高中数学导数练习题

小学试题——可以编辑专题8：导数〔文〕经典例题剖析考点一：求导公式。例1.是的导函数，那么的值是。解析：，所以答案：3考点二：导数的几何意义。例2.函数的图象在点处的切线方程是，那么。解析：因为，所以，由切线过点，可得点M的纵坐标为，所以，所以答案：3例3.曲线在点处的切线方程是。解析：，点处切线的斜率为，所以设切线方程为，将点带入切线方程可得，所以，过曲线上点处的切线方程为：答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。解析：直线过原点，那么。由点在曲线C上，那么， 。又， 在处曲线C的切线斜率为， ，整理得：，解得：或〔舍〕，此时，，。所以，直线的方程为，切点坐标是。答案：直线的方程为，切点坐标是点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意"切点既在曲线上又在切线上〞这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.在R上是减函数，求的取值范围。解析：函数的导数为。对于都有时，为减函数。由可得，解得。所以，当时，函数对为减函数。当时，。由函数在R上的单调性，可知当是，函数对为减函数。当时，函数在R上存在增区间。所以，当时，函数在R上不是单调递减函数。综合〔1〕〔2〕〔3〕可知。答案：点评：此题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数在及时取得极值。〔1〕求a、b的值；〔2〕假设对于任意的，都有成立，求c的取值范围。解析：〔1〕，因为函数在及取得极值，那么有，．即，解得，。〔2〕由〔Ⅰ〕可知，，。当时，；当时，；当时，。所以，当时，取得极大值，又，。那么当时，的最大值为。因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为。答案：〔1〕，；〔2〕。点评：此题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：①求导数；②求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。考点六：函数的最值。例7.为实数，。求导数；〔2〕假设，求在区间上的最大值和最小值。解析：〔1〕， 。〔2〕，。令，即，解得或，那么和在区间上随的变化情况如下表：＋0—0＋0增函数极大值减函数极小值增函数0，。所以，在区间上的最大值为，最小值为。答案：〔1〕；〔2〕最大值为，最小值为。点评：此题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比拟，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。〔1〕求，，的值；〔2〕求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。解析：〔1〕∵为奇函数，∴，即∴，∵的最小值为，∴，又直线的斜率为，因此，，∴，，．〔2〕。，列表如下：增函数极大减函数极小增函数所以函数的单调增区间是和，∵，，，∴在上的最大值是，最小值是。答案：〔1〕，，；〔2〕最大值是，最小值是。点评：此题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等根底知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练选择题1.曲线的一条切线的斜率为，那么切点的横坐标为〔A〕A．1 B．2 C．3 D．42.曲线在点〔1，－1〕处的切线方程为 〔B〕 A． B． C． D．3.函数在处的导数等于〔D〕 A．1 B．2 C．3 D．44.函数的解析式可能为 〔A〕 A． B． C． D．5.函数，在时取得极值，那么=〔D〕〔A〕2 〔B〕3 〔C〕4 〔D〕56.函数是减函数的区间为(D)〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕7.假设函数的图象的顶点在第四象限，那么函数的图象是〔A〕xxyoAxyoDxyoCxyoB8.函数在区间上的最大值是〔A〕A． B． C． D．9.函数的极大值为，极小值为，那么为〔A〕A．0 B．1C．2 D．410.三次函数在内是增函数，那么〔A〕A． B．C． D．11.在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 〔D〕 A．3 B．2 C．1 D．012.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如以下图，那么函数在开区间内有极小值点〔A〕A．1个 B．2个C．3个 D．4个填空题13.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为__________。14.曲线，那么过点"改为在点〞的切线方程是______________15.是对函数连续进行n次求导，假设，对于任意，都有=0，那么n的最少值为。16.某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么吨．解答题17.函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值．18.函数〔1〕求的单调减区间；〔2〕假设在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.19.设，点P〔，0〕是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。〔1〕用表示；〔2〕假设函数在〔－1，3〕上单调递减，求的取值范围。20.设函数，是奇函数。〔1〕求、的值。〔2〕求的单调区间与极值。21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22.函数在区间，内各有一个极值点．〔1〕求的最大值；当时，设函数在点处的切线为，假设在点处穿过函数的图象〔即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧〕，求函数的表达式．强化训练答案：1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A11.D12.A填空题13.14.15.716.20解答题17.解：。据题意，－1，3是方程的两个根，由韦达定理得∴∴∵，∴极小值∴极小值为－25，，。18.解：〔1〕令，解得所以函数的单调递减区间为〔2〕因为所以因为在〔－1，3〕上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在[－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有，解得故因此即函数在区间上的最小值为－7.19.解：〔1〕因为函数，的图象都过点〔，0〕，所以， 即.因为所以. 又因为，在点〔，0〕处有相同的切线，所以 而 将代入上式得因此故，，〔2〕.当时，函数单调递减.由，假设；假设由题意，函数在〔－1，3〕上单调递减，那么所以又当时，函数在〔－1，3〕上单调递减.所以的取值范围为20.解：〔1〕∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；〔2〕由〔Ⅰ〕知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。21.解：设长方体的宽为〔m〕，那么长为(m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得〔舍去〕或，因此.当时，；当时，，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。从而最大体积，此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为。22.解：〔1〕因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为〔〕，那么，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．〔2〕解法一：由知在点处的切线的