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文档简介
2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2
反证法
综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.12.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.其特点是“由因导果”.1.综合法:(顺推证法或由因导果法)
则综合法可用框图表示如下:
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.…2一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc证明:∵b2+c2≥2bc,a>0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵c2+a2≥2ac,b>0
∴b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.3例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2例题1
在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析将A,B,C成等差数列,转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角,这是一个隐含条件,即A+B+C=180°;a,b,c成等比数列转化为符号语言就是
此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理进行证明.4例题1在△ABC中,三个内角A、B、C对应的证明:由A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.①由A,B,C为△ABC的内角,所以A+B+C=180°②③由a,b,c成等比数列,有④由①②,得①②,得由①②,得由余弦定理及③④,可得因此a=c.从而A=C.⑤所以△ABC为等边三角形.由②③⑤,得5证明:由A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.①由A,B,2.分析法(逆推证法或执果索因法)从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).特点:执果索因我们也可以用框图来表示分析法:得到一个明显成立的结论…62.分析法(逆推证法或执果索因法)从要证明的结论出发,逐步寻分析法的适用范围:
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.不等式:
(a>0,b>0)的证明.例1:7分析法的适用范围:当已知条件与结论之间的联系不够明显、直证明:要证只需证:只需证:只需证:因为:成立所以成立8证明:要证8证明:只需证只需证因为和都是正数,所以要证例题2即证即证21<25.因为21<25成立,所以成立.
在本例中,如果我们从“21<25”出发,逐步倒推回去,就是综合法.但由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困难.反思9证明:只需证只需证因为和注:反证法是最常用的间接证法
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法3.反证法(归谬法)10注:反证法是最常用的间接证法一般地,假设原命
1.反证法的步骤:否定结论——推出矛盾——肯定结论,即分三个步骤:反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立;即假定原命题的反面为真;存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾;111.反证法的步骤:否定结论——推出矛盾——肯定结论,反设(1)直接证明有困难正难则反!(3)唯一性命题(2)否定或肯定性命题(4)至多,至少型命题2.适宜用反证法证明的题型12(1)直接证明有困难正难则反!(3)唯一性命题(2)否定或肯例1:已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。证明:由于a≠0,因此方程至少有一个根x=b/a,```如果方程不只一个根,不妨设x1,x2
(x1≠x2)是方程的两个根.所以a=0,这与已知矛盾13例1:已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个例2:设0<a,b,c<1,求证:(1
a)b,(1
b)c,(1
c)a,不可能同时大于1/4则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a>
又∵0<a,b,c<1∴同理:以上三式相乘:(1
a)a•(1
b)b•(1
c)c≤与①矛盾∴假设不成立,原结论成立,(1
b)c>,(1
c)a>证明:假设(1
a)b>14例2:设0<a,b,c<1,则三式2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2
反证法
综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.152.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法
一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.其特点是“由因导果”.1.综合法:(顺推证法或由因导果法)
则综合法可用框图表示如下:
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.…16一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc证明:∵b2+c2≥2bc,a>0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵c2+a2≥2ac,b>0
∴b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.17例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2例题1
在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析将A,B,C成等差数列,转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角,这是一个隐含条件,即A+B+C=180°;a,b,c成等比数列转化为符号语言就是
此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是,可以用余弦定理进行证明.18例题1在△ABC中,三个内角A、B、C对应的证明:由A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.①由A,B,C为△ABC的内角,所以A+B+C=180°②③由a,b,c成等比数列,有④由①②,得①②,得由①②,得由余弦定理及③④,可得因此a=c.从而A=C.⑤所以△ABC为等边三角形.由②③⑤,得19证明:由A,B,C成等差数列,所以2B=A+C.①由A,B,2.分析法(逆推证法或执果索因法)从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).特点:执果索因我们也可以用框图来表示分析法:得到一个明显成立的结论…202.分析法(逆推证法或执果索因法)从要证明的结论出发,逐步寻分析法的适用范围:
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻求使当前命题成立的充分条件.不等式:
(a>0,b>0)的证明.例1:21分析法的适用范围:当已知条件与结论之间的联系不够明显、直证明:要证只需证:只需证:只需证:因为:成立所以成立22证明:要证8证明:只需证只需证因为和都是正数,所以要证例题2即证即证21<25.因为21<25成立,所以成立.
在本例中,如果我们从“21<25”出发,逐步倒推回去,就是综合法.但由于我们很难想到从“21<25”入手,所以用综合法比较困难.反思23证明:只需证只需证因为和注:反证法是最常用的间接证法
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法3.反证法(归谬法)24注:反证法是最常用的间接证法一般地,假设原命
1.反证法的步骤:否定结论——推出矛盾——肯定结论,即分三个步骤:反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立;即假定原命题的反面为真;存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理,得出矛盾;251.反证法的步骤:否定结论——推出矛盾——肯定结论,反设(1)直接证明有困难正难则反!(3)唯一性命题(2)否定或肯定性命题(4)至多,至少型命题2.适宜用反证法证明的题型26(1)直接证明有困难正难则反!(3)唯一性命题(2)否定或肯例1:已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个根。证明:由于a≠0,因此方程至少有一个根x=b/a,```如果方程不只一个根,不妨设x1,x2
(x1≠x2)是方程的两个根.所以a=0,这与已知矛盾27例1:已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有一个例2:设0<a,b,c<1,求证:(1
a)b,(1
b)c,
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