二次函数难题综合

庞圣洁（二次函数难题）一．选择题（共22小题）21.（2015?陕西模拟）已知二次函数y=ax+bx+c（a>0）经过点M（-1,2）和点N（1,-2）,交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：®b=-2；该二次函数图象与y轴交于负半轴；存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上；2④若a=1，则OA?OB=OC.以上说法正确的有（）①②③④B.②③④C.①②④D.①②③2222在B两点（点A、与直线y=x-2交于.2（2013?泰安模拟）如图，抛物线y=x-xA-轴上的某E,再到达x的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点点B）.若使AC.D的自变量x潍坊模拟）若函数的取值范围是全体实数，则y=c的取值.3（2015?）范围是（1BA.eV.c=1C.c>1W.cD2两点，B）交于（）与抛物线y=axa#0A，#天桥区一模）如图，直线.4（2015?y=kx+b（k02的横坐标是-，点B的横坐标是3,则以下结论：且点A20）的图象的顶点一定是原点；工抛物线①y=ax（a20②x>时，直线y=kx+b（x0aH）的函数值都随着的增大而增大；y=ax0kH）与抛物线（5的长度可以等于；③AB△④OAB有可能成为等边三角形；2+kx时，VV当-⑤3x2axV，b其中正确的结论是（）））））））））））.)))))))))个．01个D个B．2个C．A．32,2的方程2x+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为.6(2015?杭州模拟)关于x则下列结论：2抛物线④的方程2x+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；ab<0；③关于x2a+b①<0；②2的顶点在第四象限.+ax+b-2y=2x)其中正确的结论有(个D.4C.3个1A.个B.2个2是第一象限内该二次函数点A-x+1的顶点为P,7.(2015?无锡校级三模)已知抛物线y=轴的垂线，xA,分别过点B、作图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B)PEAB.始终相似A.始终不相似D.无法确定•只有AB=AD时相似C22的图象与坐标轴的公共)x+2-1)x-(3m1(8.(2015?杭州模拟)下列关于函数y=m-点情况：；m=3时，m=3只有两个公共点；③若只有两个公共点，则当①mH3时，有三个公共点；②•④若有三个公共点，则mH3其中描述正确的有()个.C.三个D.四个A.—个B.两个aa,B,且〉)(-1)x-2=m(m0)的两实根分别为x?(9.2011黄石)设一元二次方程(，aB满足(),贝IJVB)))))))))).)))))))))A.1<a<B<2B.1<a<2<BC.a<1<B<2D.a<1且B>2轴的垂线，交)作x、2…、n(i,0)(i=1、.10(2013?盐城模拟)如图，分别过点Px11AtBA2AtBA2B2则的值为（B）的图象于点A，交直线于点ii．D．A．B．2C2，-2ax+l（a<0）图象上三点A（-y）1,（11.2008?西湖区校级模拟）已知二次函数y=aX］）y，则y、、y的大小关系为（，2B（，y）C（4y）32321yVyVyCVV.y<yyB.yy<y.y<yVDVD.yA2ii2ii323233A.M>0B.M<0C．M=0D．M的符号不能确定2,则二次函数的顶点）有最大值，且ac=4（aH0+2x+c13.（2007?包头）已知二次函数y=ax）在（•第四象限C.第三象限D.第二象限A.第一象限B))))))))))．)))))))))is-lD.-B.-2A2aV+2ax+4(0(x,y)均在抛物线y=ax(2010?秀洲区一模)已知点A(x,y),B15.2121),则(x+x=1-a<3)上，若xVx,2211y.y<y>yBA.2121大小不能确定与y=yD.yC.y2211A.1<x<6B.x<1或x>6C.-3<x<1D.x<-3或x>1217•已知关于x的二次函数y=ax+2ax+7a-3在-2WxW5上的函数值始终是正的，则a的取值-丄a>——<a<丄范围()戈.或aC>DA.a.>B.a<013C.2BA.4.219.（2012?下城区校级模拟）关于二次函数y=2x-mx+m-2,以下结论：抛物线交x轴有交点；不论m取何值，抛物线总经过点（1,0）；若m>6,抛物线交x轴于A、B两点，则AB>1；2④抛物线的顶点在y=-2（x-1）图象上•其中正确的序号是（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④2，以该抛物线与坐标轴的），）经过点（c0<y=x（20.2002?湖州）已知抛物线+bx+c（c0）可表示为（三个交点为顶点的三角形面积为S,则S））））））））））.)))))))))(1-c)311422D.C.(b+1.|2+b||b+l|B).c(1-cA)21．(2005?茂名)下列四个函数：®y=kx(k为常数，k>0)@y=kx+b(k,b为常数，k>0)玄y=(k为常数，k>0,x③>0)2)>0y=ax(a为常数，a④)y的值随着x值得增大而减少的是(其中，函数④D.C.③A.①B.②)-m,b是方程(x(x-n)+3,并且a?22.(2013碑林区校级一模)已知函数y=-(x-m))b的大小关系可能是(n=3的两个根，则实数m,,a,(x-n)bVmVnVnD.aVmmVaVn<bC.aVVbbA.m<a<<nB.小题)二.解答题(共8^2+bx+cy=、B两点，抛物线x4如图，直线y=x-与x轴、y轴分别交于A(23.2014?本溪)BC.x轴的另一个交点为C,连接A经过、B两点，与C的坐标；求抛物线的解析式及点的坐标；CBO=45。时，求点M2)点M在抛物线上，连接MB,当ZMBA+Z(B沿线段BC由QA运动，同时点从点B出发，沿线段(3)点P从点C出发，CA由C向同时停止、QQ点到达C点时，P个单位长度，当向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1Q、、D、PC运动，试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻，以的坐标；若不存在，说明理由.为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D24.(2014?黔南州)如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0,3).(1)求此抛物线的解析式；))))))))))．)))))))))过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴1与OC有怎样的位置关系，并给出证明；已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面42，)1,0,0),B(-2014?遵义)如图，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A(325.(,AB点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿P，Q同时从A与y轴交于点C.若点边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.AC的坐标；求该二次函数的解析式及点C(1，EA,x轴上是否存在点E，使得以运动到(2)当点PB点时，点Q停止运动，这时，在点坐标；若不存在，请说明理由•为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出EQ点处，请判定恰好2,Cy轴交于点两点，与x轴交于A、B.26(2014?兰州)如图，抛物线y=x-+mx+n与)•(0,2,D轴于点，已知A(-1,0)C抛物线的对称轴交x1)求抛物线的表达式；(为腰的等腰三角形？如果存在，CDAPCD是以在抛物线的对称轴上是否存在点(2)P,使点的坐标；如果不存在，请说明理由；直接写出P运EFx轴的垂线与抛物线相交于点，当点EE(3)点是线段BC上的一个动点，过点作点的的最大面积及此时CDBFE动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形坐标.)))))))))).)))))))))

x〃OC在坐标轴的正半轴上，BCOA2014?义乌市)如图，直角梯形ABCO的两边,27.(三点•B,COA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,轴，)求该抛物线的函数解析式；(1•的一边上取点PG,它与x轴交于点，在梯形ABCO(2)已知直线1的解析式为y=x+m,Hl于点P作PH丄直线的交点，过点①当m=0时，如图1,点P是抛物线对称轴与BC的面积；△OPH连结OP,试求，是否存在这样的点PE,F.P分别作x轴、直线1的垂线，垂足为点②当m=-3时,过点的坐标；若不存在,请说为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求出点PE,F使以P,明理2,(6,0)、BA2015.(?黄冈模拟)已知：如图，抛物线y=ax+bx+2与x轴的交点是(328•C),与y轴的交点是0)求抛物线的函数表达式；(1Q.〃y轴交直线BC于点作V(x2()设P(,y)0Vx6)是抛物线上的动点，过点PPQ的长度取得最大值，其最大值是多少？当x取何值时，线段PQ①的坐标；若不存在，为直角三角形？若存在，求出点P,使②是否存在这样的点PAOAQ请说明理由．))))))))))．)))))))))

i坐标；，请直接出点C1)直线AB总经过一个定点C(2；的面积等于5卩，使厶ABP(2)当k=-时，在直线AB下方的抛物线上求点AB的最大距离.°,求点D到直线D(3)若在抛物线上存在定点使ZADB=9022点，BD两点，并经过x+bx+c的图象交x轴于A?30.(2014六盘水)如图，二次函数、y=6).,B点的坐标是(8,)已知A点坐标是(2,01)求二次函数的解析式.(D点的坐标.(2)求函数图象的顶点坐标及，BDE点，连接BC轴于C点•连接BC，并延长交抛物线于x(3)该二次函数的对称轴交ABDE的面积.，求DE殳？若存，是否存在ADPSS=DP(4)抛物线上有一)))))))))).))))))))))))))))))221庞圣洁(二次函数难题)参考答案与试题解析一．选择题(共22小题)2，IN((-1,2)和点陕西模拟)已知二次函数y=ax+bx+c(a>0)经过点M(1.2015?•贝I」：轴于C,B两点，交y-2),交x轴于A；-2©b=轴交于负半轴；该二次函数图象与y②C三点在同一条直线上；M、A、存在这样一个③a,使得2•，则OA?OB=OC④若a=1)以上说法正确的有(①②③①②④D,.①②③④B.②③④CA二次函数综合题【考点】压轴题；数形结合【专题】2，因而将，-12)1,2)和点N(y=ax【分析】①二次函数+bx+c(a>0)经过点M(-解得b值•、N两点坐标代入即可消去a、cM的1时，二次函数图象在直线MN比较，可知当-1VxV根据图象的特点及与直线②MN下方.同②理.③的值.通时，可得到OCOA?OB的值，当x=0④当y=0时利用根与系数的关系，可得到c建立等量关系求证•过2，1，-2)1)经过点M(-，2点M(-，2)和点N(+bx+c【解答】解：①：•二次函数y=ax(a>02=a-b+c-2=a4-b+c解得b=-2．故该选项正确20>ay=ax+bx+c,②方法一：：•二次函数二该二次函数图象开口向上，，-2)2)和点N(11“J?(-1)]•.•点M(-,,2=.・.直线MN的解析式为y-即y=-2x,根据抛物线的图象的特点必然是当-1<x<1时，二次函数图象在y=-2x的下方，.该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=-2,a+c=0,即c=-a<0,所以二次函数图象与y轴交于负半轴.故该选项正确.③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上.故该选项错误.)))))))))).)))))))))2x-y=x-1,.°.该抛物线的解析式为-④当a=1时，c=2=c,x?x当y=0时，0=x-2x+c，利用根与系数的关系可得21OB=|c|，即OA?2OC=|c|=1=OC,x=0时，y=c，即当2OB=OC,,则OA?若a=1故该选项正确.①②④正确•总上所述C.故选一本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线3的图象性质及特点【点评】元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定.2在两点（点A-2交于A、.（2013?泰安模拟）如图，抛物线y=x-xB-与直线y=x2轴上的某x,a/29V295523..CAD.B【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.2【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物°x=的对称点A，作点B关于x轴的对称点B',连接A线的对称轴'B',则直线AB'与直2线丘乂=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得AB'即是所求的长度.2【解答】解：如图①①131两点，交于A、B°.°抛物线y=x-x-与直线y=x-2222x-=x-2x.°.戈解得：x=1x=1或,1-,y=x当x=1时，-2=殳殳y=x--2=，时，当x=））））））））））.）））））））））丄322_1,-）,点B的坐标为（1,-.点A1的坐标为（），2X141=-•••抛物线对称轴方程为：x=°乂=的对称点A',作点B关于关于抛物线的对称轴x轴的对称点B',作点A连接AB',4x=）的交点是E,与x轴的交点是'B'与对称轴（直线F,则直线A.・.BF=B‘F,AE=A‘E,•••点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A‘E+EF+FB'=A‘B‘，21135TOC\o"1-5"\h\z延长BB‘，AA相交于C,4V29V29=,C=l+=1,B/zC=++(1-).：A2C+BC=.='bz:.A2运动的总路径的长为P:点./•A故选【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用•注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用．葢-2冬-2s+c丫=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值.3（2015?潍坊模拟）若函数范围是（）A.cV1B.c=1C.c>1D.cW1【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．【专题】计算题；压轴题．22+bx+cy=axH0,再根据二次函数2x+c【分析】先根据分式的意义，分母不等于0,得出x-的取值范0,此时自变量x^,<0时，有y>aa（#0）的图象性质，可知当二次项系数〉0围是全体实数•2，4c<0-=【解答】解：由题意，得△（-2）1.>解得c•故选C））））））））））.）））））））））【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法.要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0•难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△<0.2两点，B）交于A,y=ax（a#0.（2015?天桥区一模）如图，直线y=kx+b（k#0）与抛物线4,则以下结论：的横坐标是3A的横坐标是-2,点B且点20）的图象的顶点一定是原点；抛物线y=ax（a#①2x的增大而增大；a#0）的函数值都随着#0时，直线y=kx+b（k0）与抛物线y=ax（②x>5；③AB的长度可以等于OAB有可能成为等边三角形；④△?，ax时，+kx<b⑤当A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【考点】二次函数综合题.【专题】综合题；压轴题.【分析】①由顶点坐标公式判断即可；根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=-kx+b与抛物线交点横坐标分别为-3与2,找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可.2【解答】解：①抛物线y=ax，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为(0,0),本选项正确；2②根据图象得：直线y=kx+b(kf0)为增函数；抛物线y=ax(a^0)当x>0时为增函数，则x>0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；由A、B横坐标分别为-2,3,若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k主0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；若0A=0B，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知kf0矛盾，・・・0A主0B，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为-3,2,22由图象可得：当一3<x<2时，axv-kx+b，即ax+kxvb,则正确的结论有①②⑤.故选B.)))))))))).)))))))))【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键.A.3个B.2个C.1个D.0个【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】计算题；压轴题.【分析】根据图象得到x=-2时对应的函数值小于0,得到N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b-c的符号.【解答】解：•••图象开口向下，•••aVO,•••对称轴在y轴左侧，a，b同号，aV0，bV0，•.•图象经过y轴正半轴，.•.c>0,M=a+b-cV0当x=-2时，y=4a-2b+cV0，.•N=4a-2b+cV0，2a•.•->-1,2aVI,.Va<0，b>2a，2a-bV0，P=2a-bV0，则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P.故选：A.【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c的符号是解题关键.2,22x+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为杭州模拟）关于6.（2015?x的方程则下列结论：2抛物线+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④2x3ab0；②<0；关于x的方程《①2a+b?的顶点在第四象限.-y=2x+ax+b2））））））））））.）））））））））其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=-8,判定①正确；利用根与系数的关系2求出a<-8,b>8,从而判定②正确；根据二次函数y=2x+ax+b与x轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位，与x轴不一定有交点，判定③错误，向下平移2个单位，顶点一定在第四象限，判定④正确.2【解答】解：°.°X=2是方程2x+ax+b=0的根，.•2X4+2a+b=0,.°.2a+b=-8<0,故①正确；b过2+ax+b=0的两个根中较小的根，°.°x=2是方程2x戈戈2,>2•->2+2X,8,,b>.a<-8②正确；<0,故...ab?,+ax+b=02x有两个不相等的实数根，且较小的根为2：•方程2的右边，

x轴有两个交点，且对称轴在直线x=2.•.二次函数y=2x+ax+b与2顶点坐标在第四象限，•：二次函数y=2x+ax+b2轴不一定有交点,+ax+b+2,与x向上平移2个单位得到二次函数y=2x2错误；有两个不相等的实数根错误，故③关于x的方程2x+ax+b+2=02正确；，顶点坐标一定在第四象限，故④个单位得到二次函数y=2x+ax+b-2向下平移2个.共3综上所述，正确的结论有①②④•故选C根本题考查了二次函数图象与系数的关系，【点评】主要利用了一元二次方程的根的定义，两题考虑用二次函数的平移求解是解题的与系数的关系，二次函数图象与几何变换，③④关键.2是第一象限内该二次函数AP,点已知抛物线?无锡校级三模）y=-x+l的顶点为7.（2015轴的垂线，A作x轴的平行线交二次函数图象于点xB,分别过点B、图象上一点，过点A作）△A.始终不相似B.始终相似C.只有AB=AD时相似D.无法确定【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题.【分析】先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m,表示出AD,再表示出OD、OF、PF、AF,然后根据APEF和厶PDO相似，根据相似三角形对应边成比例））））））））））.）））））））））PAPEPDPA2=，从而得到，再根据两边对应PA、PE、PD列式求出EF,然后利用勾股定理表示出成比例且夹角相等，两三角形相似解答.y=l【解答】解：令x=0,则OP=1,.・.，设点A的横坐标为m2AD=-m+1,贝I」轴，AD丄x轴，TAB丄y222+1）=m,+1AF=OD=m,OF=-m,PF=1-（-m.°.22224222+m=m,+m中，PA=PF+AF=（m）在RtAPAF；1+皿；1+卬；。卩RtPFPEPE,艮卩2〔']+卬2△POD中，，PD===在由AB〃x轴得，PE,艮卩2〔']+卬2PAPEPE=m解得，422.PA=PD?PE=m+m,"=,.WZAPE=ZDPA,.•.△PADs&EA,即，APAD与APEA始终相似.故选B.【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键.22的图象与坐标轴的公共）x+2x-（3m-l（2015?杭州模拟）下列关于函数y=（m-1）8.点情况：:m=3只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3当mH3时，有三个公共点；②时，①•若有三个公共点，则mH3④）个•其中描述正确的有（•四个C.三个DA.—个B.两个轴的交点【考点】抛物线与x【专题】压轴题.22，得出判别式的表达式，然后根据）x+2=0-（）x3m-1令【分析】y=0，可得出（m-1的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考的取值进行判断，另外要注意mm虑一次函数的情况•22，1）x+2=0-（，可得出（m-1）x3m-解：令【解答】y=0222）3m-】△=（，m-3））（-8m-1=（时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；±Hm3,m=1当①））））））））））.）））））））））当m=3时，4=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；若只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；若有三个公共点，则mH3且mH±1,故正确；综上可得只有②④正确，共2个.故选B.【点评】此题考查了抛物线与x轴交点的知识，同学们容易忽略m=±1时，函数是一次函数的情况，这是我们要注意的地方.9.（2011?黄石）设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m>0）的两实根分别为a,B，且a<B,则a,B满足（）A.1VaVB<2B.1<a<2OC.aV1<B<2D.aV1且B>2【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系.【专题】压轴题；数形结合.【分析】先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出a,B的取值范围.【解答】解：令m=0，则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1,0）,（2,0）,故此函数的图象为：Vm>0,原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（X【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（X-1）（x-2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键.轴的垂线，交）作x…2、ni=l,P（10.2013?盐城模拟）如图，分别过点（i0）（、】•则的值为（A的图象于点于点，交直线B）丘））））））））））.)))))))))22nCn+1）n+1n-FlD2C..A.B.二次函数综合题【考点】压轴题；规律型【专题】分别表示出所求式子的各的长，AB根据A的纵坐标与B纵坐标的绝对值之和为【分析】iiii项，拆项后抵消即可得到结11112果.2；2戈2，x(Bx+1=x-(-x))A-B■=【解答】解：根据题意得：AiikCk+1)x+1X11111111n+13n22n+1__(]+_...)=-),..=2=,(A]E]躬总2AnBn二.+.•+••・++=2+A故选【点评】此题考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键.2,）1,yV0）图象上三点A（-y=ax11.（2008?西湖区校级模拟）已知二次函数-2ax+1（a1）、y、y的大小关系为（y（2，y）C（4，y），则B32132yy.VyVC.y<y<yDyBVA.yy<y•y<y<223323121131二次函数图象上点的坐标特征.【考点】压轴题；推理填空题【专题】关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方A【分析】求出抛物线的对称轴，求出向和增减-2a性，即可求出答案.2，<0【解答】解：y=ax-2ax+l（a'，-=1对称轴是直线x=，即二次函数的开口向下，对称轴是直线x=1的增大而减小，y随x即在对称轴的右侧，y）的对称点是D（3,A点关于直线x=114,2<3<V，y>y>Ay321•故选D主要考查学生的观本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用【点评】察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目.2-M=|4a的图象如图所示，令-2b+c|+|a+b+c|乐山）已知二次函数.12（2008?y=ax+bx+c）|2a+b|+|2a-b|,贝ij（））））））））））.）））））））））0MV>0B.A.MM的符号不能确定.M=0D.C【考点】二次函数图象与系数的关系.【专题】压轴题.M中的各代数式的符号，然后去绝对值【分析】根据图象特征，首先判断出0;解：因为开口向下，故a<【解答】0；-2b+c>2时，y>0,则4a当x=-；a+b+cV0V当x=1__b__b_时，y0,贝ij2a；2a+bV0，则b<0，故因为对称轴为0x=V，又a<0禹2a>，贝ijbl又因为对称轴x=>--；<0.°.2a-b，-b-c+2a+b+b-2a=3a2b+c.°.M=4a--a-b0，0，a<b因为2a-<0，0,即M<.3a-b<B.故选2+bx+c系数符号的确定.【点评】考查二次函数y=ax2,则二次函数的顶点0）有最大值，且ac=4包头）已知二次函数y=ax+2x+c（a#13.（2007?）在（D.第四象限.第一象限B.第二象限C.第三象限A【考点】二次函数的性质.压轴题【专题】2.求<）有最大值，即抛物线的开口向下，因而a0y=ax【分析】已知二次函数+2x+c（a#4ac-b_b02a2,对称轴是）抛物线的顶点坐标利用公式法：y=ax+bx+c的顶点坐标为（，b4ac-b16-4123———2ax=；代入就可以求出顶点坐标，从而确定顶点所在象限.翕対_4a_a__b_y=；【解答】解：顶点横坐标％=，纵坐标==0,a：•二次函数有最大值，即抛物线的开口向下，<））））））））））.）））））））））-<0-->0aa0,顶点在第四象限•，纵坐标y.<,,即：横坐标x>0D.故选【点评】考查求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法：2•-•-1BD.-AC.-轴的交点；勾股定理【考点】抛物线与x压轴题【专题】由勾股定理，及根与系数的关系可得.【分析】2•x与x【解答】解：设ax+bx+c=O的两根分别为21222•AQ+BQ=AB依题意有222，x))+4=(x-(x-n)+4+(x-n22112•x=0(x+x)+4+xbc化简得：n-n2112日a2+,n+4+=0有n2+bn+c=-4a..°.ann,2)是图象上的一点，V(2+bn+c=2,1.an4a=2,.・.-£-.•』=•B.故选【点评】此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想.2ay)均在抛物线y=ax+2ax+4(0<((2010?秀洲区一模)已知点Ax，y)，B(x，15.2112)a，则(+x<3)上，若x<x，x=1-2121y.y<yA.y>B2211与y大小不能确定C.y=yD.y2121【考点】二次函数图象上点的坐标特征.【专题】压轴题.22+4中得a<3)y=ax+2ax+2ax+4x，【分析】将点A(xy)，B(，y)分别代入y=ax(0<12111212>yy.-+2ax①；y=ax+4----②；利用作差法求出yy>0,即可得到22212212(0<a<3)中，得：)分别代入，，，A【解答】解：将点(xy)B(xyy=ax+2ax+421122①，+2axy=ax+41112+2axy=ax+4②，222-②①得：)))))))))).)))))))))y-y=(x-x)[a(3-a)]，1122因为x<x，3-a>0，21则y-y>0，12即y<y.21故选B.点评】本题难度较大，要充分利用数据特点，进行计算.A.1<x<6B.x<1或x>6C.-3<x<1D.x<-3或x>1【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.【专题】压轴题；数形结合.【分析】根据函数图象，找出抛物线在直线上方的部分的自变量x的取值范围即可.【解答】解：由图可知，当x<1或x>6时，抛物线在直线的上方，所以，当y>y时，x的取值范围是x<1或x>6.21故选B.【点评】本题考查了二次函数的图象，利用数形结合的思想解答即可，比较简单.2的取a5上的函数值始终是正的，则在-2WxW17•已知关于x的二次函数y=ax+2ax+7a-3)—<a<———a>—值范围(•D.a.<0或a>A.aC>B【考点】二次函数的性质.【专题】压轴题.【分析】按照a>0和aVO两种情况讨论：当a>0时，图象开口向上，只要顶点纵坐标为正即可；当aVO时，抛物线对称轴为x=-l,根据对称性，只要x=5时，y>0即4a（7a_3）_4a2可.2时，图象开口向上，顶点纵坐标为=6a-3解：当a>0，当【解答】；>，即3>0a0>时，y-6ay=25a+10a+7ay时，>0即可，此时根据对称性，x=V当a0时，抛物线对称轴为-1,只要丄x=5>，不符合题意，舍去•>-30,解得a故选A.【点评】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想.））））））））））.）））））））））A.4B.3C.2D.1【考点】二次函数的性质.【专题】计算题；压轴题.【分析】解：通过计算发现，当O与C重合时，S=2，据此推断出以AB为底边的三abc△角形的高，从图上找到点C、C,再作CC〃AB，使得C与C到AB的距离相等，若求3213出C的坐标，则存在C点，使得以AB为底的三角形面积为2.3=X2X2=2，解：•.•【解答】SABC^可见，当O与C重合时，S=2，aBC△作CD丄AB，VAO=BO=2，可见，AACB为等腰直角三角形，2Fl=.XCD=2Xcos45°=2'辽距离为的点有C、C、C，由图易得，到AB21作CC〃AB,3则CC的解析式为y=-X,32将y=-x和y=x组成方程组得，•尸，p=-1/K=0，，解得，则C坐标为（-1,1）,3可见，有四个点，使得S=2.ABC△故选A.））））））））））．)))))))))知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形本题考查了二次函数的性质【点评】面积相等是解题的关键.2-2,以下结论：？下城区校级模拟）关于二次函数y=2x-mx+m19.（2012抛物线交x轴有交点；①）；m不论取何值，抛物线总经过点（1,0②1；、B两点，则AB>③若m>6,抛物线交x轴于A2））图象上•其中正确的序号是（-④抛物线的顶点在y=-2（x1②③④•①②④D.A•①②③④B.①②③C轴的交点；二次函数的性质【考点】抛物线与x计算题；压轴题【专题】ca，b及a【分析】由二次函数的解析式，找出二次项系数，一次项系数b及常数项c,将22-，利用完全平方公式化简后，根据完全平方式恒大于等于0,可得出b的值代入b-4ac代入抛物线解析式，①正确；将x=1大于等于0,进而确定出该抛物线与x轴有交点，故4acx正确；令抛物线解析式中y=0，得到关于，可得出此抛物线恒过（1,0）,故②求出y=0,,xxx,x,利用根与系数的关系表示出x+x的一元二次方程，设方程的两个解分别为212121'F，变形后，再利用完全平方公表示，利用二次根式的化简根式的长可以用|x-x|=|a|AB2i，故1,可得出AB的长大于x代入，化简后根据m大于6x式化简，将表示出的+x及x22112中经验，可得）-1y=-2（x③正确；利用顶点坐标公式表示出抛物线的顶点坐标，代入2正确，综上，得到正确的序号.图象上，故④x-1）y=出抛物线的顶点在-2（22,-解：二次函数y=2xmx+m-【解答】2,m,c=m-Va=2,b=-222,）20）=（m-4-4ac=.°.b-（-m）-8（m2正确；x轴有交点，故①则抛物线与，-2=0x=1时，y=2-m+m：•当②正确；，0）,故1.•.不论m取何值，ID2抛物线总经过点（，，0）,x,0）B（x设A的坐标为（2122=0,mx+m,得到2x--y=0令'戈=,+x.x,=XX2U2））））））））））.）））））））））m-4=||,-x|==.°.AB=|x2i2>1,>6时，可得m-4>2，即当m正确；，故③AB.°.>116-m2jrSm_16-m2云rrjrs4),,•••抛物线的顶点坐标为(316戈°°2=,)--1)=-2+1.°.将(x=代入得：y=-2(2.°.抛物线的顶点坐标在y=-2(x-1)图象上，故④正确，综上，正确的序号有①②③④.故选A【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法，根与系数的关系，顶点坐标公式，以及判断一个点是否在抛物线上，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.2，以该抛物线与坐标轴的0))经过点(c,湖州)已知抛物线y=x+bx+c(c<020.(2002?)S(lF'11可表示为(三个交点为顶点的三角形面积为S,贝I」-'2D.C.(b+1)|2+b||b+l|.B.c(1-c)A【考点】抛物线与x轴的交点.【专题】压轴题.【分析】把点(c,0)代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别2为X、X,则X、x满足x+bx+c=0,根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x-x|,212112那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积.2【解答】解：•.•抛物线y=x+bx+c(c<0)经过点(c,0),2.c+bc+c=0，.c(c+b+1)=0，Vc<0,.c=-b-1，2设x,x是一元二次方程x+bx+c=0的两根,21.x+x=-b,x?x=c=-b-1,2112.抛物线与x轴的交点间的距离为|x-i「5%)2"4x1^24+2)2'卅-4〔-b-1)r~2-==|2+b||=,=x=22.可表示为|2+b||b+l|S故选A.【点评】此题考查了点与函数的关系，还考查了二次函数与一元二次方程的关系，要注意根与系数的关系，此题考查了学生的分析能力,属于难度较大的题目.)))))))))).)))))))))21.(2005?茂名)下列四个函数®y=kx(k为常数，k>0)k@y=kx+b(k,b为常数，k>0)’y=(k为常数，k>0,x>0)③20)为常数，a>④y=ax(a)x值得增大而减少的是(其中，函数y的值随着④D..②C.③①A.B二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质【考点】压轴题【专题】充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐【分析】一判断.增大而增大，错误；y随着x为常数,k>0)，正比例函数，故【解答】解：①y=kx(k增大而增大，错误；y随着xk>0)，一次k函数，故②y=kx+b(k，b为常数，尤y=(k为常数，k>0)，反比例函数，在每个象限里，y③随x的增大而减小，正确；2的增大而增大；而在对称轴左xy随着为常数，a>0)当图象在对称轴右侧，@y=ax(a的增大而减小，错误•随着x侧，y•故选C,本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性(单调性【点评】是一道难度中等的题目.)-mxa，b是方程()(x-n)+3，并且-(22.(2013?碑林区校级一模)已知函数y=x-m)，b的大小关系可能是()=3的两个根，则实数m，n，a(x-nbnVVmVVbVnD.aBn.mVaVnVbC.aVm.AmVaVbVx轴的交点【考点】抛物线与计算题；压轴题【专题】轴交点的横坐标为xb,即为抛物线与【分析】令抛物线解析式中y=0,得到方程的解为a,,即可0与n时函数值大于y大于0,得到x=mba,,再由抛物线开口向下得到aVxVb时的大小关系.，bm,n,a确定出，)+3(x-nx【解答】解：函数y=-(-m)b,=3的两个根为a,-xm)(x-n)令y=0,根据题意得到方程(0,时，y=3>x=mT当或n.nVbb，的大小关系为a<mV.：实数m,n,a•故选D轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键.【点评】此题考查了抛物线与x2小题)二.解答题(共8=2+bx+cx两点，抛物线『=轴、与xy轴分别交于A、B-本溪).23(2014?如图，直线y=x4连接BC两点，与、Bx轴的另一个交点为C经过AC的坐标；(1)求抛物线的解析式及点M的坐标；。，当ZMBMBA+ZCBO=45时，求点在抛物线上，连接)点(2M))))))))))．)))))))))(3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理【考点】二次函数综合题；菱形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标；（2）满足条件的点M有两种情形，需要分类讨论：当BM丄BC时，如答图2-1所示；当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示.（3）ACPQ的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：若以CQ为菱形对角线，如答图3-1.此时BQ=t，菱形边长=t；若以PQ为菱形对角线，如答图3-2•此时BQ=t，菱形边长=t；若以CP为菱形对角线，如答图3-3.此时BQ=t，菱形边长=5-t.【解答】解：（1）直线解析式y=x-4,令x=0,得y=-4；令y=0，得x=4.TOC\o"1-5"\h\z.•.A（4，0）、B（0，-4）.3■y+4b+c=0|b=-|2+bx+c在抛物线上，y=xT点A、总匕二一^.，lc=-4解得，乓乓222y=x-x.抛物线解析式为：-4.32-x4=0，令y=x-，或解得：x=-3x=4））））））））））.）））））））））.C（-3，0）．(2)ZMBA+ZCBO=45°,设M(x，y)，①当BM丄BC时，如答图2-1所示.VZABO=45°,.\ZMBA+ZCBO=45°，故点M满足条件.4TOC\o"1-5"\h\z过点M作ME丄y轴于点E,贝ME=x,OE=-y,m二BE=4+y.3i43BCO=,BE=tanZVtanZM^^3A,°卫丄丄丄2』y=x-4A直线BM的解析式为：.i°'24,x-联立xy=x-4与-y='3°2,-得：x13252513②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示.VZABO=ZMBA+ZMBO=45°,ZMBO=ZCBO,AZMBA+ZCBO=45°,故点M满足条件．过点M作ME丄y轴于点E,22则ME=x,OE=y,2ABE=4+y.))))))))))．)))))))))3s___3JCBO=,ZtanMBE=tanZT24+yA,垃y=x-的解析式为：4.A直线BM2彳彳彳彳3224-,4=x-xy=x-4与y=x-x-4-得:8882523联立x=5,解得：x=0,x21彳-4,y,==Ay21'M(5.,)A?'°),-)或(综上344所述，满足条件的点M的坐标为：5(.,乓乓飞

,cose.,则（3）设ZBCO=0tan6==,sin6=,设菱形的对角线交于点E,设运动时间为t.假11TOC\o"1-5"\h\z设存在满足条件的点D•，菱形边长=t.此时①若以CQ为菱形对角线，如答图3-lBQ=t^2）\o"CurrentDocument"2'I3CE30.•.CE=.CQ=（5-tt5CP=,=PCE中，cos0=△在Rt】lt=解得，口t=-2413CQ=5•过点Q作QF丄x轴于点F,1111152415=,0cos，则QF=CQ?sin0=CF=CQ?HCF=.-.OF=311口）（-,-.Q.T点D与4024点Q横坐标相差t个单位，JI11,-）；.D（-1））））））））））.)))))))))5=t.2•此时BQ=t,菱形边长PQ②若以为菱形对角线，如答图3-BQ=CQ=t,：•龙BC中点，3t=，点Q.•.为殳）•（-,-2.Qt个单位，与点Q横坐标相差••点D2）；1,-2.D（2.t,1—t23CE菱形边长=5-为菱形对角线，如答图3-3.此时BQ=t③若以Cp'—t5CQ，中，cos0===30戛型型星丄在RtACEQnt=解得.11111152t=）X-=..・.OE=3-0,DE=QE=CQ?sin=（5CE=320IS20-Jill.D,（-）.3丄1111111）（-.或（1,-2）点综上所述，存在满足条件的点D,D坐标为：，（-,）-或考查了二次函数的图象本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想,【点评】、菱形、一次函数、解方程等知识点,难度较大.第（3与性质、解直角三角形（或相似）做到注意按照菱形对角线进行分类讨论,问为存在型与运动型的综合问题,涉及两个动点,条理清晰、不重不漏.A轴于）的抛物线交y12014?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-24.（）•点坐标为（0,3,已知B轴于，C两点（点B在点C的左侧）A点，交x1）求此抛物线的解析式;（相切，BD,如果以点C为圆心的圆与直线B2）过点作线段AB的垂线交抛物线于点D（有怎样的位置关系，并给出证明；与。C请判断抛物线的对称轴1运动到什么位P两点之间，问:当点A，C是抛物线上的一个动点，且位于（3）已知点PPAC的最大面积•点的坐标和△置时，PAC的面积最大？并求出此时PA））））））））））.）））））））））【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．点坐标代）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A【分析】（1入其中，即可求出此二次函数的解析式;、的坐标，分别求出直线AB的解析式及B、C（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴1CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；、CE的解析式，再求出BD点的坐标，的解析式，可设出PQ；易求得直线AC）过P作y轴的平行线，交AC于（3的长；然后根据三角形面积的计算方法，可的纵坐标，也就得出了PQP、Q进而可表示出PAC△的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出得出关于厶PAC点坐标•的最大面积及对应的P2，-1y=a（x-44解【解答（1）设抛物线为，3）（：•抛物线经过点A0，2，4）-1;.・.3=a（0-4〕2-1=4k2-2i+3；.•.抛物线为（k_4）*-1=0）相交.（2BD,,则证明：连接CECE丄°=6.x=2，x当时，21，0）C，0），（6，A（0，3）B（2，对称轴x=4^^"<'+32,,OB=2，AB=BC=4=.，丄BDV132TOC\o"1-5"\h\z•AB°，ZOBA+ZEBC=90OBA=90.\ZOAB+Z°BEC，A^AOB^^4CEA3OB2皿ECCE，=ce=，即=，解得，V2>C相交•故抛物线的对称轴1与。Q；ACP）如图，过点作平行于y轴的直线交于点3（））））））））））.）））））））））-rm2-2nrb3__的解析式为；可求出AC°）,,设P点的坐标为（m'）则Q点的坐标为』丄丄丄（m；，21^4

22327-m+m.m-2m+3)PQ=.：=-m+3-(24226)XX(-m+VS=S+Sm=PCQ^PAC^^PAQ42T3【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识.42,1,0,0）,B（-?•（2014遵义）如图，二次函数轴交于y=x+bx+c的图象与xA（325,AB1个单位长度的速度分别沿，Q同时从A点出发，都以每秒y与轴交于点C.若点P边运动，其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.ACC的坐标；（1）求该二次函数的解析式及点,E,使得以A,x运动到B点时，点Q停止运动，这时，在轴上是否存在点E2（）当点P点坐标；若不存在，请说明理由•为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出EQ点处，请判定D翻折，点A恰好落在抛物线上沿tP）当，Q运动到秒时，△APQPQ3（D点坐标.APDQ此时四边形的形状，并求出））））））））））.)))))))))

4二次函数综合题【考点】代数几何综合题；压轴题【专题】金2坐，进而可求解析式及C+bx+C中，求得b、【分析】1）将A，B点坐标代入函数cy=x标.EAE=AQ•借助垂直平分线，画圆易得AE=EQ，AQ=EQ，（2）等腰三角形有三种情况，坐标.•表示其他边后利用勾股定理易得大致位置，设边长为xE对称，则DAPQ运动时都为等腰三角形，又由A、（3）注意到P，Q运动速度相同，则△，易得四边形四边都相等，即菱形•利用菱形对边平行且相等等性质可用4AQ=DQAP=DP,Dt,进而可表示•表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求2，0=^p94-3b+c0七订_b+c（-1,0）（+bx+c的图象与x轴交于A3,0）,B解【解答（1）T二次函数y=x，)))))))))).)))))))))VA(3，0)，B(-1，0)，C(0，-4)，O(0，0)，.•.AB=4,OA=3,OC=4,;'/+牡AC==5,.T当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4,.AQ=4．QD__AQ•QD〃OC,“上…QDADJ••JAD=..QD=，①作AQ的垂直平分线，交AO于E,此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形,1222AE=|-x|,AE=x,则EQ=x,DE=AD-设355222x==x（）,解得）-xEDQ.°.在Rt2卫丄△中，+（-AE=3-,=-.OA.E（-）0,,xE说明点在轴的负半轴上；长半1224径画圆，交为圆心，以②QAQx,,此时轴于EQE=QA=45-?ED=AD=,5AE=,二））））））））））.,,,,,,,,,249T59-,=-.OA-AE=35E.（-,0）.③当AE=AQ=4时,1.当E在A点左边时TOA-AE=3-4=-1.•.E（-1,0）.2•当E在A点右边时，•.•OA+AE=3+4=7,29.•.E（7,0）.）或（-,0）或（-1,0综上所述，存在满足条件的点E,点E,的坐标为（-0）或（7,0）.S1&\*AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,.AP=AQ=QD=DP,四边形AQDP为菱形，AF.JQ._AQFQ=AF=,)))))))))(.•.Q3•.•DQ=AP=t,FQ=AF=,)))))))))(.•.Q3•.•DQ=AP=t,,-),3(t--D.))))))))))•.•FQ〃OC,忆833884814524上，x-x°.°D在二次函数-y=°55352,）-t）-（34.°.--=（3t-&°,.°.At=重合，舍去），或t=0（与㊁,-•（-.D【点评】本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识,总体来说题意复杂但解答内容都很基础,是一道值得练习的题目.22,C两点，与y轴交于点x+mx+n与轴交于A、26.(2014?兰州)如图，抛物线y=B-x•,2)),C(0(-抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A1,0)求抛物线的表达式；(1为腰的等腰三角形？如果存在，CDPCD是以在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△◎)点的坐标；如果不存在，请说明理由；直接写出P运EF,当点E作x轴的垂线与抛物线相交于点(3)点E是线【考点】二次函数综合题.【专题】代数几何综合题；压轴题.【分析(1)由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；(2)由(1)的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1,以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P,P,作CE垂32直于对称2轴与点E,由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；2,-a+2)a点的坐标为(，就可以表示出F的坐标，由(3)先求出BC的解析式，设出E四边形CDBF的面积=S+S+S求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可befacefabcd△以求出结论.2C(0201A+mx+ny=1解：【解答】()V抛物线-x经过(-,)))))))))).)))))))))31空丄，解得：戈戈2x+2-x；A抛物线的解析式为：y=+戈龙2513332xx+2,(2)°.°y=+-*222-)/.y=+-(x,殳x=.°.抛物线的对称轴是.戈OD=.°..),50,2VC(OC=2..OCD中，由勾股定理，得在Rt△殳CD=.为腰的等腰三角形，CDP3是以CDVA.=DP=DP=CD.CP3i2，x对称轴于M作CM丄,.MP=MD=2X.DP=4.x2235331222；p,-(4),P(),),.・.P(,3i2222x+2-x+(3)当y=0时，0==4,1,x=.°.x-2i•)4,0.B(，由图象，得BC的解析式为y=kx+bk二-斗2=b22』2丄设直线二业松，lb二戈，解得：三直线BC的解析式为：y=x+2p£龙2,)丄丄』2(a，-a+2+aFEEFC如图2,过点作CM丄于M,设(a，-a+2),殳戈戈222•)WW(=a+2EF=..-a+a+2-(-)-a+2a0a4)))))))))).)))))))))111222丄X-X2-丄丄2CM+EF?BNOC+EF?,°.°S=S+S+S=BD?bef^cefabcdcdbf四边开工衣戈龙龙戈22，(-513a+2a)-+(4a)=)+a(-a+2a戈2=-a+4a+(0WaW4).戈13【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．27.(2014?义乌市)如图，直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上，BC〃x轴,OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.求该抛物线的函数解析式；已知直线1的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P.)))))))))).)))))))))当m=0时，如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH丄直线1于点H,连结OP，试求AOPH的面积；当m=-3时，过点P分别作x轴、直线1的垂线，垂足为点E,F.是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）①如答图1,作辅助线，利用关系式S=S-S求解；OMPAM0PHOMH②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．16a+4b+c：=0g=4i=1a=4b=l、c=4【解答】解：（1）由题意得：A（4，016a+4b+c：=0g=4i=1a=4b=l、c=42，则有：y=ax+bx+c设抛物线的解析式为解得.2+X+4.-X...抛物线的函数解析式为：y=•：y=xl2）①当m=0时，直线（，°.•抛物线对称轴为x=1CP=1..CMP均为等腰直角三角形•、M轴于点，则△OMHAyHP1如答图，延长交））））））））））.))))))))))))))))))X5）-X-S=S-S=OM（）ompaomh^oph°S=：opha点D,则G（3,）设直线l:y=x-3m=-3时，直线1：②当：3）,点D,则G（3,）设直线l与x轴、：假设存在满足条件的点P重合.与点O-1所示，此时点E）当点aP在OC边上时，V2V2V2如答图2），VaW4（设PE=aO22）.pd=（则PD=3+a，3+aPF=22FN=PN=轴于点N,则过点F作FN丄y-PF,.EN=|PNPE|=|PF-PE|./PE2_2PEpPF+PF2.-'EN^FN2己卩=中，由勾股定理得：△在.Rt=EFN戈血，故此种情形不存在;）＞，解得）a=3,贝I」：若PE=PF4a=（+1（3+a；，不成立，故此，即PF=EF若，贝I」：，整返厂辽理得PF=a=3+aPE=PF种情形不存在；，解=)PE,即(，贝I」：若PE=EFPE=3+aa，整理得PF=•a=3得)3,(0PA.1)))))))))).)))))))))•所示，此时PE=4边上时，如答图2-2在b)当点PBCPE丄分别作FH的交点，有GE=GF,过点F若PE=PF，则点P为ZOGD的角平分线与BCK,轴于点,FK丄x于点H°,•.•乂09。=135V2PHF为等腰直角三角形，EPF=45°，即戈tGE=GF=t，贝叽GK=FK=EH=设2,PH=HF=EK=EG+GK=t+At?2t+At=4PE=PH+EH=t+,'24,t=4-解得I24t=7-,则OE=3-应)44,AP(7-2，，4)0),B(2c)VA(4,；y=-2x+8A可求得直线AB221211解析式为：*3.3,解得y=x=,与联立y=-2x+8y=x-3n与直线3所示.2在线段BK上时，如答图-当点P3,PQ=11-3aA.PE=8-2a,戈•-3aA)PF=(1同理，可求得：与.a2a=1-,解得11(-3a),贝叭故此种情形不存在；＜0若PE=PF8返厂飞-2a=卩己=整理得则，3a11-即PF,82a=?(-)若PF=EF,PF=，(Pa=3解得，符合条件，此时3；)，23)))))))))).)))))))))2a)(2a,),4,t=43(KI交于点K,则设直线，)•BAa-30,贝ijQ(aWa设P(,8-]_：匹2-•迈匹叩卩+卩严ef=)()218(11PE=EF，贝I」-PE=，整理得PF=PE3a，即若＞，故此种情形不存在.-2a),解d)当点P在线段KA上时，如答图2-4所示.•.•PE、PF夹角为135°,•••只可能是PE=PF成立._.•.点P在ZKGA的平分线上.■■■2_MD=MN,,则OM=MN,M作MN丄直线1于点Ny设此角平分线与轴由交于点M,过点〕戈3).3-由OD=OM+MD=3，可求得M(0,又因为G(3,0),花应3.x+3-的解析式为：y=(二1)可求得直线MG；戈-23与直线AB：y=--2x+8,联立直线MG：y=-(1)x+3迈逅4).1+2,6-P可求得：(4e)当点P在OA边上时，此时PE=0,等腰三角形不存在.'■1+2(,,4)2)、(7-、4、，点综上所述，存在满足条件的点PP坐标为：(0,3)(3,血4).6【点评】本题是二次函数压轴题,涉及二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、勾股定理、角平分线性质等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想•第(2)②问中涉及复杂的分类讨论,使得试题的难度较大.2,6B(3,0)、轴的交点是(28.2015?黄冈模拟)已知：如图，抛物线y=ax+bx+2与xA(C.轴的交点是0),与y1)求抛物线的函数表达式；(Q于点.PQ〃y轴交直线BCPx)((2)设Px,y(0VV6)是抛物线上的动点，过点作PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？①当x取何值时，线段的坐标；若不存在，为直角三角形？若存在，求出点OAQPP②是否存在这样的点，使厶请说明理由.)))))))))).)))))))))【考点】二次函数综合题.【专题】压轴题；动点型；开放型.B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．)已知了A,1【分析()中已经求出,而其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）①QP（2的坐标，用待定系数法求出•那么让一次函数的解析式减去二次函数，C一次函数可根据BPQx的函数关系式，那么可根据函数的性质求出的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的取值.的最大值以及相对应的3）分三种情况进行讨论：（重合，显然不合题意.因此这种情况不成立；Q与C当ZQOA=90。时，的坐标；P的坐标就是A时,P与A重合，因此当ZOAQ=902由.？DAD，那么根据射影定理可得出DQ=ODx当ZOQA=90°时，如果设QP与轴的交点为的坐标•代入二次函数式中即可得出Px的方程即可求出x的值,r9a+3b+2=0<然后将x此可得出关于），（6,0,）•••抛物线过A（3,0）B1【解答】解：（I託肘验+2二0f_1匸g2y=-1解得：:92x+2.y=x.・.所求抛物线的函数表达式是-6k+h=0h=2相同，，点P、xV0<<6（）x-3=-））））））））））.,x=0•当时，y=2（26k+h=0h=2相同，，点P、xV0<<6（）x-3=-））））））））））.2•解得：左x+2.BC的函数表达式是y=直线Q的横坐标卫丄丄x+2x+2））-（x--.PQ=yy=（-pq§2xx+=-92+1))))))))).•.当x=3时，线段PQ的长度取得最大值•最大值是1.②解：当ZOAQ'=90。时，点P与点A重合，.P(3，0)当ZQ，OA=90。时，点P与点C重合，.°.x=0(不合题意)当ZOQZA=90。时，设PQ'与x轴交于点D.•ZOQ，D+ZAOQ，=90°，ZQ，AD+ZAQ，D=90°，；.ZOQZD=ZQZAD.又•ZODQ'=ZQ‘DA=90°,.•.△ODQ'sAQ'da.W12•?DA.，即DQ‘=Od32.(-x+2)=x(3-x),123丄J33丄昱卫些239x+36=0,10x-52,==,x.x2^242+2=；-(.°.y)=X^52552+2=；X()-y=2殳4§25((P,,)或p殳4525(,,).)或，0P)或(p(.•.所

【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，用数形结合的思想来求解是解题的基本思路.22B两点.A与抛物线y=x交于，y=kx+2k+4AB?(29.2014武汉)如图，已知直线：)))))))))).)))))))))C坐标；AB总经过一个定点C,请直接出点(1)直线戈5；,使厶ABP)当k=的面积等于-时，在直线AB下方的抛物线上求点P(2AB的最大距离.，求点D到直线D(3)若在抛物线上存在定点使ZADB=90°因式分解法；根与系数的关系；勾股定理；相二次函数综合题；解一元二次方程-【考点】似三角形的判定与性质.【专题】压轴题.k无关即可•，使得y的值与【分析(1)要求定点的坐标，只需寻找一个合适x,运用a的坐标•设出点P的横坐标为)只需联立两函数的解析式，就可求出点(2A、B的值，aa的