第2节-空间几何体的表面积和体积课件

第八章

第2节空间几何体的表面积和体积第八章考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////1知识分类落实夯实基础回扣知识1知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.知识梳理1.多面体的表(侧)面积2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝______S圆锥侧＝______S圆台侧＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧3.空间几何体的表面积与体积公式S底h4πR23.空间几何体的表面积与体积公式S底h4πR2第2节-空间几何体的表面积和体积课件诊断自测×1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)×√√解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.诊断自测×1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)×B解析

设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.B解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.1∶473.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥CC5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(

)C5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体6.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，6.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一空间几何体的表面积与侧面积自主演练B考点一空间几何体的表面积与侧面积自主演练BD2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为(

)D2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图C3.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是(

)解析

如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.C3.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的感悟升华空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.感悟升华空间几何体表面积的求法考点二空间几何体的体积多维探究角度1简单几何体的体积【例1】

(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(

)A.158

B.162C.182

D.324B考点二空间几何体的体积多维探究角度1简单几何体的体积A.解析由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.解析由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6第2节-空间几何体的表面积和体积课件感悟升华1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算.第(2)题求解的关键在于两点：(1)圆柱的高恰为圆锥高的一半；(2)圆柱的底面圆的直径恰是四棱锥底面正方形对角线的一半.2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.感悟升华1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公【训练1】

(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.10解析设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，【训练1】(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___角度2不规则几何体的体积【例2】

如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.角度2不规则几何体的体积解析如图，分别过点A，B作EF的直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.感悟升华1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.感悟升华1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时【训练2】

(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

)A解析由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示.由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2，三棱锥P－A′B′C′的高为1，【训练2】(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm考点三多面体与球的切、接问题典例迁移【例3】

(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.解析

由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.2r＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.考点三多面体与球的切、接问题典例迁移【例3】(经典母题)【迁移】

本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解

由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则感悟升华1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.感悟升华1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球【训练3】

(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.解析

当球为圆锥的内切球时，球的半径最大.如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.其中球心为O，设其半径为r，AC＝3，O1C＝1，【训练3】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为AA第2节-空间几何体的表面积和体积课件

“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国Ⅲ卷第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查运用空间几何求解实际问题的能力.空间几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩【典例】

(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.118.8【典例】(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3素养升华

1.题目以“3D打印”技术制作模型为背景考查数学应用，有利于培养学生的创新意识.2.掌握长方体、四棱锥的结构与体积公式是解题的基础，题目突出数学建模，直观想象与数学运算等核心素养.素养升华 1.题目以“3D打印”技术制作模型为背景考查数学应【训练】

(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(

)D【训练】(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A解析

依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.则健身手球的最大直径为4.因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球.解析依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身课后巩固作业提升能力分层训练3课后巩固作业提升能力分层训练3AAD解析

设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.D解析设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，CCC解析

将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球.C解析将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，5.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

)B5.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球C解析如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边△ABC的中心.设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.C解析如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边CCC解析

∵PB2＋PC2＝12＋12＝24＝BC2，∴PB⊥PC，又PA⊥平面PBC，∴PA⊥PB，PA⊥PC，C解析∵PB2＋PC2＝12＋12＝24＝BC2，∴PB⊥解析设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，解析设圆柱内切球的半径为R，10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面A11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.611.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体又设圆锥底面半径为r，高为h，则由轴截面的面积为8，得rh＝8；又设圆锥底面半径为r，高为h，B级能力提升///////13.(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(

) A.64π

B.48π C.36π

D.32πAB级能力提升///////13.(2020·全国Ⅰ卷)已14.已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为________.解析

取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，14.已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5第2节-空间几何体的表面积和体积课件16.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为______.4016.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱THANKS本节内容结束THANKS本节内容结束

第八章

第2节空间几何体的表面积和体积第八章考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式考纲要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////1知识分类落实夯实基础回扣知识1知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.知识梳理1.多面体的表(侧)面积2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝______S圆锥侧＝______S圆台侧＝_________2πrlπrlπ(r1＋r2)l2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧3.空间几何体的表面积与体积公式S底h4πR23.空间几何体的表面积与体积公式S底h4πR2第2节-空间几何体的表面积和体积课件诊断自测×1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)×√√解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.诊断自测×1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)×B解析

设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.B解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.1∶473.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥CC5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(

)C5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体6.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，6.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一空间几何体的表面积与侧面积自主演练B考点一空间几何体的表面积与侧面积自主演练BD2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为(

)D2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图C3.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是(

)解析

如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.C3.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的感悟升华空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.感悟升华空间几何体表面积的求法考点二空间几何体的体积多维探究角度1简单几何体的体积【例1】

(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(

)A.158

B.162C.182

D.324B考点二空间几何体的体积多维探究角度1简单几何体的体积A.解析由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.解析由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6第2节-空间几何体的表面积和体积课件感悟升华1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算.第(2)题求解的关键在于两点：(1)圆柱的高恰为圆锥高的一半；(2)圆柱的底面圆的直径恰是四棱锥底面正方形对角线的一半.2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.感悟升华1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公【训练1】

(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.10解析设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，【训练1】(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___角度2不规则几何体的体积【例2】

如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.角度2不规则几何体的体积解析如图，分别过点A，B作EF的直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.感悟升华1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.感悟升华1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时【训练2】

(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是(

)A解析由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示.由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2，三棱锥P－A′B′C′的高为1，【训练2】(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm考点三多面体与球的切、接问题典例迁移【例3】

(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.解析

由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.2r＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.考点三多面体与球的切、接问题典例迁移【例3】(经典母题)【迁移】

本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？

解

由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则感悟升华1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.感悟升华1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球【训练3】

(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.解析

当球为圆锥的内切球时，球的半径最大.如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.其中球心为O，设其半径为r，AC＝3，O1C＝1，【训练3】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为AA第2节-空间几何体的表面积和体积课件

“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国Ⅲ卷第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查运用空间几何求解实际问题的能力.空间几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩【典例】

(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.118.8【典例】(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3素养升华

1.题目以“3D打印”技术制作模型为背景考查数学应用，有利于培养学生的创新意识.2.掌握长方体、四棱锥的结构与体积公式是解题的基础，题目突出数学建模，直观想象与数学运算等核心素养.素养升华 1.题目以“3D打印”技术制作模型为背景考查数学应【训练】

(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(

)D【训练】(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A解析

依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.则健身手球的最大直径为4.因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球.解析依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身课后巩固作业提升能力分层训练3课后巩固作业提升能力分层训练3AAD解析

设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.D解析设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，CCC解析

将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球