12-矢性函数的导数与微分解读课件

1.2矢性函数的导数与微分1、矢性函数的导数时，则叫做矢性函数的增量。记作设有起点在原点Ｏ的矢性函数，性变量ｔ在其定义域内从ｔ变到对应的矢量分别为当数1.2矢性函数的导数与微分1、矢性函数的导数时，则叫做矢性1在时，若对应于的增量与之比则称此极限为矢性函数在点ｔ处的导数（简矢性函数的导数内有定义，定义设矢性函数在点ｔ的某个邻域并设也在此邻域内，其极限存在，称导矢），记作或，即在时，若对应于的增量与之比则称此极限为矢性函数2且函数在点ｔ可导，即若由下列坐标式给出：则有求矢性函数的导数转化为求三个数性函数的导数且函数在点ｔ可导，即若由下列坐标式给出3求导矢解：例1已知圆柱螺旋线的矢量方程为求导矢解：例1已知圆柱螺旋线的矢量方程为4例２.设试证明：证：证毕例２.设试证明：证：证毕5引入圆函数，其导矢为为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此又叫圆函数；也为单位矢量，同样的，其矢端曲线也是一单位圆。圆柱螺旋线的方程可写成引入圆函数，其导矢为为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆6如图，Ｌ为的矢端曲线当时，当时，２、导矢的几何意义是在Ｌ的割线ＭＮ上的一个矢量。系指向对应ｔ值增大的一方；但此时指向对应ｔ减少的一方从而仍指向对应ｔ值增大的一方。其指向与一致其指向与相反如图，Ｌ为的矢端曲线当时，当时，２、7在时，由于割线ＭＮ绕点Ｍ转动，当其不为零时，是在点Ｍ处的切线上，以点Ｍ的切线为其极限位置，矢量，此时，在割线上的且其极限位置也在它的切线上，即导矢方向恒指向对应ｔ增大的一方。且其导矢在几何上，为一矢端曲线的切向量指向对应ｔ增大的一方在时，由于割线ＭＮ绕点Ｍ转动，当其不为零时，是在8（１）微分的概念与几何意义设有矢性函数，称为矢性函数在ｔ处的微分。由于微分是导矢与增量当时，与的方向一致；当时，与的方向相反。其指向：3、矢性函数的微分的乘积，则它是一个矢量，而且与导矢一样，也在点Ｍ处与的矢端曲线Ｌ相切。（１）微分的概念与几何意义设有矢性函数，称为矢性函数9微分的坐标表示式或例３.设求：及解：微分的坐标表示式或例３.设求：及解：10（2）的几何意义如果将矢性函数看作其这里，其模终点的矢径函数则（2.5）式可写为（2）的几何意义如果将矢性函数看作11符号的取法：以点M为界另一方面，则在Ｌ上任一点Ｍ处，弧长的微分是当ds位于s增大一方时，取正号；当ds位于s减小一方时，取负号。（规定了正方向）Ｌ上，作为计算弧长ｓ的起点，并以Ｌ之正向作为ｓ增大的方向，若在有向曲线取定一点符号的取法：以点M为界另一方面，则在Ｌ上任一点Ｍ处，弧长12由此知即矢性函数的微分的模，得结合导矢的几何意义知：例Ｐ10例4，例5微分的绝对值。等于（其矢端曲线）弧从而由端曲线的）弧长ｓ的导数在几何上为一切线方向单位矢量，方向恒指向ｓ增大的一方。矢性函数对（其矢由此知即矢性函数的微分的模，得结合导矢的几何意义知：13４、矢性函数的导数公式（k为常数）设矢性函数及数性函数在ｔ的某个范围内可导，该范围内成立则下列公式在４、矢性函数的导数公式（k为常数）设矢性函数14特例：证明方法与微积分中数性函数的公式类似复合函数求导公式：若，则特例：证明方法与微积分中数性函数的公式类似复合函数求导公式：15两端对ｔ求导（左端用公式（５）的特例），得证明：必要性若，则有即＝常数，所以＝常数例４.矢性函数的模不变的充要条件是设＝常数.则有＝常数充分性证毕.两端对ｔ求导（左端用公式（５）的特例），得证明：必要性若16此例可简单地叙述特别，对单位矢量有如，例２中的圆函数，有定长矢量与其导矢互相垂直此例可简单地叙述特别，对单位矢量有如，例２中的圆函数，有17例５.导矢的物理意义设质点Ｍ在空间运动，这个函数的矢端曲线Ｌ就是质点Ｍ的运动轨迹.如图的函数关系为其矢径ｒ与时间ｔ例５.导矢的物理意义设质点Ｍ在空间运动，这个函数的矢18为了说明的物理意义，式中的几何意义是：ｔ＝０时位于点处，Ｍ，其间在Ｌ上所经过的路程为ｓ，的矢径ｒ为路程ｓ的函数，数，而成为时间ｔ的一个复合函数。导公式有假设质点在时刻经过一段时间ｔ后到达点这样，点Ｍ而ｓ又是时间ｔ的函从而可以将看作ｒ是通过中间变量ｓ由复合函数的求在点Ｍ处的一个切向单位矢量，指向ｓ增大的一方。因此它表示在点Ｍ处质点运动的方向，现以表之。为了说明的物理意义，式中的几何意义是：ｔ＝０时位于19而式中的是路程ｓ对时间ｔ的变化率。所以它表示在点Ｍ处质点运动的速度大小，如以表之，则若定义二阶导矢，则为质点Ｍ运动的加速度矢量。由此可见，导矢表示质点Ｍ运动的速度大小和方向，因而它就是质点Ｍ运动的速度矢量

即而式中的是路程ｓ对时间ｔ的变化率。所若定义二阶导矢20例６.一质点以常角速度在圆周上运其中为速度的模。证明：由于所以其中为角速度的模，已知其为常数加速度证毕.动，证明其加速度为例６.一质点以常角速度在圆周上运其中为速度的211.2矢性函数的导数与微分1、矢性函数的导数时，则叫做矢性函数的增量。记作设有起点在原点Ｏ的矢性函数，性变量ｔ在其定义域内从ｔ变到对应的矢量分别为当数1.2矢性函数的导数与微分1、矢性函数的导数时，则叫做矢性22在时，若对应于的增量与之比则称此极限为矢性函数在点ｔ处的导数（简矢性函数的导数内有定义，定义设矢性函数在点ｔ的某个邻域并设也在此邻域内，其极限存在，称导矢），记作或，即在时，若对应于的增量与之比则称此极限为矢性函数23且函数在点ｔ可导，即若由下列坐标式给出：则有求矢性函数的导数转化为求三个数性函数的导数且函数在点ｔ可导，即若由下列坐标式给出24求导矢解：例1已知圆柱螺旋线的矢量方程为求导矢解：例1已知圆柱螺旋线的矢量方程为25例２.设试证明：证：证毕例２.设试证明：证：证毕26引入圆函数，其导矢为为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此又叫圆函数；也为单位矢量，同样的，其矢端曲线也是一单位圆。圆柱螺旋线的方程可写成引入圆函数，其导矢为为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆27如图，Ｌ为的矢端曲线当时，当时，２、导矢的几何意义是在Ｌ的割线ＭＮ上的一个矢量。系指向对应ｔ值增大的一方；但此时指向对应ｔ减少的一方从而仍指向对应ｔ值增大的一方。其指向与一致其指向与相反如图，Ｌ为的矢端曲线当时，当时，２、28在时，由于割线ＭＮ绕点Ｍ转动，当其不为零时，是在点Ｍ处的切线上，以点Ｍ的切线为其极限位置，矢量，此时，在割线上的且其极限位置也在它的切线上，即导矢方向恒指向对应ｔ增大的一方。且其导矢在几何上，为一矢端曲线的切向量指向对应ｔ增大的一方在时，由于割线ＭＮ绕点Ｍ转动，当其不为零时，是在29（１）微分的概念与几何意义设有矢性函数，称为矢性函数在ｔ处的微分。由于微分是导矢与增量当时，与的方向一致；当时，与的方向相反。其指向：3、矢性函数的微分的乘积，则它是一个矢量，而且与导矢一样，也在点Ｍ处与的矢端曲线Ｌ相切。（１）微分的概念与几何意义设有矢性函数，称为矢性函数30微分的坐标表示式或例３.设求：及解：微分的坐标表示式或例３.设求：及解：31（2）的几何意义如果将矢性函数看作其这里，其模终点的矢径函数则（2.5）式可写为（2）的几何意义如果将矢性函数看作32符号的取法：以点M为界另一方面，则在Ｌ上任一点Ｍ处，弧长的微分是当ds位于s增大一方时，取正号；当ds位于s减小一方时，取负号。（规定了正方向）Ｌ上，作为计算弧长ｓ的起点，并以Ｌ之正向作为ｓ增大的方向，若在有向曲线取定一点符号的取法：以点M为界另一方面，则在Ｌ上任一点Ｍ处，弧长33由此知即矢性函数的微分的模，得结合导矢的几何意义知：例Ｐ10例4，例5微分的绝对值。等于（其矢端曲线）弧从而由端曲线的）弧长ｓ的导数在几何上为一切线方向单位矢量，方向恒指向ｓ增大的一方。矢性函数对（其矢由此知即矢性函数的微分的模，得结合导矢的几何意义知：34４、矢性函数的导数公式（k为常数）设矢性函数及数性函数在ｔ的某个范围内可导，该范围内成立则下列公式在４、矢性函数的导数公式（k为常数）设矢性函数35特例：证明方法与微积分中数性函数的公式类似复合函数求导公式：若，则特例：证明方法与微积分中数性函数的公式类似复合函数求导公式：36两端对ｔ求导（左端用公式（５）的特例），得证明：必要性若，则有即＝常数，所以＝常数例４.矢性函数的模不变的充要条件是设＝常数.则有＝常数充分性证毕.两端对ｔ求导（左端用公式（５）的特例），得证明：必要性若37此例可简单地叙述特别，对单位矢量有如，例２中的圆函数，有定长矢量与其导矢互相垂直此例可简单地叙述特别，对单位矢量有如，例２中的圆函数，有38例５.导矢的物理意义设质点Ｍ在空间运动，这个函数的矢端曲线Ｌ就是质点Ｍ的运动轨迹.如图的函数关系为其矢径ｒ与时间ｔ例５.导矢的物理意义设质点Ｍ在空间运动，这个函数的矢39为了说明的物理意义，式中的几何意义是：ｔ＝０时位于点处，Ｍ，其间在Ｌ上所经过的路程为ｓ，的矢径ｒ为路程ｓ的函数，数，而成为时间ｔ的一个复合函数。导公式有假设质点在时刻经过一段时间ｔ后到达点这样，点Ｍ而ｓ又是时间ｔ的函从而可以将看作ｒ是通过中间变量ｓ由复合函数的求在点Ｍ处的一个切向单位矢量，指向ｓ增大的一方。因此它表示在点Ｍ处质点运动的方向，现以表之。为了说明的物理意义，式中的几何意义是：ｔ＝０时位于40而式中的是路程ｓ对时间ｔ的变化率。所以它表示在点