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文档简介

关于幂级数的展开式第一页，共二十一页，2022年，8月28日

一、泰勒级数上节告诉我们：

幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。我们的问题是：任意给定的函数f(x)2.如果能展开,是什么?3.展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数?第二页，共二十一页，2022年，8月28日证明（定理1回答了问题2和问题3）第三页，共二十一页，2022年，8月28日泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数第四页，共二十一页，2022年，8月28日定义只要函数f(x)在已知点任意阶可导，f(x)在该点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定收敛于f(x)呢?不一定.即问题：第五页，共二十一页，2022年，8月28日可见在x=0点任意可导,比如第六页，共二十一页，2022年，8月28日证明必要性第七页，共二十一页，2022年，8月28日充分性第八页，共二十一页，2022年，8月28日二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:如条件满足，(2)判定是否成立？第九页，共二十一页，2022年，8月28日例1解第十页，共二十一页，2022年，8月28日例2解第十一页，共二十一页，2022年，8月28日例3解:注意:有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）第十二页，共二十一页，2022年，8月28日双阶乘第十三页，共二十一页，2022年，8月28日2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如第十四页，共二十一页，2022年，8月28日第十五页，共二十一页，2022年，8月28日例4解第十六页，共二十一页，2022年，8月28日第十七页，共二十一页，2022年，8月28日常用函数的幂级数展开式：（3）（1）（2）（4）第十八页，共二十一页，2022年，8月28日（5）（6）（7）第十九页，共二十一页，2022年，8月28日本章要掌握的主要内容二。求幂级数的收敛半径与收敛区间三。求幂级数的和函数（经常要通过逐项微分和逐项积分来处理，幂级数通过逐项微分和逐项积分以后收敛半径不变，但端点的收敛性可能改变），求常数项级数的和函数，要通过一个恰当的幂级数的和函数作过渡。四。将函数展开成幂级数（要写出展开式与收敛区间）应掌握展开条件和两种方法。直接法要记住六个基本公式，实际处理问题时一般用间接法。一。常数项级数（正项级数，交错级数，任意项

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