用定义证明数列极限存在的步骤课件

德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所谓“艾宾浩斯遗忘曲线”时间记忆水平及时复习的遗忘曲线不能及时复习的遗忘曲线1德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行时间记忆水平及时复习的第三节数列的极限数列极限定义极限的唯一性（定理1）收敛数列的有界性（定理2）收敛数列的保号性收敛数列与其子数列的关系（定理3）2第三节数列的极限数列极限定义极限的唯一性（定理1）一、定义与定理1.数列的有界性和单调性：例如：数列无界。总能找到使得(1)有界性:3一、定义与定理1.数列的有界性和单调性：例如：数列无界。(2)单调性:4(2)单调性:4定义：2.数列极限的定义引例割圆术5定义：2.数列极限的定义引例割圆术5正确理解数列极限①

的任意给定性。是任意给定的正数，它是任意的，但一经给出，又可视为固定的，以便依来求出由于的任意性，所以定义中的不等式可以改为（M为任意正整数）；等等。②

N的相应存在性。N依赖于，通常记作但N并不是唯一的，只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。③

定义中“当时有”是指下标大于N的无穷多项都落在数的邻域内，即也就是说在邻域以外的只有数列的有限项，因此改变或增减数列的有限项不影响数列的收敛性。6正确理解数列极限①的任意给定性。是任意给定的正….…...…....….….7….…...…....….….7定理1（极限的唯一性）3.有关数列收敛的性质矛盾！命题得证。8定理1（极限的唯一性）3.有关数列收敛的性质矛盾定理2

（收敛数列的有界性）

无界数列必发散.注:有界数列不一定收敛.如数列：9定理2（收敛数列的有界性）无界数列必发散.注:有界数列子数列的概念:子数列的表示：10子数列的概念:子数列的表示：10收敛数列与其子数列的关系:定理3证:注:其逆反定理用于证明数列的发散11收敛数列与其子数列的关系:定理3证:注:其逆反问题：

1.若2对于某一正数

如果存在正整数N

使得当nN时

有|

a|

是否有a(n)3如果数列收敛

那么数列一定有界

发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?4数列的子数列如果发散

原数列是否发散?数列的两个子数列收敛

但其极限不同

原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？5

如何判断数列

1

11

1

是发散的？12问题：1.若2对于某一正数如果存在正整数二、例题例1用定义（）证明证明

只须：即取则当时，有所以注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法）

①要使经一系列放大

②解不等式得③取当时，有要使设，构造，放大13二、例题例1用定义（）证明证明只须：例2（记录）用定义证明这样的限制对数列极限的存在是否有影响？由于改变数列的有限项对数列的极限没有影响，所以在选择不等式放大时，可以对n值做一些限定。14例2（记录）用定义证明这样的限制对数列极限的存在是否注:①

发散数列也可能有收敛的子数列．

例3②

证明数列发散时，可采用下列两种方法：I)

找两个极限不相等的子数列；II)

找一个发散的子数列。15注:①发散数列也可能有收敛的子数列．例3②证例4证明数列设极限不存在。证设当时，即当时，即极限不存在。所以（记录）16例4证明数列设极限不存在。证设例5（06年考研题数学三）解：=1求例6（记录）已知求解：（k=1,2,3,…)17例5（06年考研题数学三）解：=1求例6（记录）已知求求解：从而记录18求解：从而记录18

德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所谓“艾宾浩斯遗忘曲线”时间记忆水平及时复习的遗忘曲线不能及时复习的遗忘曲线19德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行时间记忆水平及时复习的第三节数列的极限数列极限定义极限的唯一性（定理1）收敛数列的有界性（定理2）收敛数列的保号性收敛数列与其子数列的关系（定理3）20第三节数列的极限数列极限定义极限的唯一性（定理1）一、定义与定理1.数列的有界性和单调性：例如：数列无界。总能找到使得(1)有界性:21一、定义与定理1.数列的有界性和单调性：例如：数列无界。(2)单调性:22(2)单调性:4定义：2.数列极限的定义引例割圆术23定义：2.数列极限的定义引例割圆术5正确理解数列极限①

的任意给定性。是任意给定的正数，它是任意的，但一经给出，又可视为固定的，以便依来求出由于的任意性，所以定义中的不等式可以改为（M为任意正整数）；等等。②

N的相应存在性。N依赖于，通常记作但N并不是唯一的，只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。③

定义中“当时有”是指下标大于N的无穷多项都落在数的邻域内，即也就是说在邻域以外的只有数列的有限项，因此改变或增减数列的有限项不影响数列的收敛性。24正确理解数列极限①的任意给定性。是任意给定的正….…...…....….….25….…...…....….….7定理1（极限的唯一性）3.有关数列收敛的性质矛盾！命题得证。26定理1（极限的唯一性）3.有关数列收敛的性质矛盾定理2

（收敛数列的有界性）

无界数列必发散.注:有界数列不一定收敛.如数列：27定理2（收敛数列的有界性）无界数列必发散.注:有界数列子数列的概念:子数列的表示：28子数列的概念:子数列的表示：10收敛数列与其子数列的关系:定理3证:注:其逆反定理用于证明数列的发散29收敛数列与其子数列的关系:定理3证:注:其逆反问题：

1.若2对于某一正数

如果存在正整数N

使得当nN时

有|

a|

是否有a(n)3如果数列收敛

那么数列一定有界

发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?4数列的子数列如果发散

原数列是否发散?数列的两个子数列收敛

但其极限不同

原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？5

如何判断数列

1

11

1

是发散的？30问题：1.若2对于某一正数如果存在正整数二、例题例1用定义（）证明证明

只须：即取则当时，有所以注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法）

①要使经一系列放大

②解不等式得③取当时，有要使设，构造，放大31二、例题例1用定义（）证明证明只须：例2（记录）用定义证明这样的限制对数列极限的存在是否有影响？由于改变数列的有限项对数列的极限没有影响，所以在选择不等式放大时，可以对n值做一些限定。32例2（记录）用定义证明这样的限制对数列极限的存在是否注:①

发散数列也可能有收敛的子数列．

例3②

证明数列发散时，可采用下列两种方法：I)

找两个极限不相等的子数列；II)

找一个发散的子数列。33注:①发散数列也可能有收敛的子数列．例3②证例4