阶段性测试题十一

阶段性测试题十一(统计与概率)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011～2012·龙文中学、程溪中学、芗城中学三校联考)某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查；第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次为()A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样[答案]D2．(文)(2011～2012·襄阳调研)甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是()A.63 B．64C．65 D．66[答案]A[解析]甲的中位数为36，乙的中位数为eq\f(1,2)(26＋28)＝27，故中位数之和为63.(理)(2011～2012·泉州五中模拟)下图是七位评委为甲、乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名歌手得分的平均数分别为a和b，则一定有()A.a>b B．a<bC．a＝b D．a，b的大小与m的值有关[答案]B[解析]由茎叶图知，甲、乙两歌手得分在各分数段人数一样多，去掉最低分与最高低后，a＝80＋eq\f(1,5)(5＋4＋5＋5＋1)＝84，b＝80＋eq\f(1,5)(4＋4＋6＋4＋7)＝85，∴a<b.3．(文)(2011～2012·平顶山、许昌、新乡二调)某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是()A．42名 B．38名C．40名 D．120名[答案]C[解析](1200－420－380)×eq\f(120,1200)＝40(名)．(理)(2011～2012·淄博一模)某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．16 B．18C．27 D．36[答案]B[解析]设中年职工有x人，则老年职工有eq\f(x,2)人，由160＋x＋eq\f(x,2)＝430得x＝180，∴老年职工有90人，设应抽取老年职工t人，则eq\f(t,90)＝eq\f(32,160)，∴t＝18(人)．4．(2011～2012·滨州市沾化一中期末)在A，B两个袋中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片，现从每个袋中任取一张卡片，则两张卡片上数字之和为7的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,3)[答案]A[解析]所有基本事件共6×6＝36个，其中和为7的基本事件有4个，故所求概率P＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).5．(文)(2011～2012·河南开封市二模)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)，则向量p与q共线的概率为()A.eq\f(1,18) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,9) D.eq\f(2,9)[答案]B[解析]基本事件共有36个，由p∥q得6m－3n∴n＝2m满足条件的有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2,n＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3,n＝6))，∴所求概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(理)(2011～2012·安徽六校教育研究会联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈(0，eq\f(π,4))的概率为()A.eq\f(5,18) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)[答案]B[解析]连续投掷两次骰子的点数m、n，构成的向量a＝(m，n)，共有36个，a与b的夹角α∈(0，eq\f(π,4))，∴cosα＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(m,\r(m2＋n2))∈(eq\f(\r(2),2)，1)，即eq\f(\r(2),2)<eq\f(m,\r(m2＋n2))<1，∴n<m，满足要求的向量a有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)共15个，∴所求概率P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).6．(文)(2011～2012·河北衡水中学调研)已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为()A.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙) B.eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)>Seq\o\al(2,乙)C.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)>Seq\o\al(2,乙) D.eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙)[答案]D[解析]从茎叶图可见，乙的得分主要分布在前三个分数段，并且从低分段到高分段个数减少，而甲的得分以30～40分数段为主呈对称布，故eq\o(x,\s\up6(－))甲>eq\o(x,\s\up6(－))乙，Seq\o\al(2,甲)<Seq\o\al(2,乙).[点评]通过计算可以比较其大小，但运算量较大，而观察发现分数分布具有明显差别时，可不必计算．(理)(2011～2012·河北五校联盟联考)二项式(x＋eq\f(2,\r(x)))12展开式中的常数项是()A．第7项 B．第8项C．第9项 D．第10项[答案]C[解析]通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,12)x12－r·(eq\f(2,\r(x)))r＝2r·Ceq\o\al(r,12)xeq\s\up15(12－eq\f(3r,2))，令12－eq\f(3r,2)＝0得，r＝8，∴常数项为第9项．7．(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有()的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%[答案]C[解析]∵7.069>6.635，P(K2≥6.635)＝0.01，∴1－0.01＝0.99，故选C.8．(2011～2012·河北五校联盟模拟)某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25[答案]D[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝31.5，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(31.5－4×2.5×3.5,30－4×2.52)＝－0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25，∴回归直线方程为y＝－0.7x＋5.25.9．(文)若区域M＝{(x，y)||x|＋|y|≤2}，在区域M内的点的坐标为(x，y)，则x2－y2≥0的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]C[解析]区域M是以(－2,0)，(2,0)，(0，－2)，(0,2)为顶点的正方形，如图所示，其中满足y2≤x2的是直线y＝x和y＝－x所夹的包含(－2,0)，(2,0)的两块区域即阴影部分，这个区域的面积恰好是区域M面积的一半，故所求的概率为eq\f(1,2).(理)(2011～2012·河北五校联盟模拟)任取k∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，则|MN|≥2eq\r(3)的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(3),3)[答案]C[解析]圆心C(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，∵|MN|≥2eq\r(3)，∴d＝eq\r(r2－\f(|MN|,2)2)≤eq\r(4－3)＝1，即eq\f(2|k|,\r(1＋k2))≤1，解之得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，∴所求概率为P＝eq\f(\f(\r(3),3)－－\f(\r(3),3),\r(3)－－\r(3))＝eq\f(1,3).10．(文)(2011～2012·延边州质检)下列命题中正确命题的个数是()(1)命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1则x2－3x＋2≠(2)设回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1＋2x中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位(3)若p∧q为假命题，则p，q均为假命题(4)对命题p：∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A．4 B．3C．2 D．1[答案]B[解析]由逆否命题的定义知(1)正确；在回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1＋2x中，k＝2>0，(2)正确；p与q中只要有一个为假命题，则p∧q就是假命题，故(3)错；特称命题的否定为全称命题，“<”的否定为“≥”，故④正确．(理)(2011～2012·绥化市一模)有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A．12 B．24C．36 D．48[答案]B[解析]2盆黄菊花必须相邻，把它看作一个元素与红菊花先排好，有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)种排法，在其形成的3个空位(不包括两盆黄菊花之间的空位)中插入2盆白菊花有Aeq\o\al(2,3)种插法，∴共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24种．11．(2011～2012·广东韶关两校联考)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是()A．70,50 B．70,75C．70,72.5 D．65,70[答案]A[解析]∵甲、乙两同学正确分数的和与错误分数的和相等，故平均分不变，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝70，设除甲、乙外的46名同学的分数为xi，i＝1,2,3，…，46，由条件知，eq\f(1,48)×[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x46－70)2＋(50－70)2＋(100－70)2]＝75，∴(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x46－70)2＝2300，∴S2＝eq\f(1,48)[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(x46－70)2＋(80－70)2＋(70－70)2]＝eq\f(1,48)[2300＋100]＝50，故选A.12．(文)(2011～2012·莆田一中质检)我市某学校在“9.11”举行老师、学生消防知识比赛，报名的学生和教师的人数之比为6:1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取35人组队进行比赛，已知教师甲被抽到的概率为eq\f(1,10)，则报名的学生人数是()A．350 B．30C．300 D．35[答案]C[解析](35÷eq\f(1,10))×eq\f(6,6＋1)＝300(人)．(理)(2011～2012·浙江六校联考)四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、3，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x、y，记ξ＝x＋y，则随机变量ξ的数学期望为()A．2.5 B．3.5C．4.5 D．1.5[答案]B[解析]ξ的分布列为ξ2345Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)∴E(ξ)＝2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝3.5.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2011～2012·南通市调研)在区间[－2,3]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．[答案]eq\f(2,5)[解析]∵|x|≤1，∴－1≤x≤1，∴P＝eq\f(1－－1,3－－2)＝eq\f(2,5).(理)(2011～2012·陕西师大附中模拟)将一根长为10厘米的铁丝用剪刀剪成两段，再将每一段剪成相等的两段，然后将剪开的4段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6的概率等于________．[答案]eq\f(1,5)[解析]设剪成两段长度分别为x,10－x，则围成矩形的面积S＝eq\f(x,2)·(5－eq\f(x,2))，令S>6得，eq\f(x,2)(5－eq\f(x,2))>6，∴x(10－x)>24，∴4<x<6，∴所求概率为P＝eq\f(6－4,10)＝eq\f(1,5).14．(文)(2011～2012·浙江宁波市期末)连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数依次记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切的概率为________．[答案]eq\f(1,18)[解析]以(a，b)为坐标的点共有36个，直线与圆相切时，eq\f(|3a－4b|,5)＝2，∴|3a－4b|＝10，经检验知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝4))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝2))时满足，∴P＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(理)(2011～2012·温州一测)某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分(每道题都必须回答，但相互不影响)．设某学生对每道题答对的概率都为eq\f(2,3)，则该学生在面试时得分的期望值为________分．[答案]15[解析]设该生面试时得分数为ξ，则ξ的分布列为ξ30150－15Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)∴E(ξ)＝30×eq\f(8,27)＋15×eq\f(4,9)＋0×eq\f(2,9)＋(－15)×eq\f(1,27)＝15.15．(2011～2012·台州市质评)在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，已知成绩在[60,70)的学生有40人，则成绩在[70,90)的有________人．[答案]25[解析]eq\f(40,0.04×10)×[(0.015＋0.01)×10]＝25(人)．16．(2011～2012·安徽名校联考)已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数，且1,3，x，－y这四个数据的平均数1，则eq\f(1,x)＋y的最小值为________．[答案]eq\f(10,3)[解析]由已知得3≤x≤5，eq\f(1＋3＋x－y,4)＝1，∴y＝x，∴eq\f(1,x)＋y＝eq\f(1,x)＋x，又函数y＝eq\f(1,x)＋x在[3,5]上单调递增，所以当x＝3时取最小值eq\f(10,3).三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·平顶山、许昌、新乡调研)某高校选派了8名广州亚运志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓英语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、英语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．[解析](1)从8人中选出日语、英语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).(2)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对应事件eq\o(N,\s\up6(－))表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于eq\o(N,\s\up6(－))＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件eq\o(N,\s\up6(－))有3个基本事件组成，所以P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6)，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(eq\o(N,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).(理)(2011～2012·延边州质检)文科班某同学参加吉林省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A和获得的等级不是A的机会相等，物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1、W2、W3，物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为eq\o(W,\s\up6(－))1、eq\o(W,\s\up6(－))2、eq\o(W,\s\up6(－))3.(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1，W2，W3))；(2)求该同学参加这次水平测试中恰好获得两个A的概率；(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于85%，并说明理由．[解析](1)该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的可能结果有8种，分别为(W1，W2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)；(2)由(1)可知，恰有两个A的情况为(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)三个，从而其概率为P＝eq\f(3,8).(3)方案一：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大于85%，理由如下：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下七种情况：(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)，概率是P＝eq\f(7,8)＝0.875>85%.方案二：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个A的事件概率大于85%，理由如下：该同学参加这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩至少有一个为A的事件有如下七种情况：(W1，W2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，W3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(W1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，eq\o(W,\s\up6(－))2，W3)、(eq\o(W,\s\up6(－))1，W2，eq\o(W,\s\up6(－))3)、(W1，eq\o(W,\s\up6(－))2，eq\o(W,\s\up6(－))3)，概率是P＝eq\f(7,8)＝0.875>85%.(方案一或二中任意一种都可以)18．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·青岛市期末)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0,x>0,y>0))内的随机点，设A＝{y＝f(x)有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．[解析](1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝eq\f(2b,a)，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1，若a＝2则b＝－1,1，若a＝3，则b＝－1,1，记B＝{函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数}则事件B包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，∴P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)依条件可知试验的全部结果所构成的区域为Ω＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0))))))，其面积SΩ＝eq\f(1,2)×8×8＝32.事件A构成的区域：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0,f1<0))))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0,a－4b＋1<0))))))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0,a－4b＋1＝0))，得交点坐标为(eq\f(31,5)，eq\f(9,5))，∴SA＝eq\f(1,2)×(8－eq\f(1,4))×eq\f(31,5)＝eq\f(961,40)，∴事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(SA,SΩ)＝eq\f(961,1280).(理)(2011～2012·泉州五中模拟)某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．(1)求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．(2)某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．[解析](1)用1,2,3,4表示四条不同的旅游线路，甲选旅游线路a，乙选旅游线路b，用(a，b)表示a，b＝1,2,3,4.所有的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．记“甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同”为事件A，∴P(A)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).答：甲，乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率为eq\f(3,4).(2)设甲，乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤60,0≤y≤60,|x－y|≤20))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤60,0≤y≤60,x－y≤20,x－y≥－20))，作出不等式表示的平面区域如图．记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件BP(B)＝eq\f(60×60－40×40,60×60)＝eq\f(5,9)，答：两个旅游团在著名景点相遇的概率为eq\f(5,9).19．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·南昌一模)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，下图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；(2)从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．[解析](1)酒精含量(单位：mg/100ml)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人数3441酒精含量(单位：mg/100ml)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数2321所以醉酒驾车的人数为2＋1＝3人．(2)因为血液酒精浓度在[70,80)内范围内有3人，记为a，b，c，[80,90)范围内有2人，记为d，e，则从中任取2人的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种．恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a，d)，(a，e)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A，则P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2011～2012·吉林重点中学一模)为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如图．已知前4组的频数从左到右依次是等比数列{an}的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{bn}的前六项．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)求等差数列{bn}的通项公式；(3)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生，试估计该校新生的近视率μ的大小．[解析](1)由题意知：a1＝0.1×0.1×100＝1，a2＝0.3×0.1×100＝3，∵数列{an}是等比数列，∴公比q＝eq\f(a2,a1)＝3，∴an＝a1qn－1＝3n－1.(2)∵a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，∴b1＋b2＋…＋b6＝100－(a1＋a2＋a3)＝87，∵数列{bn}是等差数列，∴设数列{bn}公差为d，则得b1＋b2＋…＋b6＝6b1＋15d，∴6b1＋15d＝87，∵b1＝a4＝27，∴d＝－5，∴bn＝32－5n.(3)μ＝eq\f(a1＋a2＋a3＋b1＋b2＋b3＋b4,100)＝0.91，(或μ＝1－eq\f(b5＋b6,100)＝0.91)答：估计该校新生近视率为91%.20．(本小题满分12分)(2011～2012·龙文中学、程溪中学、芗城中学三校联考)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)求回归直线方程；(2)试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？(3)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．(参考数据：eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝13500，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380)．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝eq\f(25,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝eq\f(250,5)＝50，又已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝145，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1380，于是可得：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×5×5)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.(2)根据上面求得的回归直线方程得，当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，即当广告费支出为10万元时，这种产品的销售收入大约为82.5万元．(3)解：x24568y3040605070eq\o(y,\s\up6(^))30.543.55056.569.5基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个．两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的只有(60,50)．所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).21．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模)汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对CO2排放量超过130g/km的M1型新车进行惩罚(视为排放量超标)．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO2排放量检测，记录如下：(单位：g/km)甲80110120140150乙100120xy160经测算发现，乙品牌车CO2排放量的平均值为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝120g/km.(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆CO2排放量超标的概率是多少？(2)若90<x<130，试比较甲、乙两类品牌车CO2排放量的稳定性．[解析](1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的CO2排放量结果：80,100；80,120；80,140；80,150；，110,120；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150.设“至少有一辆不符合CO2排放量”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：80,140；80,150；110,140；110,150；120,140；120,150；140,150，所以P(A)＝eq\f(7,10)＝0.7.(2)由题可知，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝120，∴x＋y＝220，5Seq\o\al(2,甲)＝(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2＝30005Seq\o\al(2,乙)＝(100－120)2＋(120－120)2＋(x－120)2＋(y－120)2＋(160－120)2＝2000＋(x－120)2＋(y－120)2，∵x＋y＝220，∴5Seq\o\al(2,乙)＝2000＋(x－120)2＋(x－100)2，令x－120＝t，∵90<x<130，∴－30<t<10，∴5Seq\o\al(2,乙)＝2000＋t2＋(t＋20)2，∴5Seq\o\al(2,乙)－5Seq\o\al(2,甲)＝2t2＋40t－600＝2(t＋30)(t－10)<0，∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙＝120，Seq\o\al(2,乙)<Seq\o\al(2,甲)，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好．(理)(2011～2012·绥化市一模)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图.组数分组时尚族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195P第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55]150.3请完成以下问题：(1)补全频率直方图，并求n，a，p的值；(2)从[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,50)岁的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．[解析](1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为eq\f(0.3,5)＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为eq\f(120,0.6)＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n＝eq\f(200,0.2)＝1000，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，p＝eq\f(195,300)＝0.65，第四组的频率为0.03×5＝0.15，第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁与[45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60:30＝2:1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,12)C\o\al(3,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(5,204)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(2,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(15,68)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(1,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(33,68)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(0,6),C\o\al(3,18))＝eq\f(55,204)，所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(5,204)eq\f(15,68)eq\f(33,68)eq\f(55,204)∴数学期望E(X)＝0×eq\f(5,204)＋1×eq\f(15,68)＋2×eq\f(33,68)＋3×eq\f(55,204)＝2，(或者E(X)＝eq\f(12×3,18)＝2)．[点评]若X服从参数为N、M、n的超几何分布，则E(X)＝eq\f(M·n,N).22．(本小题满分14分)(文)(2011～2012·安徽名校联考)某校在一次对喜欢数学学科和喜欢语文学科的同学的抽样调查中，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示：数学学科语文学科总计男生401858女生152742总计5545100(1)由表中数据直观分析，喜欢语文学科的同学是否与性别有关？(2)用分层抽样方法在喜欢语文学科的同学中随机抽取5名，女同学应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名同学中任取2名，求恰有1名同学为男性的概率．[解析](1)因为男性的58名同学中有18名喜欢语文学科，而女性的42名同学中有27名喜欢语文学科，所以，经直观分析，喜欢语文学科的同学是与性别有关的．(2)从题中所给条件可以看出喜欢语文学科的同学共有45人，随机抽取5人，则抽样比为eq\f(5,45)＝eq\f(1,9)，而女生应抽取27×eq\f(1,9)＝3(人)．(3)抽取的5名同学中女生有3人，男生有2人，记女生为a1，a2，a3，男生为b1，b2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)共10个，其中恰有1个男生的有6个，故所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2011～2012·深圳市调研)随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在20:00～22:00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：休闲方式性别看电视看书合计男105060女101020合计206080(1)将此样本的频率作为总体的概率估计，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；(2)根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20:00～22:00时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635[解析](1)依题意，随机变量X的取值为：0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为p＝eq\f(5,6).方法一：P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(1,6))3＝eq\f(1,216)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,6))2(eq\f(5,6))＝eq\f(5,72)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,6))(eq\f(5,6))2＝eq\f(25,72)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(5,6))3＝eq\f(125,216).∴X的分布列为：X0123Peq\f(1,216)eq\f(5,72)eq\f(25,72)eq\f(125,216)∴E(X)＝0×eq\f(1,216)＋1×eq\f(5,72)＋2×eq\f(25,72)＋3×eq\f(125,216)＝eq\f(5,2).方法二：根据题意可得X～B(3，eq\f(5,6))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)(eq\f(1,6))3－k(eq\f(5,6))k，k＝0,1,2,3.∴E(X)＝np＝3×eq\f(5,6)＝eq\f(5,2).(2)提出假设H0：休闲方式与性别无关系，根据样本提供的2×2列联表得k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(80×10×10－10×502,60×20×20×60)＝eq\f(80,9)≈8.889>6.635.因为当H0成立时K2≥6.635的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为“在2000～2200时间段的休闲方式与性别有关系”．1．(2011～2012·江西赣州市期末)若a＝eq\i\in(0,π,)(sint＋cost)dt，则(x＋eq\f(1,ax))6的展开式中常数项是()A．－eq\f(1,8) B.eq\f(1,8)C．－eq\f(5,2) D.eq\f(5,2)[答案]D[解析]a＝eq\i\in(0,π,)(sint＋cost)dt＝(－cost＋sint)|eq\o\al(π,0)＝2，∴(x＋eq\f(1,ax))6＝(x＋eq\f(1,2x))6展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r·(eq\f(1,2x))r＝(eq\f(1,2))r·Ceq\o\al(r,6)·x6－2r，令6－2r＝0得r＝3，∴常数项为T4＝(eq\f(1,2))3·Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(5,2).2．(2011～2012·湄潭中学检测)2名男生和2名女生站成一排，则2名男生相邻的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)[答案]C[解析]将两名男生记为A、B，两名女生记为c、d，则站成一排的所有可能情况有