导数及其应用导学案(题型归纳、复习)

学习目标第三章导数及其应用（复习）学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力.学习过程一、课前准备学习过程一、课前准备1.导数的几何意义： yyf(xxxx0y与x的比0 xy

（也叫函数的平均变化率）有极限即

x无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数yf(xxx0处y

x

，即f'(x0

)limx0

f(x0

x)f(x)0x0

f(x0

)yf(x上点（x0

,f(x0

）处的切线的斜率因此，如果yf(xx可0yf(x在点（x,f(x）yf(xf(x)(xx)0 0 0 0 0导函数(导数):yf(x在开区间(abxab，都对应着一个确定的导数f(x，从而构成了一个新的函数f(x,称这个函数f(xyf(x在开区间内的导函数，简称导数，常见函数的导数公式：1.C'0；2.(xn)'nxn1；3.(ex)'ex (ax)'axlna；4.(lnx)'1；(logx

x)'

1log ex a5.(sinx)'cosx；(cosx)'sinx8[u(xv(x)]'u(xv(x．9u'(x)v(xu(x)v'(x,[Cu(x)]Cu'(x)u' 10v

u'vuv'v2

(v0)若f(x

2,求lim

f(x k)f(x)0 00 k0 2k1/8下列函数的导数①y(x1)(2x23x1)②ysin2(3x2)※典型例题求曲线的切线1y

2xx2

在点（1，1）处的切线方程.〖跟踪练习〗1、已知直线ykx是yx32的切线，则切点坐标为 2、函数

f(x)x34x5的图像在x1处的切线在x轴上的截距为 _利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的单调区间（1）f(x（2）f(x在(ab内符号；（3）f(x0在(ab上恒成立，则f(x在(abf(x0在(abf(x在(ab上是减函数1设函数

f(x) x3(1a)x24ax24aa1131

f(x)的单调性;2/8〖跟踪练习〗1、已知函数

f(x)x3ax2x1，aR．①讨论函数

f(x)的单调区间；f(x)

21 a②设函数

在区间

3 3内是减函数，求

的取值范围．2、已知函数

f(xx a(2lnxa0)f(x的单调性.2x2已知函数的单调性，利用导数求参量1例（08-湖北-7）若

f(x x2bln(x2)(-1,+)上是减函数，则bC2A.[1,) B.(1,) C.(,1] D.(,1)〖跟踪练习〗1、已知a0,函数f(x)x3ax在[1,)上时单调函数，则a的取值范围是 +2、已知函数

f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR)．（1）f(x在区间(1,1)a的取值范围．3/8利用导数研究函数的极值f(xxxf(xf(x，就0 0 0说f(x)是函数f(x)的一个极大值，记作f (x)f(x)，x是极大值点0 极大值 0 0f(xxxf(xf(x，就说0 0 0f(x)是函数f(x)的一个极小值，记作f (x)f(x)，x是极小值点0 极小值 0 0极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值点可能在区间的内部，也可能在区间的端点f(x:xf(x0xf(xx是0 0 0 0 0f(xf(x是极值，并且如果f(xx两侧满足“左正右负”，则xf(x的极大值0 0 0f(xf(xxxf(xf(x是极0 0 0 0小值f(x的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数(2)求方程f(x)0的根

f(x)用函数的导数为0f(x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数f(x在上必有最大值与最小值．⑴在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．f(xf(x上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．7f(x在(ab内的极值；4/8f(xf(af(bf(x在上的最值3：函数的极值与最值6：（08-ft东-文）（Ⅰ）求a和b的值；

f(xx2ex1ax3bx2x和x1f(x的极值点．（Ⅱ）讨论f(x)的单调性；2（Ⅲ）设g(x)

x3x2f(x与g(x的大小．34:求参变量的范围7.（08-安徽）

f(x)

1xln

(x0且x1)（Ⅰ）求函数1（Ⅱ）2

f(x)的单调区间；xax(0,1)a的取值范围。5/8已知函数

f(x)ln(ax1)

1x1x

x0，其中a0（Ⅰ）若（Ⅱ）求.（Ⅲ）

f(x)在x1处取得极值，求a的值；f(x)的单调区间；f(x)的最小值为1，求a的取值范围.5:图象的交点h(x)f(xg(xxh(x，再求出极值并画出函数的图像，从而根据极值的符号判断交点的数 9.（08-22）x3

x a

1x

x210x的一个极值点.①求a； ②求函

fx的单调区间；③若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。6/86：切线综合10.（07-全国Ⅱ-22）

f(x)x3x.（Ⅰ）yf(xM(t,f(t处的切线方程；（Ⅱ）a0,如果过点(abyf(xabf(a.7、定积分的应用概念— 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi1<xi<…x＝b把区间[a，b]等分成— 每个小区间[xi

n1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式I＝

f(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把— ni＝1n→∞即△x→0

f()在区间[a]a

f(x)dx，即a

f(x)dx＝lim＝n

f()△。i1这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。定积分的性质①bkf(x)dxk

f(x)dx（k为常数）；a②

af(x)g(x)dx

f(x)dxbg(x)dx；aaaaabf(x)dxcf(x)dxbf(x)dx（a＜＜b)。a a c（3）定积分求曲边梯形面积xa,xb,(ab)由三条直线，x轴及一条曲线yf(x),f(x)0)Sbf(x)dx。a7/82、已知

f(x)为偶函数且

f(x)dx=8则

f(x)dx= ；31

0 61x2dx= 4、若1(2xk)dx2，则k= ；02、定积分求面积例1（1）求由曲线ysinx与xx轴在区间[0,2]上围成的图形的面积S；（2）计算曲线yx22x3与直线yx3所围成图形的面积S8、利用导数证明不等式利用导数证明函数不等式，形如证明

f(x)g(x)（或f(x)的图像恒在g(x)的图像的下方），应构造函数h(xf(xg(x，再证明h(x)

0成立.成立.1、利用函数的单调性，证明下列不等式sinxxex

1x,x0（3）xln(1x)（4）lnxxex（1）x0求证

ln

x112、 x1 x x（2）nN n2