北京市海淀区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题解析版资料

PAGE第19页共19页海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．答案：C解析：由知故焦点为2．如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数（）A．B．C．D．答案：D解析：由题可知3．当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．答案：B解析：4．已知直线，.若，则实数的值是（）A．B．或C．或D．答案：C解析：因为两直线垂直，故有解得5．设不等式组表示的平面区域为.则区域上的点到坐标原点的距离的最小值是（）A．B．C．D．答案：B解析：画出可行域：易知所求最小值为6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（）A．B．C．D．答案：A解析：由题画出直观图由题可知：故故选A7．某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为.那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．B．C．D．答案：C解析：平均融化速度为反映的是图像与坐标轴交点连线的斜率：观察可知在处瞬时速度（即切线斜率）与平均速度一致。8．已知点在曲线上，过原点，且与轴的另一个交点为.若线段,和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”.那么下列结论中正确的是（）A．曲线上不存在“完美点”B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于1D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于答案：B解析：解法一：定性分析：设这样的完美点存在，则记，易知AB=解得以A为圆心，以为半径作圆，交y轴于点B（B在A上方）以B为圆心，以为半径作圆交于点C（C在B上方）以点ABC构造正方形ABCD则原问题转化为：若存在完美点A等价于点D位于曲线P上。现探究点D的位置变化情况：当A坐标为（1，1）时，易作图如下：可得点D（1，2）位于抛物线上方。随着点A在曲线P上移动，可知线段AB长度持续变大，直线AB倾斜角持续变小，线段AD长度持续变大，直线AD倾斜角持续变小即：则可知：必存在唯一的“完美点”A使得D恰好位于曲线P上，故选B解法二：定量分析：设记（）则有的方程是因为ABCD为正方形，故，以A为圆心，过点B的圆的方程为令得，即点，则必然满足得可知若存在完美点，必有横坐标大于1，选项C错误；直线BC的方程为：，与方程联立，整理得可得点C的坐标为正方形ABCD中由ABC三点坐标可得D的坐标为因为D在曲线P上，故有解得∴化简得：设函数记，，故关于的函数为增函数又因为可知必有一个大于1的零点。综上可判断曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9．在的展开式中，常数项是15.（用数字作答）答案：15解析：令得常数项为15（10）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______．答案：解析：将直线与圆化简为直角坐标方程，分别是联立解得故弦长为（11）若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则3.答案：3解析：因为双曲线渐近线为由题可知（12）如图所示，是的切线，，，那么.答案：解析：在三角形ABC中，得故又因为为弦切角，故∴（13）在等比数列中，若，，则公比；当4时，的前项积最大.答案：；4解析：在等比数列中∴其通项公式为因为数列各项均负，要想使的前项积最大，只需考虑偶数项积最大即可。根据等比数列性质∴前四项的乘积最大。（14）如图所示，在正方体中，点是边的中点.动点在直线（除两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是.（写出满足条件的所有顶点）答案：解析：原问题可转化为正方体顶点与点D、点E所构成的平面与体对角线存在交点的问题。故有：平面ABCD即面ADE、BDE、CDE交体对角线于点B，不满足要求；平面、交体对角线于一点（非端点）满足要求；平面与对角线于点D，不满足要求；平面与体对角线无交点，不满足要求；∴平面DEP可以经过的顶点是三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分）函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出及图中的值；（Ⅱ）设，求函数在区间上的最大值和最小值.答案：（Ⅰ）的值是.的值是.（Ⅱ）取得最大值,取得最小值解析：解：（Ⅰ）的值是.………………2分的值是.………………5分（Ⅱ）由题意可得：.………………7分所以………………8分.………………10分因为，所以.所以当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值.………………13分（16）（本小题满分13分）某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定.设甲、乙两位同学间隔的人数为，的分布列为求数学期望；（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小.（只需写出结论）答案：（Ⅰ）男同学的人数为3，女同学的人数为2（Ⅱ）1（Ⅲ）.解析：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为.………………4分（Ⅱ）由题意可得：.………………6分因为，所以.………………8分所以.………………10分（Ⅲ）.………………13分（17）（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，，平面平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设点分别是的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.答案：（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅲ）∥平面（Ⅲ）解析：（Ⅰ）连接.在正方形中，.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………1分因为平面，所以.………………2分在菱形中，.因为平面，平面，，所以平面.………………4分因为平面，所以.………………5分（Ⅱ）∥平面，理由如下：………………6分取的中点，连接.因为是的中点，所以∥，且.因为是的中点，所以.在正方形中，∥，.所以∥，且.所以四边形为平行四边形.所以∥.………………8分因为平面，平面，所以∥平面.………………9分（Ⅲ）在平面内过点作.由（Ⅰ）可知：平面.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.在菱形中，，所以，.设平面的一个法向量为.因为即所以即.………………11分由（Ⅰ）可知：是平面的一个法向量.………………12分所以.所以二面角的余弦值为.………………14分（18）（本小题满分13分）已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.（Ⅰ）求的离心率及短轴长；（Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.答案：（Ⅰ）离心率为短轴长为（Ⅱ）不存在直线，使得点在以为直径的圆上解析：（Ⅰ）由得：.所以椭圆的短轴长为.………………2分因为，所以，即的离心率为.………………4分（Ⅱ）由题意知：，设，则.7分因为………………9分，…………11分所以.所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.………………13分另解：由题意可设直线的方程为，.由可得：.所以，.………………7分所以.………………9分因为，所以.………………11分所以.所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.………………13分（19）（本小题满分13分）已知函数，.（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）求集合中元素的个数；（Ⅲ）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）答案：（Ⅰ）是偶函数.（Ⅱ）当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2.（Ⅲ）3解析：（Ⅰ）函数是偶函数，证明如下：………………1分对于，则.………………2分因为，所以是偶函数.………………4分（Ⅱ）当时，因为，恒成立，所以集合中元素的个数为0.………………5分当时，令，由，得.所以集合中元素的个数为1.………………6分当时，因为，所以函数是上的增函数.………………8分因为，所以在上只有一个零点.由是偶函数可知，集合中元素的个数为2.………………10分综上所述，当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2.（Ⅲ）函数有3个极值点.………………13分（20）（本小题满分14分）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立.对于定义（）.（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为.求证：；（Ⅲ）对于满足（）的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，使得恒成立，并说明理由.答案：（Ⅰ），取得最大值.（Ⅱ）略（Ⅲ）对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得恒成立解析：（Ⅰ）因为，所以，，，故.………………1分

因为，所以.所以.所以当时，取得最大值.………………3分（Ⅱ）由的定义可知：.所以.………………6分设删去的两个数为，则.由题