2023学年人教A版高中数学选修同步常用逻辑用语 市赛获奖

常用逻辑用语第一章1.4全称量词与存在量词课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业1．全称量词短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“_______”表示．2．全称命题(1)定义：含有____________的命题，叫做全称命题．(2)符号表示：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“_____________________________”．课前教材预案要点一全称量词与全称命题对所有的

对任意一个

∀

全称量词

∀x∈M，p(x)对任意x属于M，有p(x)成立

思考：命题p“每一个实数的平方都大于0”是全称命题吗？是真命题吗？提示

是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题．1．存在量词短语“____________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“___”表示．2．特称命题(1)定义：含有____________的命题，叫做特称命题．(2)符号表示：特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为______________，读作“_______________________________”．要点二存在量词与特称命题存在一个

至少有一个

∃

存在量词

∃x0∈M，p(x0)存在一个x0属于M，使p(x0)成立 思考：特称命题与全称命题的特征分别是什么？它们二者有关系吗？提示

全称命题是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题，指任意性；而特称命题是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题，指存在性．二者是有关系的．一个全称命题的否定是特称命题，一个特称命题的否定是全称命题．要点三含有一个量词的命题的否定判断全称命题与特称命题时应注意的问题判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中含有的是全称量词还是存在量词．需要注意的是，有的全称命题不含有全称量词，这时我们要根据命题涉及的意义去判断．课堂深度拓展考点一全称命题与特称命题的判断【例题1】判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)所有不等式的解集A，都是A⊆R；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定；(5)自然数的平方是正数．思维导引：判断一个语句是全称命题还是特称命题，应先判断它是否为命题，如不是命题，当然就不是全称命题或特称命题．解析

因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题．又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均含有全称量词，故为全称命题．(3)不是命题．综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．解析

(1)命题中含有全称量词“任意”，故为全称命题．(2)命题中含有“∃”，故为特称命题．(3)命题中含有“∃”，故为特称命题．(4)命题中含有存在量词“某些”，故为特称命题．(5)命题中含有“∀”，故为全称命题．(6)命题中含有“∃”，故为特称命题．(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题.(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．考点二全称命题与特称命题真假的判断思维导引：首先理解题意，区分出全称命题和特称命题，再结合相关知识进行判断．【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对f(x)的定义域内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)成立，则函数f(x)是增函数；(2)在区间[－2π，0]上，至少有一个角α，使得sinα＝cosα；(3)∀x∈R，y∈R，x2＋|y|>0.如何写含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式．在写两种命题的否定时，要牢牢掌握形式上的两个变化：全称量词与特称量词的变化；条件p(x)与¬p(x)的变化．考点三全称命题的否定与特称命题的否定思维导引：写全称命题或特称命题的否定首先将全称量词和存在量词置换，然后再否定命题的结论．解析

(1)命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：存在一个非负数的平方不是正数．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：所有四边形都有外接圆．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题．【变式3】(1)已知命题p：∃x∈R，使x2－3x＋3≤0，则(

)A．¬p：∃x∈R，使x2－3x＋3>0，且¬p为真B．¬p：∃x∈R，使x2－3x＋3>0，且¬p为假C．¬p：∀x∈R，使x2－3x＋3>0，且¬p为真D．¬p：∀x∈R，使x2－3x＋3>0，且¬p为假(2)下列结论错误的是(

)A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件CC(1)利用全称命题求参数的取值范围全称命题常见题型是“恒成立”问题，解决不等式“恒成立”问题常用的方法有以下几种：①分离参数法：若f(x)>a恒成立，则只需a<[f(x)]min；若f(x)<a恒成立，则只需a>[f(x)]max.②确定主变元法：在给出的不等式中，我们习惯上把x看成主变元，而把变量a看成参数，有时若把a看成主变元，x看成参数，则可简化解题过程．③判别式法：若不等式可以转化为一元二次不等式在某一区间上的恒成立问题，一般利用判别式法及一元二次方程根的分布建立不等式(组)求解．考点四与全称命题或特称命题有关的参数的取值范围问题(2)利用特称命题求参数的取值范围特称命题常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述．解答此类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推