2023学年人教A版高中数学选修同步圆锥曲线与方程 省一等奖

圆锥曲线与方程第二章2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)____________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_________，直线l叫做抛物线的_________.课前教材预案要点一抛物线的定义距离相等

焦点

准线

思考：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示

不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于定直线的一条直线，l不过定点F时，点的轨迹是抛物线．要点二抛物线标准方程的几种形式x2＝2py(p>0) 思考：如何从标准方程判断抛物线的焦点位置？提示

一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上，若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．抛物线标准方程的求法(1)定义法当动点轨迹符合抛物线的定义时，可直接根据定义求出抛物线轨迹方程．课堂深度拓展考点一抛物线的标准方程(2)待定系数法由于抛物线的标准方程有四种固定的形式，所以求抛物线标准方程通常利用待定系数法，其步骤为：①确定抛物线的焦点位置；②根据抛物线的焦点位置设出抛物线的方程；③根据已知求出抛物线的标准方程．【例题1】已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点F的距离是5，求抛物线方程及m的值．思维导引：解本题的基本思路有两个，其一是设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离为5，列出关于m，p的方程组求解；其二是利用抛物线的定义，由点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p值．【变式1】根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；(2)焦点在y轴上，且抛物线上一点P(m,1)到焦点F的距离为6；(3)焦点在直线x－3y－15＝0上．解析

(1)由焦点到准线的距离为6，知p＝6.又焦点在x轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为y2＝－12x.(1)抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等，因此，这两种距离可以相互转化．(2)应用定义通常可方便解决以下几类问题：①求抛物线的标准方程；②抛物线的最值问题；③确定动点轨迹是否为抛物线．考点二抛物线定义的应用思维导引：(1)利用定义法求轨迹方程．(2)解答的关键是将抛物线上的点到焦点的距离转化为到其准线的距离．【变式2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则P的轨迹所在的曲线是(

)A．直线

B．圆C．双曲线

D．抛物线解析

由于C1D1⊥平面BB1C1C，连接PC1，则PC1⊥C1D1，即点P到直线C1D1的距离为PC1.因此，动点P到定点C1与定直线BC的距离相等．依抛物线的定义知，动点P的轨迹为抛物线．D(1)在实际应用问题中，有很多问题与抛物线有关：①抛物线拱形在建筑工程方面较常见，如桥拱就是抛物线形；②探照灯或手电筒的反射镜的轴截面也是抛物线的一部分，此外，还有宇宙中的星体轨道等．(2)要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法，建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程及其几何性质进行推理、运算．(3)解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化．考点三抛物线的实际应用【例题3】已知探照灯的截面是抛物线y2＝x，如图，平行于对称轴y＝0的光线在此抛物线上的入射点、反射点分别为P，Q.设点P的纵坐标为a(a>0)，当a为何值时，从入射点P到反射点Q的光线路程PQ最短？思维导引：由光学知识知PQ必经过焦点F，设P(a2，a)，求PQ与y2＝x的另一交点Q的坐标，依基本不等式得出结论．【变式3】“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB＝44m，∠A＝45°，AC1＝4m，C1