人教版初中数学第十四章整式乘法及因式分解知识点

精选文档精选文档精选文档第十四章整式乘除与因式分解

14.1整式的乘法

同底数幂的乘法

同底数幂的乘法法规：amanamn（m,n都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.

例1．在横线上填入合适的代数式：x6_____x14，x6_____x2.

【答案】x8，x4

【解析】

试题解析：依据同底数幂的乘除法法规即可获得结果.

6814，x6x4x2.xxx考点：此题观察的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握同底数幂的除法法规：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法

则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

例2．计算：a7a4a3；【答案】a14

【解析】

试题解析：依据同底数幂的乘法法规即可获得结果.

743a14.aaa考点：此题观察的是同底数幂的乘法

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握同底数幂的乘法法规：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

幂的乘方

幂的乘方法规：(am)namn（m,n都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

幂的乘方法规可以逆用：即amn(am)n(an)m例1．对于非零实数m，以下式子运算正确的选项是（）A．(m3)2m9B．m3m2m6C．m2m3m5D．m6m2m4【答案】D

【解析】

试题解析：依据幂的乘方法规，同底数幂的乘除法法规挨次解析各项即可获得结果.

A．m23m6，．m3m2m5，C．2与m3没法合并，故错误；BmD．m6m2m4，本选项正确.

考点：此题观察的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握幂的乘方法规：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法规：同底数

幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法规：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

例2．计算：(a3)2(a2)3．

【答案】a12

【解析】

试题解析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.

32236612(a)(a)a(a)a.

考点：此题观察的是幂的乘方，同底数幂的乘法

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握幂的乘方法规：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法规：同底数

幂相乘，底数不变，指数相加.

例3．计算：a9a5(a4)3；

【答案】a2

【解析】

试题解析：依据幂的乘方法规，同底数幂的乘除法法规即可获得结果.

954314122aa(a)aaa.

考点：此题观察的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握幂的乘方法规：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法规：同底数

幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法规：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

例4．计算：(am)3an；

【答案】a3mn

【解析】

试题解析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可.(am)3ana3mana3mn.考点：此题观察的是幂的乘方，同底数幂的乘法

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握幂的乘方法规：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法规：同底数

幂相乘，底数不变，指数相加.

积的乘方

积的乘方法规：(ab)nanbn（n是正整数）.积的乘方，等于各因数乘方的积.

例1．计算(a2b)3的结果是

A.a3b3B.a6b3C.a3b6D.a6b6

【答案】B

【解析】依据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，求解即可

a2b）3=（a2）3×b3=a6×b3=a6b3．

应选B

例2．计算（－2a)3的结果是【】A.6a3B.－6a3C.8a3D.－8a3【答案】D.【解析】依据幂的乘方和积的乘方运算法规计算后作出判断：（2a)3=233=8a3.应选D.a例3．计算：(x2y3)3.【答案】x6y9

【解析】

试题解析：积的乘方法规：积的乘方等于它的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

(x2y3)3x6y9.

考点：此题观察的是积的乘方

谈论：此题是基础应用题，只要学生娴熟掌握积的乘方法规，即可完成.

例4．计算：(1)3a24；【答案】a8

【解析】

试题解析：先计算(1)3，再计算幂的乘方即可.

(1)3a24a24a8.

考点：此题观察的是幂的乘方

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握幂的乘方法规：幂的乘方，底数不变，指数相乘.整式的乘法

1、单项式与单项式相乘，把他们的系数，同样字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指

数作为积的一个因式.

例1．单项式4x5y与2x2（-y）3z的积是（）A．8x10y3zB．8x7（-y）4zC．-8x7y4zD．-8x10y3z【答案】C【解析】试题解析：直接依据单项式乘以单项式的法规计算即可获得结果.

由题意得4x5y2x2(y)3z42x5x2y(y3)z8x7y4z，

应选C.

考点：此题观察的是单项式乘单项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘单项式法规：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，同样字母

的幂分别相加，其他字母连同他的指数不变，作为积的因式.

例2．·ab2c—24a3b5c.3【答案】8a2b3

【解析】

试题解析：依据单项式乘单项式法规，同底数幂的乘法法规即可获得结果.

8a2b3·3ab2c—24a3b5c.

考点：此题观察的是单项式乘单项式，同底数幂的乘法

谈论：解答此题需熟知以下看法：（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数相乘，同样字母的幂相乘，其他字母连

同它的指数不变，作为积的因式；（2）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．

25例3．计算：x2y3·xyz=_________；516【答案】1x3y4z8

【解析】

试题解析：依据单项式乘单项式法规直接计算即可.

22352523·y·z=1345xy·xyz=5×·x·x·y8xyz.1616考点：此题观察的是单项式乘单项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘单项式法规：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，同样字母的幂分别相加，其他字母连同他的指数不变，作为积的因式.

2例4．计算：2ab2·a3=________；3

【答案】4a4b23

【解析】

试题解析：依据单项式乘单项式法规直接计算即可.

2232324422ab·a=2×·a·a·b=ab.333

考点：此题观察的是单项式乘单项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘单项式法规：单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，同样字母

的幂分别相加，其他字母连同他的指数不变，作为积的因式.

例5．2x2xy.

【答案】4x2y

【解析】

试题解析：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同样字母的幂分别相乘，其他字母连同它的指数不变，作为积的

因式.

2x2xy4x2y.

考点：此题观察的是单项式乘单项式

谈论：此题属于基础应用题，只要学生娴熟掌握单项式乘单项式法规，即可完成.

2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即m(a

bc)

ma

mb

mc(m,a,b,c都是单项式

).

例1．计算：

a(a

b)

b(b

a)；

【答案】

a2

b

2

【解析】

试题解析：先依据单项式乘多项式法规去括号，再合并同类项即可.

a(ab)b(ba)a2abb2aba2b2.

考点：此题观察的是单项式乘多项式，合并同类项

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘多项式法规：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

例2．计算：(1x31x2y)(12xy)；63【答案】2x4y4x3y2

【解析】

试题解析：依据单项式乘多项式法规化简即可.

(1x31x2y)(12xy)2x4y4x3y2.63考点：此题观察的是单项式乘多项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘多项式法规：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

23例3．计算：(4a)(ab3ab1)；

【答案】4a2b212a4b4a【解析】试题解析：依据单项式乘多项式法规化简即可.

(4a)?(ab23a3b1)4a2b212a4b4a.

考点：此题观察的是单项式乘多项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘多项式法规：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

例4．计算：3(2y)_____________.xxyx【答案】3x2y3x3y【解析】试题解析：依据单项式乘多项式的法规即可获得结果.

3x(xyx2y)3x2y3x3y.

考点：此题观察的是单项式乘多项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

例5．计算：3(22x1)2x2(x1).xx【答案】x34x23x

【解析】

试题解析：先依据单项式乘多项式法规去括号，再合并同类项即可.

3x(x22x1)2x2(x1)3x36x23x2x32x2x34x23x.

考点：此题观察的是单项式乘多项式，合并同类项

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握单项式乘多项式法规：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

3、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加.

例1．计算：（a+2b）（a-b）=_________；【答案】a2+ab-2b2

【解析】

试题解析：依据多项式乘以多项式的法规：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．

a+2b）（a-b）=a2-ab+2ab-2b2=a2+ab-2b2．

考点：此题观察的是多项式乘以多项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握多项式乘多项式法规，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．

例2．计算：（3x-y）（x+2y）=________．

【答案】3x2+5xy-2y

【解析】

试题解析：依据多项式乘以多项式的法规：（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．

3x-y）（x+2y）=3x2+6xy-xy-2y=3x2+5xy-2y．

考点：此题观察的是多项式乘以多项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握多项式乘多项式法规，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再

把所得的积相加．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．

例3．计算：（x+1）（x2-x+1）=_________．

【答案】x31

【解析】

试题解析：依据多项式乘多项式法规化简即可.

（x+1）（x2-x+1）=x3x2xx2x1x31．

考点：此题观察的是多项式乘多项式

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握多项式乘多项式法规：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把

所得的积相加．、同底数幂的除法法规：amanamn（a0,m,n都是正整数，且mn)4同底数幂相除，底数不变，指数相减.例1．计算：a6a2=，(a)5(a)2=.【答案】a4，a3

【解析】

试题解析：依据同底数幂的除法法规即可获得结果.

a6a2a4，(a)5(a)2(a)3a3.

考点：此题观察的是同底数幂的除法谈论：解答此题的重点是娴熟掌握同底数幂的除法法规：同底数幂相除，底数不变，指数相减.

例2．计算：m3÷m2＝.【答案】m【解析】依据同底数幂的除法法规进行解答即可：原式=m3－2m5、零指数：a01，即任何不等于零的数的零次方等于1.10=例1．2A．﹣2B．2C．1D．﹣1【答案】D.【解析】零指数幂.依据任何非0数的0次幂等于1解答即可：102=1.应选D.例2．计算：|﹣2|+（﹣3）0﹣=．【答案】1【解析】此题观察绝对值的运算、幂的运算性质和二次根式

a,(a0),a01(a0),a2a,(a0)|a|0)|a|；a,(aa,(a0)解：原式2121；例3．计算：（-0.5）0÷（-1）-3．

的化简，即

【答案】-

2

1

8

【解析】

试题解析：依据零指数幂的运算法规，负整数指数幂的运算法规，即可获得结果.

原式1(8)1.8考点：此题观察了零指数幂，负整数指数幂

谈论：解答此题的重点是娴熟掌握随意非0数的0次幂均为0，负整数指数幂的运算法规：ap

1（a≠0，p是ap

正整数）．

6、单项式的除法法规：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式.

注意：第一确立结果的系数（即系数相除），此后同底数幂相除，假如只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

7、多项式除以单项式的法规：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加.

即：(ambmcm)mammbmmcmmabc

14.2乘法公式

平方差公式

平方差公式：

(a

b)(a

b)

a2

b2注意平方差公式张开只有两项

公式特色：左侧是两个二项式相乘，

而且这两个二项式中有一项完满同样，

另一项互为相反数

.右侧是同样项的平方

减去相反项的平方

.

例1．以下能用平方差公式计算的是（

）

A、(x

y)(x

y)

B、

(x

1)(1

x)

C、(2x

y)(2y

x)

D、

(x

2)(x

1)

【答案】

B

【解析】A、应为（-x+y）（x-y）=-（x-y）（x-y）=-（x-y）2，故本选项错误；

B、（x-1）（-1-x）=-（x-1）（x+1）=-（x2-1），正确；

C、应为（2x+y）（2y-x）=-（2x+y）（x-2y），故本选项错误；

D、应为（x-2）（x+1）=x2-x-2，故本选项错误．

应选B．例2．计算2yx2yx的结果是（）A、4yxB、4yxC、4y2x2D、2y2x2【答案】C

【解析】平方差公式的应用，原式=4y2x2，应选C

例3．若a＋b=2011，a－b=1，则a2－b2=_________________.

【答案】2011

【解析】

考点：平方差公式．

解析：先依据平方差公式分解因式，再整体代入即可．

解：∵a+b=2011，a-b=1，

a2-b2=（a+b）（a-b）=2011×1=2011．

故答案为：2011．

例4．(a＋3)(3－a)＝__________．

【答案】9－a2【解析】依据平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2填空．

解：∵（a+3）（3-a）=（3+a）（3-a）=32-a2=9-a2．

故答案是：9-a2．

完满平方公式

完满平方公式：(ab)2a22abb2完满平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样.公式的变形使用：（1）a2b2(ab)22ab(ab)22ab；(a2(ab)2b)4ab(ab)2[(ab)]2(ab)2；(ab)2[(ab)]2(ab)2（2）三项式的完满平方公式：(abc)2a2b2c22ab2ac2bc例1．若ab5,ab3，则(ab)2的值是（）A.25B.19C.31D.37【答案】D【解析】解：(a)2(ab)24ab524(3)37，应选D.b2例2．计算：292.3【答案】8801.9【解析】

试题解析：化

292301，再依据完满平方公式计算即可.33(292)2(301)29002018801.3399考点：题观察的是完满平方公式谈论：解答此题的重点是娴熟掌握完满平方公式：(ab)2a22b2.ab例3．计算：

1）199.92=_______；（2）512=________；（3）1-2×51+512=_______．【答案】（1）39960.01；（2）2601；（3）2500

【解析】

试题解析：依据完满平方公式挨次解析各小题即可.1）1