《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查41 空间几何体的表面积和体积

PAGE12-开卷速查(四十一)空间几何体的表面积和体积A级基础巩固练1．[2014·重庆]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()正视图左视图俯视图A．54 B．60C．66 D．72解析：题中的几何体可看作是从直三棱柱ABC－A1B1C1中截去三棱锥E－A1B1C1后所剩余的部分(如图所示)，其中在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，△ABC的面积等于eq\f(1,2)×3×4＝6.AA1⊥平面ABC，则直角梯形ABEA1的面积等于eq\f(1,2)×(2＋5)×4＝14，矩形ACC1A1的面积等于3×5＝15.过点E作EF⊥AA1于点F，则EF＝AB＝4，A1F＝B1E＝BB1－BE＝3，则A1E＝5，所以△A1C1E的面积等于eq\f(1,2)×3×5＝eq\f(15,2)，直角梯形BCC1E的面积等于eq\f(1,2)×(2＋5)×5＝eq\f(35,2)，因此题中的几何体的表面积为6＋14＋15＋eq\f(15,2)＋eq\f(35,2)＝60，选B.答案：B2．[2014·安徽]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18解析：由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为S＝6×4－eq\f(1,2)×6＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).答案：A3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8π＋16 B．8π－16C．8π＋8 D．16π－8解析：由三视图可知，该几何体为底面半径r＝2，高h＝4的半圆柱挖去一个底面为等腰直角三角形，直角边长为2eq\r(2)高为4的直三棱柱，故所求几何体的体积为V＝π×22×4×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×4＝8π－16，故选B.答案：B4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.eq\f(16,3)π B．eq\f(19,12)πC.eq\f(19,3)π D.eq\f(4,3)π解析：由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点．∴R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(19,12)，S＝4πR2＝eq\f(19,3)π，故选C.答案：C5．如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′­EFQ的体积()A．与点E，F位置有关B．与点Q位置有关C．与点E，F，Q位置都有关D．与点E，F，Q位置均无关，是定值解析：因为VA′－EFQ＝VQ－A′EF＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×4))×4＝eq\f(16,3)，故三棱锥A′­EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值．答案：D6．已知球O，过其球面上A、B、C三点作截面，若O点到该截面的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为()A.eq\f(64π,3) B．eq\f(8π,3)C．4π D.eq\f(16π,9)解析：如图，球心O在截面ABC的射影为△ABC的外接圆的圆心O1.由题意知OO1＝eq\f(R,2)，OA＝R，其中R为球O的半径．在△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝eq\r(22＋22－2×2×2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝2eq\r(3).设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，得r＝2，即O1A＝2.在Rt△OO1A中，OOeq\o\al(2,1)＋O1A2＝OA2，即eq\f(R2,4)＋4＝R2，解得R2＝eq\f(16,3)，故球O的表面积S＝4πR2＝eq\f(64π,3)，故选A.答案：A7．[2014·山东]三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝__________.解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE－ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．解析：该几何体为一个半圆锥，故其体积为V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×2＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．在三棱锥A­BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝62，,b2＋c2＝52，,c2＋a2＝52，))得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝43π.答案：43π10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解析：(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如图所示．∴该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×8×6×4＝64.(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB中，HE＝eq\r(HO2＋OE2)＝eq\r(42＋32)＝5，∴S△HAB＝eq\f(1,2)×AB×HE＝eq\f(1,2)×8×5＝20.侧面HBC中，HF＝eq\r(HO2＋OF2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).∴S△HBC＝eq\f(1,2)×BC×HF＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2).∴该几何体的侧面积S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋24eq\r(2).B级能力提升练11．[2014·大纲全国]正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)解析：由图知，R2＝(4－R)2＋2，∴R2＝16－8R＋R2＋2，∴R＝eq\f(9,4)，∴S表＝4πR2＝4π×eq\f(81,16)＝eq\f(81,4)π，选A.答案：A12．[2014·湖南]一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1B．2C．3D．4解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别是6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝eq\f(2×\f(1,2)×6×8,6＋8＋10)＝2，故选B.答案：B13．已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2)，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.eq\r(6)π B．6πC．5π D．8π解析：∵由勾股定理易知AB⊥BC，DA⊥BC，∴BC⊥平面DAB.∴CD＝eq\r(BD2＋BC2)＝eq\r(6).∴AC2＋AD2＝CD2.∴DA⊥AC.取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为eq\f(\r(6),2)，其即为三棱锥的外接球球心．故三棱锥的外接球的表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝6π.答案：B14．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D－ABC的体积．解析：(1)证明：在图中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，从而AC2＋BC2＝AB2