大学微积分的教程课件

1一、函数的极值及其求法xyox2x3x5x4x1aby=f(x)x0x01一、函数的极值及其求法xyox2x3x5x4x1aby=2极值的定义设函数y=f

(x)在x0

的某一邻域内有定义,定义如果对任意的x

≠

x0,恒有则称f

(x0)为f

(x)的一个极大(小)值.f(x)<f

(x0)(f

(x)>f

(x0))x0x0函数的极大值与极小值统称为极值,函数取得极值的点称为极值点.2极值的定义设函数y=f(x)在x0的3例

y=sinx,x[0,2]sinx

在取极大值232sinx

在取极小值注意:0和2不是sinx

的极值点3例y=sinx,x[0,2]sinx4极值存在的必要条件x0x0定理设函数y=f

(x)在极值点x0可导,则f

(x0)=0.注1:

如果f

(x)=0,那么称x0

为f

(x)的驻点.4极值存在的必要条件x0x0定理设函数y=f(x)5极值存在的必要条件定理设函数y=f

(x)在极值点x0可导,则f

(x0)=0.注1:

如果f

(x)=0,那么称x0

为f

(x)的驻点.注2:

驻点不一定是极值点.x

yo

y=|

x

|x

yo

y=x3x

yo

y=x2注3:

不可导点也可能是极值点.5极值存在的必要条件定理设函数y=f(x)在极值点6极值可疑点不可导点驻点?两个充分条件6极值可疑点不可导点驻点?两个充分条件7极值存在的第一充分条件定理设函数x0

是

f(x)的极值可疑点,f(x)在x0

的某一邻域内(x0－d,x0+d)连续且可导(在x0

可以不可导):(1)当x

(x0－d,x0)时,

f

(x)>0,

当x

(x0,x0+d)时,

f

(x)<0,

则x0

是

f(x)的极大值点.(2)当x

(x0－d,x0)时,

f

(x)<0,

当x

(x0,x0+d)时,

f

(x)>0,

则x0

是

f(x)的极小值点.(3)在上述两个区间,

f

(x)同号,则x0

不是极值点.+x0+x0x0++x0一阶导数变号法7极值存在的第一充分条件定理设函数x0是f(x)8例1解f

(x)=3

x2－6

x－9=3

(x+

1)(

x

－

3)求函数f

(x)=x3－

3

x2－9

x+5的极值.f

(x)x1=－1,x2=3xf(x)－13(－∞,－1)(－1,3)(3,+∞)令f

(x)=0得:+0+0极大极小极大值f

(－1)=10极小值f

(3)=－228例1解f(x)=3x2－6x－9=39例1求函数f

(x)=x3－

3

x2－9

x+5的极值.Mm图形如下:9例1求函数f(x)=x3－3x2－9x+10例2解求函数

的极值.当x=2时,f

(x)不存在,但f

(x)在R上连续.当x<2时,f

(x)>0当x>2时,f

(x)<0所以f

(2)=1为f

(x)的极大值.M10例2解求函数11极值存在的第二充分条件定理设函数y=f(x)在驻点x0

二阶可导,(1)如果

f

(x0)>0,则f(x)在x0

取极小值;+x0+x0(2)如果

f

(x0)<0,则f(x)在x0

取极大值.称为“二阶导数非零法”1.记忆——特例法:y=x2,y=－x2

说明：2.只适用于驻点,不能用于判断不可导点

3.f

(x0)=0时不可使用.x

yo

y=x311极值存在的第二充分条件定理设函数y=f(x)在12例3求函数f

(x)=x3+3

x2－24

x－20的极值.解f

(x)=3

x2+

6

x－24f

(x)=6

x+

6=3

(x+

4)(

x

－

2)令f

(x)=0得:∴极大值f

(－4)=60=－48∵

f

(－4)=x1=－4,x2=2－18<0∵

f

(2)=18>0∴极小值f

(2)12例3求函数f(x)=x3+3x2－2413Mm例3求函数f

(x)=x3+3

x2－24

x－20的极值.图形如下:13Mm例3求函数f(x)=x3+3x2－2141.确定函数的定义域；

4.用极值的第一或第二充分条件判定.

注意:第二充分条件只能判定驻点的情形.

求极值的步骤:2.求导数f

(x);3.求定义域内的极值可疑点

(即驻点和一阶不可导点)；

141.确定函数的定义域；4.用极值的第一或第二充分条15二、函数的最值及其求法极值是局部的,而最值是全局的.

若函数

f

(x)在

[a,b]上连续,则函数f

(x)在[a,b]

上存在最大值和最小值.

15二、函数的最值及其求法极值是局部的,而最值是全局的.16求闭区间

[a,b]上最值的步骤:3.最大值

M=max{f

(x1),…,f

(xk),f

(a),f

(b)}最小值m=min{f

(x1),…,f

(xk),f

(a),f

(b)}.

1.求出定义域内所有的极值可疑点(驻点和一阶

不可导点)x1,x2,…,xk,并算出相应函数值f

(xk);2.计算f

(a),f

(b)；

16求闭区间[a,b]上最值的步骤:3.最大值M17例4求函数f

(x)=在[－1,0.5]上的最值.解x=0是f

(x)的不可导点.令f

(x)=0得:∵∴最大值是0,x1=25f

(0)=0f

(－1)=－2最小值是－217例4求函数f(x)=18例5求函数y=在上的最值.解当时,y

>0又∵y

在上是连续的∴

y

在上单调递增∴最小值是∵∴y

没有最大值18例5求函数y=在19

更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有唯一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.

说明:1.如果f

(x)在[a,b]上单调,则它的最值必定在端点a和b

处取得;2.如果f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有唯一驻点x0为极值点,则f

(x0)必定是最大值或最小值;19更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有唯20例6当0≤

x≤1,p>1时,证明证令f

(x)=x

p+(1－x)

p∴结论成立.∵f

(0)=f

(1)=1f

(x)=p

x

p－1

－

p(1－x)

p－1令

f

(x)=0,得驻点x=1/220例6当0≤x≤1,p>1时,证明证令21例7解将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？

axa-2x

设小正方形的边长为x，则方盒的容积为

21例7解将边长为a的正方形铁皮,四22例7解将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？

设小正方形的边长为x，则方盒的容积为

a-2x

求导得:V=x(a－2x)2,V

=(a－2

x)(a－6

x)唯一驻点x=a

/

622例7解将边长为a的正方形铁皮,四23三、经济应用举例1.平均成本(AC)最低问题

例8设成本函数为

则平均成本为得唯一驻点

x=400此时平均成本和边际成本均为4.

一般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.

所以当

x=400时,平均成本最低.23三、经济应用举例1.平均成本(AC)最低问题例8设成本242.最大利润问题

例9利润函数为

解故当产量x=7时,利润最大.此时价格p=44.设某产品的需求量x是价格p(元)的函数:每天生产该产品的成本函数为C(x)=120+2

x+x2问工厂每天产量为多少时,利润最大?此时价格多少?令

L

(x)=70

－10

x=0,而

L

(x)=－10

<0得唯一驻点

x=7242.最大利润问题例9利润函数为解故当产量x=725某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费和库存费之和最小？

3.最优批量—库存问题例10解设分

x批生产,则生产准备费和库存费之和为

得唯一驻点

x=5,25某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生26一、函数的极值及其求法xyox2x3x5x4x1aby=f(x)x0x01一、函数的极值及其求法xyox2x3x5x4x1aby=27极值的定义设函数y=f

(x)在x0

的某一邻域内有定义,定义如果对任意的x

≠

x0,恒有则称f

(x0)为f

(x)的一个极大(小)值.f(x)<f

(x0)(f

(x)>f

(x0))x0x0函数的极大值与极小值统称为极值,函数取得极值的点称为极值点.2极值的定义设函数y=f(x)在x0的28例

y=sinx,x[0,2]sinx

在取极大值232sinx

在取极小值注意:0和2不是sinx

的极值点3例y=sinx,x[0,2]sinx29极值存在的必要条件x0x0定理设函数y=f

(x)在极值点x0可导,则f

(x0)=0.注1:

如果f

(x)=0,那么称x0

为f

(x)的驻点.4极值存在的必要条件x0x0定理设函数y=f(x)30极值存在的必要条件定理设函数y=f

(x)在极值点x0可导,则f

(x0)=0.注1:

如果f

(x)=0,那么称x0

为f

(x)的驻点.注2:

驻点不一定是极值点.x

yo

y=|

x

|x

yo

y=x3x

yo

y=x2注3:

不可导点也可能是极值点.5极值存在的必要条件定理设函数y=f(x)在极值点31极值可疑点不可导点驻点?两个充分条件6极值可疑点不可导点驻点?两个充分条件32极值存在的第一充分条件定理设函数x0

是

f(x)的极值可疑点,f(x)在x0

的某一邻域内(x0－d,x0+d)连续且可导(在x0

可以不可导):(1)当x

(x0－d,x0)时,

f

(x)>0,

当x

(x0,x0+d)时,

f

(x)<0,

则x0

是

f(x)的极大值点.(2)当x

(x0－d,x0)时,

f

(x)<0,

当x

(x0,x0+d)时,

f

(x)>0,

则x0

是

f(x)的极小值点.(3)在上述两个区间,

f

(x)同号,则x0

不是极值点.+x0+x0x0++x0一阶导数变号法7极值存在的第一充分条件定理设函数x0是f(x)33例1解f

(x)=3

x2－6

x－9=3

(x+

1)(

x

－

3)求函数f

(x)=x3－

3

x2－9

x+5的极值.f

(x)x1=－1,x2=3xf(x)－13(－∞,－1)(－1,3)(3,+∞)令f

(x)=0得:+0+0极大极小极大值f

(－1)=10极小值f

(3)=－228例1解f(x)=3x2－6x－9=334例1求函数f

(x)=x3－

3

x2－9

x+5的极值.Mm图形如下:9例1求函数f(x)=x3－3x2－9x+35例2解求函数

的极值.当x=2时,f

(x)不存在,但f

(x)在R上连续.当x<2时,f

(x)>0当x>2时,f

(x)<0所以f

(2)=1为f

(x)的极大值.M10例2解求函数36极值存在的第二充分条件定理设函数y=f(x)在驻点x0

二阶可导,(1)如果

f

(x0)>0,则f(x)在x0

取极小值;+x0+x0(2)如果

f

(x0)<0,则f(x)在x0

取极大值.称为“二阶导数非零法”1.记忆——特例法:y=x2,y=－x2

说明：2.只适用于驻点,不能用于判断不可导点

3.f

(x0)=0时不可使用.x

yo

y=x311极值存在的第二充分条件定理设函数y=f(x)在37例3求函数f

(x)=x3+3

x2－24

x－20的极值.解f

(x)=3

x2+

6

x－24f

(x)=6

x+

6=3

(x+

4)(

x

－

2)令f

(x)=0得:∴极大值f

(－4)=60=－48∵

f

(－4)=x1=－4,x2=2－18<0∵

f

(2)=18>0∴极小值f

(2)12例3求函数f(x)=x3+3x2－2438Mm例3求函数f

(x)=x3+3

x2－24

x－20的极值.图形如下:13Mm例3求函数f(x)=x3+3x2－2391.确定函数的定义域；

4.用极值的第一或第二充分条件判定.

注意:第二充分条件只能判定驻点的情形.

求极值的步骤:2.求导数f

(x);3.求定义域内的极值可疑点

(即驻点和一阶不可导点)；

141.确定函数的定义域；4.用极值的第一或第二充分条40二、函数的最值及其求法极值是局部的,而最值是全局的.

若函数

f

(x)在

[a,b]上连续,则函数f

(x)在[a,b]

上存在最大值和最小值.

15二、函数的最值及其求法极值是局部的,而最值是全局的.41求闭区间

[a,b]上最值的步骤:3.最大值

M=max{f

(x1),…,f

(xk),f

(a),f

(b)}最小值m=min{f

(x1),…,f

(xk),f

(a),f

(b)}.

1.求出定义域内所有的极值可疑点(驻点和一阶

不可导点)x1,x2,…,xk,并算出相应函数值f

(xk);2.计算f

(a),f

(b)；

16求闭区间[a,b]上最值的步骤:3.最大值M42例4求函数f

(x)=在[－1,0.5]上的最值.解x=0是f

(x)的不可导点.令f

(x)=0得:∵∴最大值是0,x1=25f

(0)=0f

(－1)=－2最小值是－217例4求函数f(x)=43例5求函数y=在上的最值.解当时,y

>0又∵y

在上是连续的∴

y

在上单调递增∴最小值是∵∴y

没有最大值18例5求函数y=在44

更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有唯一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.

说明:1.如果f

(x)在[a,b]上单调,则它的最值必定在端点a和b

处取得;2.如果f

(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且有唯一驻点x0为极值点,则f

(x0)必定是最大值或最小值;19更进一步,若实际问题中有最大(小)值,且有唯45例6当0≤

x≤1,p>1时,证明证令f

(x)=x

p+(1－x)

p∴结论成立.∵f

(0)=f

(1)=1f

(x)=p

x

p－