数学八年级下册菱形及其性质课件公开课

第十八章18.2.3菱形及其性质人教版数学八年级下册第十八章18.2.3菱形及其性质人教版数学八年级下册1平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线平行四边形的对角线互相平分；温故知新复习旧知平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相2同学们，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？菱形及其性质导入新知同学们，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打3学习目标1.掌握的定义和性质及菱形面积的求法.2.灵活运用菱形的性质解决问题．学习目标1.掌握的定义和性质及菱形面积的求法.41知识点菱形的定义在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？

平行四边形有一组邻边相等的平行四边形菱形邻边相等合作探究1知识点菱形的定义在平行四边形中，如果内角大5有一组的叫做邻边相等平行四边形ADCB∵四边形ABCD是平

行四边形

AB=BC∴四边形ABCD是菱形菱形.

有一组的6感受生活你能举出生活中你看到的菱形吗？感受生活你能举出生活中你看到的菱形吗？7生活感受生活感受8例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB

于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于

点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？因为DE∥FC，DF∥EC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可．导引：例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB因9四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平

行四边形是菱形)．解：四边形DECF是菱形．理由如下：解：10

本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法．新知小结本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可新知小结111如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB巩固新知1如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC122知识点菱形的边的性质

菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问

题菱形的四条边都相等.合作探究2知识点菱形的边的性质菱形具有平行四边形的所13例2如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周长为

，故选B.B分析：例2如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，14四边形不具有的一些特殊性质呢？点O，且AB=5，AO=4.∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAFA．5cm∵四边形ABCD是菱形，所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.四边形DECF是菱形．理由如下：由于菱形的四条边都相等，三角形中利用勾股定理来进行计算．【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为()例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB点F.如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②

在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.新知小结四边形不具有的一些特殊性质呢？在菱形中作辅助151边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cmC巩固新知1边长为3cm的菱形的周长是()C巩固新知162【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(

)A．4B．3C．2D.B2【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60173【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3πA3【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝184【中考·鄂州】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为(

)A．5B．7C．8D.B4【中考·鄂州】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°193知识点菱形的对角线的性质

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?合作探究3知识点菱形的对角线的性质因为菱形是平行四边20

对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质：

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研21问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：22由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．例3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于

点O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周长．导引：由于菱形的四条边都相等，例3如图，在菱形ABCD中，对23∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周长＝4AB解：∵四边形ABCD是菱形，解：24别是CB，CD上的点，且BE＝DF.D．既是轴对称图形又是中心对称图形同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.【中考·南充】已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为()菱形的面积如何计算呢？C．D．3∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.又因为AB＝5，AO＝4，∴四边形ABCD是菱形称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．A．③→②→①→④B．③→④→①→②三角形中利用勾股定理来进行计算．四边形不具有的一些特殊性质呢？A．2B.∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．掌握的定义和性质及菱形面积的求法.所以在Rt△AOB中，OB＝∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，

菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．新知小结别是CB，CD上的点，且BE＝DF.菱形的对25如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿26∵花坛ABCD的形状是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).解：∵花坛ABCD的形状是菱形，解：27菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半．说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应

用(3)这种方法时不要忽视“一半”．新知小结菱形的面积有三种计算方法：新知小结281四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因为AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：巩固新知1四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于如图所示，因为292已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝又因为AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面积为

AC·BD＝×8×6＝24.解：2已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.303【中考·南充】已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(

)A．2B.C．3D．4D3【中考·南充】已知菱形的周长为4，两条对角314【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(

)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②B4【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．B325【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(

)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cmD5【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别33我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？菱形是轴对称图形，对称轴有两条.拓展延伸我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是34

菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.对称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.对35例5如图①，在菱形ABCD中，E，F分

别是CB，CD上的点，且BE＝DF.(1)求证：AE＝AF.(2)若∠B＝60°，点E，F分

别是BC，CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.(1)要证AE＝AF，只需证△AEB≌△AFD，由BE＝DF及菱形的相关性质进行证明即可．(2)如图②，要证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAF＝60°即可，要证∠EAF＝60°，只需证∠1＝∠2＝30°即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出．导引：例5如图①，在菱形ABCD中，E，F分(1)要证AE＝36(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.(2)如图②，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵E为BC的中点，∴∠1＝∠BAC＝30°.

同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.

又∵AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，证明：37

菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题综合在一起．新知小结菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三新381菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为(

)A．2条B．4条C．6条D．8条A巩固新知1菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为()A巩固新知392【中考·益阳】下列性质中菱形不一定具有的性质是(

)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形C2【中考·益阳】下列性质中菱形不一定具有的性质是()C401．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做

菱形

2．菱形的性质：(1)它具有平行四边形的一切性质.(2)菱形的四条边相等.(3)菱形的对角线互相垂直，并且一条对角线平分

一组对角.归纳新知1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做归纳新知41邻边邻边相等课后练习邻边邻边相等课后练习42BB43BB44把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的四边形不具有的一些特殊性质呢？证明步骤正确的顺序是()证明步骤正确的顺序是()所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.点O，BD＝12cm，AC＝6cm.菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?又因为AB＝5，AO＝4，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.由于菱形的四条边都相等，同学们，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以要求其周长就要先求四边形DECF是菱形．理由如下：(1)它具有平行四边形的一切性质.花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB的平行四边形是菱形求证即∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四条边12cm把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的四条边12c45CC46CC47CC48互相平分且垂直平分一组对角一半对称轴互相平分且垂直平分一组对角一半对称轴49BB50CC51CC52菱形的面积如何计算呢？又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．又因为AB＝5，AO＝4，C．6条D．8条别是CB，CD上的点，且BE＝DF.C．12cmD．15cm∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴四边形DECF为平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).(1)它具有平行四边形的一切性质.∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.C．①→②→④→③D．①→④→③→②边长为3cm的菱形的周长是()角线AC，BD交于点O.三角形中利用勾股定理来进行计算．例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB菱形的面积如何计算呢？53【答案】B【答案】B54数学八年级下册菱形及其性质课件公开课55数学八年级下册菱形及其性质课件公开课56数学八年级下册菱形及其性质课件公开课57数学八年级下册菱形及其性质课件公开课58数学八年级下册菱形及其性质课件公开课59数学八年级下册菱形及其性质课件公开课60数学八年级下册菱形及其性质课件公开课61数学八年级下册菱形及其性质课件公开课62再见再见63第十八章18.2.3菱形及其性质人教版数学八年级下册第十八章18.2.3菱形及其性质人教版数学八年级下册64平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线平行四边形的对角线互相平分；温故知新复习旧知平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相65同学们，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？菱形及其性质导入新知同学们，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打66学习目标1.掌握的定义和性质及菱形面积的求法.2.灵活运用菱形的性质解决问题．学习目标1.掌握的定义和性质及菱形面积的求法.671知识点菱形的定义在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？

平行四边形有一组邻边相等的平行四边形菱形邻边相等合作探究1知识点菱形的定义在平行四边形中，如果内角大68有一组的叫做邻边相等平行四边形ADCB∵四边形ABCD是平

行四边形

AB=BC∴四边形ABCD是菱形菱形.

有一组的69感受生活你能举出生活中你看到的菱形吗？感受生活你能举出生活中你看到的菱形吗？70生活感受生活感受71例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB

于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于

点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？因为DE∥FC，DF∥EC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可．导引：例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB因72四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平

行四边形是菱形)．解：四边形DECF是菱形．理由如下：解：73

本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法．新知小结本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可新知小结741如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB巩固新知1如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，DE∥AC752知识点菱形的边的性质

菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问

题菱形的四条边都相等.合作探究2知识点菱形的边的性质菱形具有平行四边形的所76例2如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周长为

，故选B.B分析：例2如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，77四边形不具有的一些特殊性质呢？点O，且AB=5，AO=4.∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAFA．5cm∵四边形ABCD是菱形，所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.四边形DECF是菱形．理由如下：由于菱形的四条边都相等，三角形中利用勾股定理来进行计算．【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为()例1已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB点F.如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②

在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.新知小结四边形不具有的一些特殊性质呢？在菱形中作辅助781边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cmC巩固新知1边长为3cm的菱形的周长是()C巩固新知792【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(

)A．4B．3C．2D.B2【中考·兰州】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60803【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3πA3【中考·重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝814【中考·鄂州】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′.当CA′的长度最小时，CQ的长为(

)A．5B．7C．8D.B4【中考·鄂州】如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°823知识点菱形的对角线的性质

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?合作探究3知识点菱形的对角线的性质因为菱形是平行四边83

对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质：

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研84问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：85由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．例3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于

点O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周长．导引：由于菱形的四条边都相等，例3如图，在菱形ABCD中，对86∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周长＝4AB解：∵四边形ABCD是菱形，解：87别是CB，CD上的点，且BE＝DF.D．既是轴对称图形又是中心对称图形同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.【中考·南充】已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为()菱形的面积如何计算呢？C．D．3∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.又因为AB＝5，AO＝4，∴四边形ABCD是菱形称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．A．③→②→①→④B．③→④→①→②三角形中利用勾股定理来进行计算．四边形不具有的一些特殊性质呢？A．2B.∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．掌握的定义和性质及菱形面积的求法.所以在Rt△AOB中，OB＝∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，

菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．新知小结别是CB，CD上的点，且BE＝DF.菱形的对88如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°，沿89∵花坛ABCD的形状是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花坛的面积S四边形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).解：∵花坛ABCD的形状是菱形，解：90菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面积之和；(3)两条对角线乘积的一半．说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应

用(3)这种方法时不要忽视“一半”．新知小结菱形的面积有三种计算方法：新知小结911四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因为AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：巩固新知1四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于如图所示，因为922已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由题意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝又因为AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面积为

AC·BD＝×8×6＝24.解：2已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.933【中考·南充】已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(

)A．2B.C．3D．4D3【中考·南充】已知菱形的周长为4，两条对角944【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(

)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②B4【中考·河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直．B955【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(

)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cmD5【中考·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别96我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？菱形是轴对称图形，对称轴有两条.拓展延伸我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，因此菱形是97

菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.对称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.对98例5如图①，在菱形ABCD中，E，F分

别是CB，CD上的点，且BE＝DF.(1)求证：AE＝AF.(2)若∠B＝60°，点E，F分

别是BC，CD的中点，求证：△AEF为等边三角形.(1)要证AE＝AF，只需证△AEB≌△AFD，由BE＝DF及菱形的相关性质进行证明即可．(2)如图②，要证△AEF为等边三角形，由AE＝AF知，只需证∠EAF＝60°即可，要证∠EAF＝60°，只需证∠1＝∠2＝30°即可，这可由菱形及等边三角形相关知识证出．导引：例5如图①，在菱形ABCD中，E，F分(1)要证AE＝99(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.(2)如图②，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵E为BC的中点，∴∠1＝∠BAC＝30°.

同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.

又∵AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，证明：100

菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题综合在一起．新知小结菱形的每条对角线把