣kx+4=有解,∴﹣kx2+4x﹣k=0,Δ=16﹣4k2>0,k2<4,∴函数图象在二、四象限,∴2k2﹣9<﹣1<0∴函数图象在二、四象限,∵﹣1<﹣,如图,在每个象限内,y随∵﹣1<﹣,x=时,y3<0,x=时,y3<0,15分)如图,一个粒子从原点出发,每分钟移动一次,依次运动到1)→10)→,)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→……,则2018分钟时粒子所在点的横坐标为( )A.886 B.903 C.946 D.990【解答】解:一个粒子从原点出发,每分钟移动一次,依次运动到(0,1)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,1)→(3,0)→L,发现:当x=0时,有两个点,共2个点,当x=1时,有3个点,x=2时,1个点,共4个点;当x=3时,有4个点,x=4,1个点,x=5,1个点,共6个点;当x=6时,有5个点,x=7,1个点,x=8,1个点,x=9,1个点,共8个点;当x=10时,有6个点,x=11,1个点,x=12,1个点,x=13,1个点,x=14,1个点,共10个点;xx=,有(n+1)个点,共2n个点;≤2018且n为正整数,2+4+6+8+10+…≤2018且n为正整数,得n=44,∵n=44时,2+4+6+8+10+…+88=1980,且当n=45时,2+4+6+8+10+…+90=2070,∴当n=44时,x=(∴当n=44时,x=(44×45)=990,∴1980<2018<1980+46,∴2018125分)二次函数=ab+≠)①ab0;②当≥1y随x的增大而减小;③2a+b=0的增大而减小;③2a+b=0;④b2﹣4ac>0;⑤<1,其中正确的个数是()【解答】解:①由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知:a>0,b<0,c<0,∴abc>0,∴①正确;②∵抛物线的对称轴为x=1,抛物线开口向上,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,即当x≥1时,y随x的增大而增大,∴②错误;∴﹣=1,③∵抛物线的对称轴为x∴﹣=1,

D.4∴b=﹣2a,即2a+b=0,∴③正确;④∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,∴④正确;⑤观察图象可知:x=﹣2即4a﹣2b+c>0,4a+c>2b,<1,∵b<<1,∴⑤正确.∴①③④⑤正确.故选:D.135分)如果a135分)如果a<0,那么++=﹣1 .【解答】解:∵ab<0,∴++=1﹣∴++=1﹣1﹣1=﹣1;145145分)C=9=15D是BE是C边上的动点,则BE+ED的最小值为.BACBB′D⊥ABACAB′、BEBE+ED=B′E+ED=B′D的值最小.∵点B关于AC的对称点是B′,BC=5,∴B′C=5,BB′=10.∴AB==13.∵SABB=△ ′AB•B′D=∴AB==13.∵SABB=△ ′AB•B′D=•BB′•AC,∴B′D===,∴BE+ED=B′D=.故答案为.155分D四个顶点均在函数=2xA155分D四个顶点均在函数=2xA=.点A在反比例函数=的图象上,设点A的坐标,,D(,,△ ∵SAOE=S△ ∴S△AOD=S梯形AEFD=S矩形ABCD=×2=,即,∴S△AOD=S梯形AEFD=S矩形ABCD=×2=,即,=,也就是,(+(﹣)=,解得:x=x=<(舍去,故答案为:.△ △ △ 165分)两条平行线间的距离公式l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0d=如:求:两条平行线x+3y﹣4=0和2x+6y﹣9=0的距离.解:将两方程中x,y的系数化成对应相等的形式,得 2x+6y﹣8=0和2x+6y﹣9=0,因此,d=l1:3x+4y=10l2:6x+8y﹣10=0的距离是1.∴d==1.故答案为:1.175分)已知2﹣4175分)已知2﹣4=0,求的值.【解答】解:原式==∴x2﹣4x=﹣1..18∴x2﹣4x=﹣1..185分)如果=3+m的值.【解答】解:去分母得:3x﹣2=3(x+1)+m,3x﹣2=3x+3+m,3x﹣3x﹣2﹣3=m,m=﹣5.19(12分)植树节前夕,某校所有学生参加植树活动,要求每人植26棵.活动结束后,校学生会就本图中提供的信息解答以下问题:求该校共有多少名学生;将条形统计图补充完整;棵”部分所对应的圆心角的度数;在这次调查中,众数和中位数分别为多少?棵”的概率是多少?)根据题意得:300÷30100(人,答:该校共有1000名学生;(2)植5100×35=35(人,补图如下:(3)根据题意得:×360°=(3)根据题意得:×360°=72°,55棵;把这些数从小到大排列,第501和502个数的平均数是中位数,则中位数是4棵.棵”的概率是=.1000棵”的概率是=.20(15分)如图,在矩形DE是B边的中点,沿C对折矩形,使B点落在点P处,折ECECAPAPCDFBPCEH.若∠PBA:∠PBC=1:2的形状并说明;AECF为平行四边形.(1)解:△PBC是等边三角形,ABCD∵∠PBA:∠PBC=1:2,∴∠OBC=60°,∵沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处,∴PC=BC,∴△PBC是等边三角形;(2)证明:∵根据折叠得出△EBC≌△(2)证明:∴BE=PE,∴∠1=∠2,∵E为AB的中点,∴BE=AE,∴AE=PE,∴∠3=∠4,∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,∴BP⊥AF,∵对折矩形ABCD,∴BP⊥CE,∴AF∥CE,∵根据矩形ABCD得:AE∥CF,∴四边形AECF为平行四边形.2115分)COAO上一点,过点CO的切线,交A的延长线于点,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.(2)若OC=CP,AB=(2)若OC=CP,AB=3CD的长.【解答】(1)证明:连接AO,AC;如图所示:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,∴∠CAD=90°,∴AE=CD=CE=DE∴AE=CD=CE=DE,∴∠ECA=∠EAC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵CD是⊙O的切线,∴CD⊥OC,∴∠ECA+∠OCA=90°,∴∠EAC+∠OAC=90°,∴OA⊥AP,∵A是⊙O上一点,∴AP是⊙O的切线;解:由OA⊥AP.∴sinP==;在Rt△OAP中,∵∠OAP=90°,OC=CP=OA,即OP∴sinP==;∴∠P=30°,∴∠AOP=60°,∵OC=OA,∴△AOC是等边三角形,在Rt△BAC中,∵∠BAC在Rt△BAC中,∵∠BAC=90°,AB=3,∠ACO=60°,∴AC===3,∴CD===2.22(18分)如图,抛

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