2022-2023学年人教版初中数学专题《解直角三角形的实际应用中的方位角问题》含答案解析

专题锐角三角函数优选提升题三：解直角三角形的实际应用题型二：方位角问题一、解答题1．（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）如图，是湿地公园里的一条环形跑道，B在A的正南方．一天，李老师从起点A出发开始跑步，此时他发现公园中心塔C在他的东南方向，他以每分钟80米的速度，沿AB方向跑了15分钟后到达健身跑道的B处，此时他发现公园中心塔C在他的南偏东75°方向．（A，B，C在同一平面内，参考数据：，）(1)求BC的长；（结果保留整数）(2)为了满足市民健身的要求，政府决定对健身跑道进行扩建．计划将跑道AB段继续向正南方向延伸至D处，再将DC连接起来组成新的环形跑道．若在D处测得C在D的北偏东60°方向．若预计修建跑道的成本为每米60元，政府拨付改建费20万元，则此次政府拨付改建费用是否足够？请通过计算说明理由．【答案】(1)跑道BC的长为1697米(2)此次改建费用足够，理由见解析【分析】（1）作构造直角三角形后，利用特殊角的三角函数求解即可．（2）先画出图形，再通过构造直角三角形进行求解，得出需要修建的跑道总长，计算出总费用进行比较即可．【详解】（1）由题意得：，，米过点B作于点，∴，在中，，∴，在中，，∴（米）答：跑道BC的长为1697米．（2）如图，过点B作于点G，∴，∵，∴∴在中，，∴∴，．在中，，∴，，∴总道路长为．∴总共花费：．答：此次改建费用足够．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，解题关键是能正确理解题意，做出辅助线，构造直角三角形，并解直角三角形．2．（2022·安徽合肥·九年级期末）数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32)【答案】62.9米【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCE是矩形，∴BE=CF，CE=BF，∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，∴CF=AF=AC=50，∵∠CBF=63.5°，∴（米），∵CD∥AB，∴∠D=53°，∵∠BED=90°，∴（米），∴CD=CE+DE=62.9（米），答：古树C、D之间的距离约为62.9米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）【答案】(1)(2)米【分析】（1）过点A作交于点，根据且，可得，利用外角的性质根据可求出结果（2）过点B作BG⊥AD于G，则有，可得，，，可求得，再根据可得结果．（1）如图示，过点A作交于点，∵且∴∵且∴；（2）过点B作BG⊥AD于G．∵∴在中，，在中，∵∴∴答：两颗银杏树B、C之间的距离为米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，外角的性质，能根据题意理清图形中各角的关系是解题的关键．4．（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF平行MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【答案】米【分析】首先构造直角三角形，作、，垂足为P、Q，则四边形CPQD为矩形，CD=PQ=30，设河宽CP为x，利用∠CAP=45°，得出AP=x，则BP=，根据∠BDQ的正弦列出方程，求出x即可表示出河宽．【详解】解：如图，过C、D分别作、，垂足为P、Q,设河宽为x米．由题可知，,,∴为等腰直角三角形，∴，,∵MN∥EF，、，∴,∴四边形CPQD为矩形，∴C