高考新题型(一)　多项选择题

高考数学新题型贯彻高考内容改革的指导思想,以高考评价体系和新高考的学科评价框架为依据,考查必备知识、关键能力和学科素养,能有效地增加区分度,得到中学教师和学生的认可.从近两三年的高考数学试题来看,数学卷题型已经发生了较大变化.在高考数学试卷中出现了以下四种新题型:1.多项选择题;2.双空填空题;3.结构不良题;4.情境应用题.高考新题型(一)多项选择题多项选择题是选择题的一种,它具有备选答案不唯一,存在多个正确选项的特点,每道多选题的正确选项最多选4个,最少选2个.新高考改革下的高考数学的多项选择题,采取的评分标准是:选项全对得满分(5分),少选(漏选)得2分,错选、多选和不选得0分.这样就提高了单凭“猜测”得该题满分的难度,增加了得满分的思维含量.[解题策略]1.在多项选择题中,如果存在一对内容互相对立的选项,而其他两项不存在内容对立的情况,那么在此对立两项中至少有一个正确项;若存在两对内容互相对立的选项,则应该从两对对立项中分别选择一个选项作为正确选项.例如,A,B,C,D四个待选项中,A,B互相对立,C,D互相对立,则两个正确选项往往需从A,B组以及C,D组中分别择一产生.当然,该规则也存在例外情况.2.在多项选择题中,如果存在两对内容相近或类似的选项,而且这两对选项之间内容对立,则其中一对相近或类似选项应该为正确选项.例如,A,B,C,D四个待选项中,A,B两项内容相近、类似,C,D两项内容相近、类似,而A,B组与C,D组内容对立.如果判断A项正确,那么A,B组应该都正确;如果判断C项正确,那么C,D组应该都正确.3.在多项选择题中,如果两个或两个以上的选项之间存在承接关系或递进关系,即数个选项能同时成立,则往往这几个选项应一起被选择.例如在A,B,C,D四个待选项中,A,B,C三个选项间存在承接、递进关系,能同时成立,若A正确,则A,B,C都应该为正确选项.4.做多项选择题时,谨慎选择的意识要更加明确.一般首先选出最有把握的2个选项,同时,在有足够把握确定还有其他正确答案时才继续选择,否则不选,以免选出错误选项.这样,才能保证该题目得分.因此,要坚持宁缺勿滥,这一点与单项选择题不同.5.解答多项选择题过程中,有时可以综合使用多种方法来完成一个题目,以确认选项的正确性.[方法例析]1.直接法直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密地推理和准确地运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.典例1已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,且f(x)≤f(π8),则下列说法正确的有()A.f(x)的一个零点为-πB.f(x-π8C.f(x)在区间(3π8,7πD.f(x)的图象的一条对称轴为x=-3π[思路分析]利用周期公式可求ω,由f(x)≤f(π8)恒成立,结合的取值范围,可求,求得函数的解析式,分析比较各个选项即可得答案.解析:由函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,得2πω=π,得ω=2,又f(x)≤f(πf(x)max=f(π8即2×π8+=π2+2kπ(k∈Z),得=π4故f(x)=sin(2x+π4+2kπ)=sin(2x+π4),因为f(-π8)=sin[2×(-π8又f(x-π8)=sin[2×(x-π8)+π当x∈(3π8,7π8)时,2x+π4∈(π,2π),所以f(x)在区间(3π由f(-3π8)=sin[2×(-3π8)+π4]2.特殊化法从题干(或选项)出发,通过选取符合条件的特殊情况(特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等)代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,再进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略.典例2如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点,则满足MN⊥OP的是()[思路分析]根据线面垂直的判定定理可得选项B,C的正误,平移直线MN构造所需考虑的线线角后可判断选项A,D的正误.解析:设正方体的棱长为2.对于A,如图(1)所示,连接AC,由正方体ABCD-MTNS得MN∥AC,故∠POC(或其补角)即为直线OP,MN所成的角,在Rt△OPC中,OC=2,CP=1,故tan∠POC=12=2对于B,如图(2)所示,取NT的中点Q,连接PQ,OQ,则OQ⊥NT,PQ⊥MN,由正方体SBCM-NADT可得SN⊥平面NADT,而OQ⊂平面NADT,故SN⊥OQ,而SN∩NT=N,SN,NT⊂平面SNTM,故OQ⊥平面SNTM,又MN⊂平面SNTM,所以OQ⊥MN,而OQ∩PQ=Q,OQ,PQ⊂平面OPQ,所以MN⊥平面OPQ,而OP⊂平面OPQ,故MN⊥OP,故B正确;对于C,如图(3)所示,连接BD,由正方体BMSA-CTND得BD∥MN,由B的判断方法可得OP⊥BD,故OP⊥MN,故C正确;对于D,如图(4)所示,取AD的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,OA,由正方体DCMS-ABTN得AC∥MN,因为DP=PC,故PQ∥AC,故PQ∥MN,所以∠QPO(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,因为正方体的棱长为2,故PQ=12AC=2,OQ=AO2+AQOP=PK2+OK2=4+1=5,OQ2故OP,MN不垂直,故D错误.故选BC.3.排除法排除法(淘汰法)是充分利用选项中存在对立选项的特征,通过分析、推理、计算、判断,肯定正确选项,排除不符合要求的选项,从而得出正确结论.典例3(2022·广东模拟预测)已知甲盒中有1个白球和2个黑球,乙盒中有2个白球和3个黑球,从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.放入i个球后,甲盒中含有黑球的个数记为xi(i=1,2),现从甲盒中取1个球是黑球的概率记为Pi(i=1,2),则()A.P1<P2 B.P1>P2C.E(x2)<E(x1) D.E(x2)>E(x1)[思路分析]根据i=1,i=2分类讨论,再计算出概率,可判断选项A,B,计算随机变量x1,x2的分布列后再求数学期望,可判断选项C,D.解析:当i=1时,P1=C21C51·C21当i=2时,P2=C22C52·C21C51+所以P1>P2,故B正确,A不正确;随机变量x1,x2的分布列如表.x123PCCx2234PCCC所以E(x1)=2×C21C51+3×C31C51=135,E(x2)=2×C22故选BD.4.数形结合法有些题目可通过命题条件中的函数关系或几何意义,作出函数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等,综合图象的特征,得出结论.典例4已知n<m,函数f(x)=logA.当n=0时,m∈(12,2B.当n∈[0,12C.当n∈[0,12D.当n=12时,m∈(12[思路分析]先对分段函数去绝对值讨论单调性,作出y=log12(1-x)(x≥-1)和y=22-|x-1|-3(x≥-1)的图象,当n=0时,由图可得m的取值范围,可判断A;当n∈[0,12)时,先求出y=log12(1-x),-1≤x≤n的值域,进而可判断当x∈(n,m]时,f(x)=1必有解,即可得m的取值范围,可判断B,C;当n=12时,先计算f(x)=log12解析:当x>1时,x-1>0,此时y=22-|x-1|-3=22-x+1-3=23-x-3单调递减,当-1<x<1时,x-1<0,此时y=22-|x-1|-3=22+x-1-3=21+x-3单调递增,所以y=22-|x-1|-3在(-1,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,y=22-|x-1|-3取得最大值,为22-3=1.作出y=log12(1-x)与y=2当n=0时,f(x)=log当n∈[0,12),x∈[-1,n]时,1-x∈[1-n,2],此时f(x)=log12(1-x)∈[-1,log此时-1≤f(x)≤log12(1-n)<1,因为f(x)的值域为[-1,1],则x∈(n,m]时,f(x)=1必有解,即2解得x=1,由图知m∈[1,2],故B错误,C正确;当n=12时,f(x)=log12(1-x)在[-1,12]上单调递增,此时f(x)的最小值为f(-1)=log122=-1,f(x)的最大值为f(12)=log5.概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发,通过对数学概念的辨析,进行少量运算或推理,直接选出正确结论的方法.这类题目一般是给出一个创新定义,或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质,需要考生在平时注意辨析有关概念,准确区分相应概念的内涵与外延,同时在审题时多加小心.典例5信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,n,其中n∈N*,且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…,n),∑i=1npi=1,定义X的信息熵H(X)=-∑i=1npA.若n=1,则H(X)=0B.若n=2,则H(X)随着p1的增大而增大C.若pi=1nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),则H(X)≤H(Y)[思路分析]对于A选项,求得H(X),由此判断A选项;对于B选项,利用特殊值法进行排除;对于C选项,计算出H(X),利用对数函数的性质可判断C选项;对于D选项,计算出H(X),H(Y),利用不等式和对数函数的性质判断D选项.解析:对于A,若n=1,则i=1,p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A正确;对于B,若n=2,则i=1,2,p2=1-p1,所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],当p1=14时,H(X)=-(14×log214+34×当p1=34时,H(X)=-(34×log234+14×对于C,若pi=1n(i=1,2,…,n),则H(X)=-(1n·log21n)×n=-log21则H(X)随着n的增大而增大,所以C正确;对于D,若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),H(X)=-∑i=12mpi·log2pi=∑i=12mpi·log21pi=p1·log21p1+p2·log21pH(Y)=(p1+p2m)·log21p1+p2m+(p2+p2m-1)·log21p2+p2m-1+…+(pm+pm+1)·log21pm+pm+1=p1·log2由于pi>0(i=1,2,…,2m),所以1pi>1pi+p2所以pi·log21pi>pi·log2所以H(X)>H(Y),所以D错误.故选AC.6.构造法构造法是一种创造性思维,是综合运用各种知识和方法,依据问题给出的条件和结论中的信息,把问题进行适当的加工处理,构造与问题相关的数学模式,揭示问题的本质,从而构成解题思路的方法.常见的有构造函数、构造(割补)图形等.典例6(2022·湖南雅礼中学二模)下列不等式正确的有()A.1019010091>3125C.e2-e>[思路分析]利用二项式定理近似计算判断A;若542<653,两边取对数作等价变形,构造函数借助导数比较判断B;若e2解析:由1019010090=(1+0.01)90=1+C901×0.01+C902×0.012+C903×0.013+…+C9090×0.0190>1+C90则有1019010091假定542<653,有542<653⇔2×ln54<3×ln65⇔2×ln令f(x)=lnx-2(则f(x)>f(1)=0,即当x>1时,lnx>2(x-1)x+1,ln65>211,(3-2)×ln令g(x)=lnx-x-则g(x)<g(1)=0,即当x>1时,lnx<x-1x,ln2524<1106,2211×(3-2)>1103⇔60-206>11⇔因为49>492-1=50×48则2×ln2524<(3-2)×ln6所以542