对固定效应变面板变系数的直接半参估计

对固定效应变面板变系数的直接半参估计摘要在这篇论文中，我们介绍了一个用于面板模型中个体效应与解释变量之间存在着未知形式相关性情况下变系数估计的新方法。这个回归方法使用一个基于一阶差分后的局部回归对未知系数进行估计。为了避免无法忽视的渐近有偏性，我们需要引入一个更高维度的内核权重。这是我们能够以扩大变量规模，导致一个较低的收敛概率为代价去除有偏性。为了克服这个问题，我们采用了单步更新算法，这能够使得回归结果能够达到一个较高的收敛概率，同时也体现了所谓的oracle效率特征。我们还得到了渐近分布。由于回归过程是建立在对于窗宽矩阵（指除一定宽度对角线以外的元素全为0的矩阵？具体查阅非参估计）的选择上，我们还提供了一个计算计算这个矩阵的实证方法。蒙特卡洛模拟结果显示这个回归方法在有限样本情况下十分有效。一、绪论本篇论文关注于对面板模型变系数的估计。这种回归方法由一个线性回归模型组成，并基于理论，回归系数受到外生变量影响，从而被假定为变系数。例如，在所谓的教育回报问题中，针对教育水平对工资水平的影响弹性的估计问题，通过理论研究指出教育的边际回报可能会随着工作经验的不同而改变，详情可参阅Schultz（2003）。因此，在一定的教育水平条件下，工资-教育弹性可能就会随着工作经验的不同而发生变化。在本文的实证研究中，针对可能存在的变系数函数形式误设问题，我们采用了非参数估计技术加以解决。但在大多数情况下，对于系数方程形式的估计是通过标准化手段得到的，例如样条平滑、序列估计或者局部多项式回归估计，详情可参阅SuandUllah（2011）。尽管在绝大多数情况中，直接运用一个已有的技术就能够得到一个正确的推断结果，然而没有多少注意力被放在这些估计过程在非标准设定下的渐近特征也是事实。不幸的是，这些设定与面板数据模型的实证分析息息相关。这里有一个非常清晰的例子，在一个经济计量模型中，存在着一些无法观测的解释变量，这些变量虽然不随着时间变化，但是能够在统计角度上与模型中一些其他的解释变量存在着相关性（固定效应）。固定效应模型中存在的与一些解释变量相关的未知形式的组间异质性不是一个能够简单解决的问题。实际上，在这样的异质性问题下进行估计的计量方法都面临着所谓的附带参数问题（固定效应的可变截距项就是附带参数，会造成最大似然估计结果非一致性），详情可参阅NeymanandScott（1948）。为了能够得到这类模型中系数的一致估计量，一个可行的解决方法就是讲模型转换成一个不含有未知形式异质性的模型。具体而言，可以通过构建一个异质性变量μit与d维解释变量Xit、q维解释变量Zit的协同变量有关（与其中之一或者两个变量同时相关）的线性面板模型来解决这一问题。Y其中，函数mz未知且需要估计，vit为随机干扰项。显然，任何试图使用标准非参数估计方法对m∙进行直接估计都会得到基准曲线的非一致性估计量。造成这一结果的原因在于EμiXit=x,Zit=z≠0。解决这类问题有一个标准的方法，就是将μi通过一系列转换从式（1.1）中∆到目前为止，对于m∙的直接非参估计都比较麻烦，具体可参阅SuandUllah（2011）。其原因在于，对于每一组别（i），式（1.2）的条件期望值E∆YitXit,Xit-1在一些特殊的情况下，本文也给出了相关问题的一致性估计方法。对于无约束模型形式XitTmZit=mXit∆这对这种情形，Hendersonetal.（2008）基于轮廓似然逼近方法提出了一个迭代过程算法，Mammen等（2009）提出了通过一个平滑的后向拟合（Backfitting）算法以得到包含了时间与个体效应的可加面板模型非参数一致估计。更进一步，若Xit'mZit≡gZit+Xit∆QianandWang（2012）对可加部分采用了基于一阶差分的边际积分非参估计，即GZ本文中我们所介绍的估计方法主要是将现有的估计结果推广至更为广义的变系数模型，在如式（1.1）所示的N→∞但T保持不变的O型框架下进行研究。我们的方法是基于对可加函数Xit'mZit-Xit-1'mZit-1的局部近似实现的。这个思想由Yang（为了能够在这种情况下保持标准的收敛率（即在不影响对有偏性约束的情况下降低估计方差），我们使用FanandZhang（1999）所提出的方法。其核心思想在于通过进一步的平滑处理降低方差，而且偏差余项不会因为任何平滑处理而降低。将这种思想运用到我们的估计问题中，提出一个单步后向拟合算法。由于采用可加模型，那么我们的方法能够得到一个有效估计结果。这意味着，任意一组的估计结果的协方差矩阵是渐近一致的，也就是说我们能够推断出其他组别的协方差矩阵。最后，我们还介绍了一个用来选择窗宽系数（bandwidthparameter非参估计内容，需补课）的数据驱动方法。如前文所述，可以使用一些变换过程来去除面板模型中的异质性。据我们所知，对于模型（1.1），Sun等（2009）已经提出了一个通过所谓的虚拟变量最小二乘逼近方法得到m∙的估计量。他们通过如式（1.3）的替代形式对mY其中，当i=j时dij=1，否则为0。基于这个模型，他们推导出一个包含了局部线性回归逼近的最小二乘方法，得到关于未知系数平滑曲线的一致估计量。与我们的方法相比，这个方法存在这一个极大的偏差余项。实际上，这个方法的有偏性来自于两处。其一，对m∙的局部近似，这种处理方式也存在于我们所讲要介绍的方法中；其二，未知的固定效应只能等于0，因为他们施加了一个可加性强约束——iμi本文结构如下：第二章，我们建立计量模型并介绍估计过程；第三章，研究其渐近特征并基于此介绍一个转换过程，通过这个过程能够得到一个具有最优收敛率的有效估计量；第四章，介绍如何从实证角度估计带宽矩阵；第五章，给出了一些模拟结果；最后，第六章为结论。二、统计模型及估计方法为了更好的说明我们的估计方法，先从单变量模型开始，然后将估计结果扩展到多变量模型。那么，根据式（1.2）建立d=q=1的单变量模型。在这种情况下，对于任意z∈A，其中A为R内部一个非空闭集，将（1.2）泰勒展开：X++⋯+≡这个式子表明将通过XitZit-zλ-Xit-1Zi=1（2.1）这里，K为一个二元内核（kernel？），则有Ku,v=KuKh为一个窗宽。我们用β0和β1表示使式（2.1）最小化的系数的值。上述过程给出了m∙和m‘∙的估计量，特别的是，在不断的局部逼近的情况下（p=0;即Naradaya-Watson内核回归估计量），mzβ在局部线性回归的情况下（p=1），则有：β（其中Zit为一个2Z可以看到，在（2.1）中我们给出了一个包含了Zit-1的二元内核，而不是一个仅考虑了Zit的内核。其原因在于，如果我们只考虑在Zit附近的内核，那么变换后的回归方程（1.2）将会被局限于Zit附近，而没有充分考虑其他取值。那么就会导致Zis（当s≠t）与z之间的距离无法由固定的窗宽变量控制致使变换后的偏差余项无法忽略。最终，可能会导致局部线性估计量存在一个无法消除的偏差。基于这个逻辑，我们基于相邻样本组成的区间Zit,Zit-1的局部近似的方法消除这一偏差。在定理3.1中，可以看到，具有二元内核的局部线性估计量与标准局部线性平滑估计量（即在为了将收敛速度保持在NTh，我们在这里对回归方程进行变换，采用单步后向拟合算法进行估计。用∆Yit1∆将式（1.2）带入（2.5），得：∆从式（2.6）中可以看出，对于m∙的估计是一维回归问题。因此我们可以再次使用一元内核权重的局部线性最小二乘估计方法。然而，仍存在着一些问题，由于式（2.5）中mZi∆其中，v这样，就能够使用如式（2.8）式所示的加权局部线性回归估计m∙i=1计算得到使式（2.8）最小化的γ0和γ1。这样，就得到了m∙和m'∙现在，将我们的估计方法由单变量情况扩展到多变量，也就是说式（1.1）中d≠q≠1。在这种情况下，我们将着力于使用多元局部加权线性回归的方法估计相关问题。i=1其中，Z为一个d1+q维行向量。在这里，K为一个qK其中，H是一个q维正定对称的窗宽矩阵。通过式（2.9）的最小化得到一个d1+q维列向量β=β0',β1''。同样的，得到mz和Dmz=∂mz∂z的估计量，分别为m很容易就能够将式（2.9）最小化的解写成我们熟知的矩阵形式：β其中，W∆Z那么，mz的局部线性加权最小二乘估计量就如式（2.11m其中e1=Id⋮Odq×d为一个d1+q×d维的选择矩阵，Id是一个d阶单位矩阵，Odq×d是一个dq×d最后，对选择局部线性最小二乘估计方法做出几点说明。首先，从式（2.11）的表达形式上可以看出，我们是通过加权最小二乘找到数据拟合平面的方式得到估计结果的，而权重的选择是基于内核及窗宽矩阵H得到的。正如Ruppert和Wand（1994）所讨论的，如果选择一个可能具有紧支撑支撑集在数学中，一个定义在集合X上的实值函数f的支撑集，或简称支集，是指X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0。最常见的情形是，X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在XbackslashC中为0，且不存在C的真闭子集也满足这个条件，即，C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。从某种意义上，紧集类似于有限集。一个函数被称为是紧支撑于空间支撑集在数学中，一个定义在集合X上的实值函数f的支撑集，或简称支集，是指X的一个子集，满足f恰好在这个子集上非0。最常见的情形是，X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在XbackslashC中为0，且不存在C的真闭子集也满足这个条件，即，C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。从某种意义上，紧集类似于有限集。一个函数被称为是紧支撑于空间X的，如果这个函数的支撑集是X中的一个紧集。例如，若X是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为0的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的epsilon>0，一个定义在实数轴X上的函数f在无穷远处消失，可以粗略通过通过选取一个紧子集C来描述：|f(x)-1_C(x)f(x)|<epsilon其中1_C(x)表示C的指示函数。注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布（英语：distribution(mathematics)），比如狄拉克函数：定义在直线上的delta(x)。此时，我们考虑一个测试函数F，并且F是光滑的，其支撑集不包括0。由于delta(F)（即delta作用于F）为0，所以我们说delta的支撑集为{0}。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。其次，使用局部线性最小二乘内核估计的另一个重要优势在于其渐近偏差及方差的表达式比Naradaya-Watson或者其他的非参估计量的偏差与方差表达形式更为优越。特别是Fan（1993）指出的，局部线性最小二乘估计量具有非常重要的渐近大中取小性质。另外，与Naradaya-Watson或者其他非参估计量不同，（2.11）估计结果在Z的密度函数边界处的偏差与方差和在密度函数内部的具有相同的量级。这是一个非常有用的性质，因为在实际应用中，处于边界地带的样本数据可能占总样本数的较大比例。三、渐近性质及有效估计量这一章将对前文所介绍的估计结果的一些初步渐近性质进行分析。为此，设定如下假设：假设3.1：设Yit,Xit,Ziti=1,…,N;t=1,…,T为一组Rd+q+1随机变量，对每一个固定的t，服从独立同分布；对于每一个i，具有严格的平稳性同期组间满足独立同分布；同组序列平稳。。另，分别设fZ同期组间满足独立同分布；同组序列平稳。假设3.2：随机扰动项vit服从零均值同方差的独立同分布，且σv2<∞。干扰项与任意i和t的Xit和Z假设3.3：设μi与Xit和假设3.4：设A=trA'A，那么EX若定义在实数区间A（注意区间A可以是闭区间，亦可以是开区间甚至是无穷区间）上的任意函数f(x)，对于任意给定的正数ε>0，总存在一个与x无关的实数ζ>0，使得当区间A上的任意两点x1，x2，满足|x1-x2|<ζ时，总有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称f(x)在区间A上是一致连续的。X同样的，这些矩阵函数EEEE在其支撑集上是有界且一致连续的。假设3.5：函数E∆Xit∆Xit'假设3.6：对于某些δ>0，这些函数EEE在其支撑集上是有界且一致连续的。假设3.7：设z为fZ1t支撑集内一点。假设3.8：内核函数K具有紧支撑集，有界的内核满足u其中μ2K≠0、RK≠0为标量，I为一个q×q阶单位矩阵。另外，K假设3.9：窗宽矩阵H为对称矩阵且严格正定。另外，当N随路径以路径NH→∞趋近无穷时，所有矩阵元都趋于可以看出，这些假设与面板模型的非参估计回归分析中的假设大致相同。假设3.1建立了样本和数据生成的标准过程：组间相互独立，但对于组内数据允许存在着随时间推移的相关性。当然，其他的可能的时间序列结构也是可以考虑的，例如强混合序列（参见CaiandLi，2008），或者非平稳时间序列数据（参见Cai等，2009）。混合序列方法一般用来加快估计量协方差归零的速度。在我们的例子中，由于是在固定T下的渐近分析，所以不需要采用混合序列的方式来处理。另一方面，我们确信非平稳时间序列已经超出了这篇论文的研究范围。另外值得注意的是，边际概率是具有上下界的，这一假设可以放松，但会加大证明过程的计算复杂程度。假设3.2也是一个一阶微分估计量的标准假设，可以参考Wooldridge（2002）对于全参情况的讨论。另外，假设干扰项vit与变量Xit以及/或者变量Zit相互独立并不失一般性。我们可以基于二阶矩施加相关性从而放松相互独立的假设。例如，方差协方差矩阵可以具有未知形式的异质性。在我们的假设前提下，可以将You等（2010）所采用的转换估计量进一步延伸。这种假设同时还排除了解释变量内生性存在的可能性，并施加了一些外生约束条件。否则，就需要引入工具变量方法，例如CaiandLi（2008）或者CaiandXiong（2012）。假设3.3规定了所谓的固定效应。可以看出，这个假设条件比Sun等（2009）所施加的假设条件要弱很多，所以他们所使用的虚拟变量的最小二乘估计方法是可行的。从根本上来说，他们所使用的方法都试图引入异质性与解释变量之间的平滑关系，而且为了避免可加的偏差余项假设3.4和3.5是关于矩函数的平滑条件。假设3.6相当于识别这类模型的秩条件。假设3.7-3.9为局部线性回归估计的标准假设（参照RuppertandWand，1994）。最后，所有的结论都基于随机系数设定。基于如上的假设条件，给出局部线性最小二乘估计量的条件均值与条件方差的结论。定理3.1：若假设3.1-3.9成立，那么，对于任意固定的T及N→∞，偏差余项为E=×其中对于任意r=1,…,d，Hmrz为m∙第r个部分的X另外，如果μ2KuE其方差为Var其中，BBB这里对于r=1,…,d，矩阵diagrtrHmrzH为了更好地描述估计量的渐近过程，我们给出了d=q=1且H=h推论3.1：若假设3.1-3.8成立，则对于任意常数T，若当N趋近无穷大时，h→0且Nh2→∞，E其中，c另外，如果假设μ2KuE其方差为：Var值得注意的是，在标准假设下μ2Ku=μ2正如在其他的论文中已经支出的，偏差余项及其方差表达式中的第一项与样本无关，那么可以认为这一项代表了无约束下的有偏性及其方差。同时，对H施加的约束条件足以表明其他项服从op1，所以关于定理3.2：若假设3.1-3.9成立，则对于任意常数T以及N→∞，有NT其中，bv可以看出，估计结果的收敛速率为NTH。在命题所施加的约束下，估计量既具有一致性又服从渐进正态分布，然而，其收敛速率只是次优速率，因为这种估计量具有较低的收敛速度，为NTH12。正如已经在第二部分说明的，为了能够得到最优的收敛率，使用式（∆其中，v在式（3.1）中，mZit-1;H为式（2.11）中的单步局部线性估计量。在这里，我们提出一个i=1其中，H为一个q×q维正定对称的窗宽矩阵。如果定义Zit1'=Xit'Xi=1其中我们用γ=γ0'γ1''代表使式（3.3）最小化m其中∆WZ为了描述这个估计量的渐进性质，需要对窗宽矩阵H以及其与H的关系事假如下假设：假设3.10：窗宽矩阵H为一个严格正定的对称矩阵，且当N趋近于无穷时，所有矩阵的元都依路径NH→∞趋近于假设3.11：当N趋近于无穷时，窗宽矩阵H和H满足如下条件：NHH/一般的，都要求内核函数、矩条件以及密度函数服从假设3.1-3.8所规定的平滑性和有界性。这就需要像Masry（1996）所建立的一致收敛的结果。这样就能够得到如下的结果。定理3.3：若假设3.1-3.8及3.10-3.11成立，那么对于任意常数T及N→0，偏差余项为：E=以及其方差为：Var其中diagrtrHmrzH代表对角线元素为trHm最后，根据定理3.2和3.2中偏差余项方差表达式中相关的项以及RuppertandWand（1994），需要强调的是Hmz的元都是函数m∙在取值z处特定方向的曲率。那么，从直觉上来说，可以认为偏差会随着由偏差余项首项所描绘的曲率和平滑性的增加而扩大。同时，就方差而言，可以由更大的在Z=z处Y的条件方差以及z四、窗宽的选择正如在前面章节所介绍的，窗宽矩阵H在未知量m∙的估计中起到关键性作用。从渐进性质的表达式中就可以看出，窗宽H的选择实际上是在偏离余项与估计结果方差之间进行权衡。考虑最简单的情况，H=h2I，如果选择一个非常小的值h，那么根据推论3.1，偏离余项会变小（以量级h2），但是以增加估计方差（以量级1NTh2）为代价。这就需要通过选择一个使均方误（MSE）最小化的窗宽矩阵H，即最小化偏离余项平方和及方差。而对于估计量m∙;H与函数m∙;MSE在如上的MSE表达式中，期望值由Z1,…,Zq;X1H若Z1,…,Zq;X1MSE其中bVΩ从如上的表达式中可以看出，这里将最小化均方误定义为选择窗宽矩阵H的标准，且这里的均方误的测度为偏离余项条件期望平方和与估计量方差的和。所以，可以看出这里对于偏差的测度方法就决定了对全局窗宽的选择。换而言之，这里是在不变的局部点处选择的窗宽矩阵。当然，若基于局部点的窗宽选择方式，考虑变化的局部点就可以得到窗宽矩阵函数Hz。在这种情况下，局部MSEMSE这是期望值就由X决定。MullerandStadtmuller（1987）对利用随局部点变化的窗宽矩阵进行卷积型回归估计的相关问题进行了讨论。另外，FanandGijbels（1992）提出了一个基于变窗宽矩阵的对局部多项式的回归估计量。在本文讨论的情况下，采用全局窗宽矩阵，其原因有两点。首先，模型中的所有部分都假设具有相同的平滑度；其次，除非函数曲线表明存在这非常复杂的结构（全局窗宽矩阵无法很好的描述和拟合所有局部特征）情况下，使用局部窗宽矩阵并不能显著增加最终结果的优度，反而会大大增加计算量。这可能是由于局部适应性性质已经被包含在了局部线性回归平滑因子中了。然而到此为止，Hopt的选择并没有解决窗宽矩阵选择的所有问题。事实上，可以看出，MSE与一些未知的量有关，因此这里的最优窗宽矩阵无法通过数据估计得到。对于MSE中未知量的近似替代有如下几种方法：一种是将式（4.1）中的偏离余项及其方差中的项用在定理3.1中提到的各自的一阶渐近表达式代替，这就是所谓的插值方法，具体细节可以参考Ruppert等（1995）；另一种可行的方法是将式（4.1）中的偏离余项及其方差用其确切的表达式替代，这种方法由FanandGijbels（1995aE[Var其中，根据定理3.1，显然有：EVar这里τ为一个N(T-1)维向量，且对于i=1,…,N,t=2,…,τV为一个N(T-1)×N(T-1)维包含矩阵VijV为了估计偏离余项和方差，就需要计算τ和V。对于τ的处理，将mZit和mZit-1在z处五阶泰勒展开，这样一个五阶局部多项式回归就能够确保前文所提出的窗宽矩阵选择过程对于局部线性拟合而言是N阶一致的？。具体参考Hall等（1991）。然而，为了简便起见，采用三次多项式回归的方法能够得到接近N阶一致性的选择结果，而且能够打打降低计算量。在本文的例子中（即d=q=1），向量τ包含了∆对于V的估计问题，由假设3.2可以看出，这与估计σv2σ这样就可以看出无论是τ还是σv2都依赖于窗宽矩阵H，而这个窗宽矩阵则由样本数据决定。可以用于这些计算的合适的引导窗宽矩阵H*能够通过由FanandGijbels（1995a）所提出的全局残差平方标准过程得到。在这里，我们用m-iZit;H表示mZit的留一交叉估计量。所谓留一交叉估计就是在用式（2.11）估计mZit时，使用除第i组之外的全部数据进行估计。可以看出，一旦得到bVΩ根据式（4.1），MSE(H)的相关估计量为：MSE定义Hopt的估计量HH在这里我们并没有给出窗宽矩阵的理论特性，ZhangandLee（2000）对局部MSE做了详细的研究，我们认为在我们所介绍的模型框架下可以将其直接用来分析分析全局MSE。最后，使用与估计窗宽矩阵H相同的方式来估计有效估计量。五、蒙特卡洛模拟这一章将给出蒙特卡洛模拟的结果来检验固定效应模型的有限样本下前文所介绍的估计方法的估计效果。这里采用如下的变系数非参模型：Y其中Xdit和Zqit为随机纯变量，vit为独立同分布服从N0,1的随机变量，m∙为预先制定的待估计函数。观察值是由服从Zqit=wqit+w在这采用本文研究中三个不同的情况：1.Y2.Y3.Y在模拟中所选用的函数形式为m1Z1it=sinZ(a)μ1i与Zμ引入模型。(b)μ2i与Z1it和μ引入模型。在这两种情形中，ui都是独立同分布且服从N0,1的随机变量，在数值模拟实验中，进行了1000次的蒙特卡洛重复模拟（次数用Q表示）。时期（T）固定为3，截面数据组数（N）从50、100、200中抽取。另外，与Henderson等（2008）一样，在模拟中采用了高斯内核进行相关计算，而且窗宽矩阵选定为H=σzNT-1-15，其中这里列出了前文所介绍估计量的结