高考数学二轮复习真题源讲义保分练(四)

保分练(四)1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn-an=(n-1)2,bn=2a(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的最小项的值.解:(1)因为an=Sn-Sn-1(n≥2),所以Sn-an=Sn-1,则Sn-1=(n-1)2(n≥2),即Sn=n2(n∈N*),当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且当n=1时也符合上式,所以an=2n-1.(2)由(1)可知,bn=22n-1n所以bn+1bn=22n4(n+1所以当1≤n<3时,bn>bn+1,当n>3时,bn<bn+1,又b2=12,b3=3281,所以当n=3时,bn有最小值,最小值为2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,csin(A+π6)=a(1)求C;(2)若△ABC的面积为3c,求c的最小值.解:(1)因为csin(A+π6)=a所以c(32sinA+12cosA)=a+cosA)=sinA+sinB,即3sinCsinA+sinCcosA=sinA+sin(A+C),可得3sinCsinA=sinA+sinAcosC,又sinA≠0,所以3sinC=1+cosC,即2sin(C-π6)=1,可得sin(C-π6)=又0<C<π,所以C-π6=π6,可得C=(2)由题意可得12absinπ3=由余弦定理可得cosC=a2+b2-所以12≥2ab-所以c的最小值为4.3.(2022·重庆模拟预测)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2CD=4,E,F分别为AD,BC的中点(如图1),沿EF将四边形EFCD折起,使得DE⊥BF(如图2).(1)求证:平面ABFE⊥平面EFCD;(2)若直线AC与平面ABFE所成角的正切值为63,求二面角CEBF的余弦值.(1)证明:由题设条件知,EF∥AB∥CD,AB⊥AD,则DE⊥EF,又DE⊥BF且BF∩EF=F,BF,EF⊂平面ABFE,则DE⊥平面ABFE,又DE⊂平面EFCD,故平面ABFE⊥平面EFCD.(2)解:过点C作CG⊥EF,交EF于点G,连接AG,因为平面ABFE⊥平面EFCD,平面ABFE∩平面EFCD=EF,CG⊂平面EFCD,所以CG⊥平面ABFE,故直线AC与平面ABFE所成角为∠CAG,设DE=h,则在Rt△CAG中,CG=DE=h,AG=EG2+所以tan∠CAG=CGAG=hh2+4=则E(0,0,0),F(0,3,0),D(0,0,22),A(22,0,0),B(22,4,0),C(0,2,22),所以EC→=(0,2,22),EB→=(2(0,0,1),设平面CEB的法向量为n=(x,y,z),由n·EC→=2y则二面角CEBF的余弦值为|cos<m,n>|=|m·n||4.(2022·山东青岛高三期末)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g,上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从期望为1000g,标准差为50g的正态分布.(1)已知如下结论:若X～N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y～N(μ,σ2k(ⅰ)假设面包师的说法是真实的,随机购买25个面包,记随机购买25个面包的平均值为Y,求P(Y≤980);(ⅱ)庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到的数据都落在区间(950,1050)上,并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师,从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由;(2)假设有两箱面包(面包除颜色外,其他都一样),已知第一箱中共装有6个面包,其中黑色面包有2个;第二箱中共装有8个面包,其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱,然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附:①随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.9973.②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.解:(1)(ⅰ)因为50225=100,所以Y～N(1000,102),因为P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.9545,所以P(η≤μ-2σ)≈1-(ⅱ)由第一问知P(Y≤980)=P(Y≤μ-2σ)≈0.02275,庞加莱计算25个面包质量的平均值为978.72g,978.72<980,而0.02275<0.05,为小概率事件,小概率事件基本不会发生,这就是庞加莱举报该面包师的理由.(2)设取出黑色面包个数为随机变量ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,则P(ξ=0)=12×