江苏省泰州市2020届高三数学第一次模拟考试试题

2020届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V=Sh，锥体的体积V=*h一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．TOC\o"1-5"\h\z函数f(x)=sin2x的最小正周期为.已知集合A={4,a2},B={—1,16}，若AQBH，则实数8=.复数z满足zi=4+3i(i是虚数单位)，贝V|z|=.函数y=^1—x2的定义域是.从1,2,3,4,5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是.AWhileUEndWhileAPrint(第6题)T^-TX2AWhileUEndWhileAPrint(第6题)T^-TX2}i1(第y题］O―I—已知数列{a}满足loga—loga=1,则=3=.n2n＋12na＋a31&若抛物线y2=2px(p〉0)的准线与双曲线x2—y2=1的一条准线重合，则p=.如图，在直三棱柱ABCA1B1C］中，M为棱AA』勺中点，记三棱锥A』BC的体积，四V棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则V1的值是.2已知函数f(x)=2x4+4x2，若f(a+3)〉f(a—1),则实数a的取值范围为.在平面直角坐标系xOy中，过圆q：(x—k)2+(y+k—4)2=1上任一点P作圆CjX2+y2=1的一条切线，切点为Q,贝y当线段PQ的长最小时，k=.2已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足PA+PB+2PD=0,入PA+uPB+pc=o,贝y入卩=X3—3x~|~2axa13・已知函数f(x)={x3+3x—4a,x：「若存在x0<0,使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是14.在厶ABC中,已知sinAsinBsin(C—0)=入sin2S，其中tan0=|14.在厶ABC中,]tanAtan]tanAtanb+2

tanC为定值，则实数入二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(本小题满分14分)已知向量a=(sinx,1),b=g，cosxj，其中xW(0,n).若a〃b，求x的值；若tanx=—2，求|a+b|的值.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，0为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA丄AB,PA丄AD.求证：直线PB〃平面0EF；平面OEF丄平面ABCD.（本小题满分14分）如图，三个小区分别位于扇形0AB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段0Q上找一处开挖工作坑P（不与点0,Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA,PB,已知n0A=2千米，ZA0B=§，记ZAPQ=9rad，地下电缆管线的总长度为y千米.（1）将y表示成9的函数，并写出9的范围；(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：'+右=l(a〉b〉O)的左顶点为A,B是椭圆Ca2b2上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线0P交于点Q,已知椭圆C的离心率为2，点A到右准线的距离为6.求椭圆C的标准方程；设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围.(本小题满分16分)设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点，且点A,B的横坐标互为倒数，过点A,B分别作函数y=f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”「lnx，O〈x〈l,若函数f(x)={不存在“优点”求实数a的值;ax2,x>1⑵求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围；求证：函数f(x)=lnx的“优点”一定落在第一象限.(本小题满分16分)已知首项不为0的数列｛a｝的前n项和为S,2a+a=a，且对任意的n^N,n±2都有nn1232nS—(2n+5)S+S=ra.n＋1nn－11若a2=3ai，求r的值；数列｛an｝能否是等比数列？说明理由；当r=1时，求证：数列｛a｝是等差数列.2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．［选修42：矩阵与变换］（本小题满分10分）1x=2_t1

1x=2_t1

ly=2+t（t为参数），曲线c的<在平面直角坐标系（t为参数），曲线c的fx=一1+2cos。,参数方程为（A（0为参数）•若直线l与曲线c相交于A,B两点，求线段、y=2sin0AB的长.［选修45:不等式选讲］（本小题满分10分）设正数a,b,c满足3a+2b+c=1,求舌+卄匕+匕+。的最小值・

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）如图，在正四棱柱ABCDA]B]C]D]中，AA〒3,AB=1.（1）求异面直线A1B与AC]所成角的余弦值；（2）求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值.(本小题满分10分)已知函数f(x)=1—|2x—1|,0WxW1,设f(x)=f(f(x))，其中f(x)=f(x),方nn－111程f(x)=0和方程f(x)=1根的个数分别为g(0),g(1).nnnn求g2(1)的值；证明：g(0)=g(1)+1.nn2020届高三年级第一次模拟考试（七）（泰州）数学参考答案1.n1.n2.±43.54.8615

]1—7.48.9.410.(—1,+^)11.2512.—413.[—1,0)14.10(1)因为a〃b,1所以sinxcosx=2,即卩sin2x=1.n因为xW(0,n),所以x=4.sinx(2)因为tanx=cosx=—2,所以sinx=—2cosx.1因为a+b=,1+cosx,93所以|a+b|=+(1+cosx)2=+sinx+2cosx=2.(1)0为BD的中点，F为PD的中点，所以PB〃FO.因为PB平面OEF,FOu平面OEF,所以PB〃平面OEF.(2)连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AC与BD交于点0,0为AC的中点.因为E为PC的中点，所以PA〃OE.因为PA丄AB,PAIAD,ABHAD=A,AB,ADu平面ABCD,所以PA丄平面ABCD,所以OE丄平面ABCD.因为OEu平面OEF,所以平面OEF丄平面ABCD.n(1)因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA=PB,ZAOP=ZBOP=6,n又ZAPO=n—0,ZOAP=9—6,nOAn由正弦定理，得6=sin(n—0)=6,又OA=2,1所以PA=sin9,OP=6,3sin9—cos9+2所以y=PA+PB+OP=2PA+OP=6=sin9因为ZAPQ>ZAOP,n1n5n所以e〉6,Z0AQ=Z0QA=2(n—6)=12,5n所以ew12.3sin0—cos0+25n(2)令f(0)=sin0,0W12,1—2cos0nf'(0)=sin20=0,得0=3,nn5nf（0）在区间3上单调递减，在区间（3,12）上单调递增,n3所以当0=3，即0P=3千米时，f（e）有唯一的极小值，即是最小值，贝f（e）mi〒2.3答：当工作坑P与O的距离为3千米时，地下电缆管线的总长度最小．a2a=2，(1)依题意，得=6,解得c=1，所以b==，x2y2所以椭圆C的方程为4＋3=1.(2)由(1)知，A(—2，0)，设AB：x=my—2，mMO,x=my—2，联立3x2+4y2=12,TOC\o"1-5"\h\z12mx=—2，解得3m2+4或y=0,6m2—812m—86m即B(3m2+4,3m2+4)，则P(3m2+4,3m2+4),3m3m所以k=—4，OP：y=—4x.OP6m3＋4m因为AB丄BQ,所以k=—m,所以直线BQ的方程为BQ：y=—mx+3m2+4,BQ6m3＋4m8(3m2＋2)16联立，得x=3m2＋4=8—3m2＋4w(4，8)．1(1)由题意可知，f'(x)=fx对xW(0,1)U(1,+-)恒成立,12a11不妨取xW(0,1),则f'(x)=x=x=fzx恒成立，即a=2,1经验证，a=2符合题意.1(2)设A(t,t2),Bt2(tM0且tM±1),因为f'(x)=2x.所以A,B两点处的切线方程分别为y=2tx—12,y=tx-t2,111令2tx—t2=tx—t2,解得x=2tW(—8,—l)U(l,+8),所以“优点”的横坐标取值范围为(一g,—i)u(i,+g).1设A(t,lnt),b,—lnt,tW(0,1),1因为f'(x)=x,1所以A,B两点处的切线方程分别为y=tx+lnt—1,y=tx—lnt—1,1令tx+lnt—1=tx—lnt—1,1解得x=t〉O,1t2+1t2—1所以y=t•t+lnt—1=t2—1(lnt—12+1),m2—1设h(m)=lnm—m2+1,mW(O,1),(m2—1)2则hz(m)=m(m2+1)2>0,所以h(m)单调递增，所以h(m)〈h(1)=0,t2—1即lnt—12+1<0.t2+1因为12—1<0,II所以y=t•t+lnt—1>0,所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数,在第一象限.(1)令n=2,得4S—9S+S=ra,TOC\o"1-5"\h\z3211即4(a+a+a)—9(a+a)+a=ra,3212111化简，得4a—5a—4a=ra.3211因^为2a+aa,a3a,12321所以4X5a]—5X3a]—4a]=ra],解得r=1.(2)假设数列｛a｝是等比数列，公比为q,则由2a+a=a得2a+aq=aq2，且aMO,n1231111解得q=2或q=—1,由2nS—(2n+5)S+S=ra,n+1nn—11得4S=2na—a—ra(n三2),nn+1n1所以4S=2(n—1)a—a—ra(n23)，两式相减，整理得2na+a=(2n+3)a,n—1nn—11n+1n—1n两边同除以a，可得2n(q2—q)=3q—1.因为q=2或一1,所以q2—qM0,所以上式不可能对任意n±3恒成立,故数列｛a｝不可能是等比数列.nr=1时，令n=2,整理得一4a—5a+4a=a,TOC\o"1-5"\h\z1231又由2a+a=a可知a=3a,a=5a,1232131令n=3,可得6S—11S+S=a,4321解得a=7a,41由(2)可知4S=2na—a—a(n三2),nn＋1n1所以4S=2(n—1)a—a—a(n三3),TOC\o"1-5"\h\zn—1nn—11两式相减，整理得2na+a=(2n+3)a(n三3),n＋1n—1n所以2(n—1)a+a=(2n+1)a(n三4),nn—2n—1两式相减，可得2n[(a—a)—(a—a)]=(a—a)—(a—a)(n三4).n＋1nnn—1nn—1n—1n—2因为(a—a)—(a—a)=0,4332所以(a—a)—(a—a)=0(n三4),nn—1n—1n—2即a—a=a—a(n三4),nn—1n—1n—2^又因^为aaaa2a,32211所以数列｛a｝是以a为首项，2a为公差的等差数列.n1121.A.将入=—2代入2=^2—(x—1)入一(x+5)=0,得x=3.B.由题意得曲线C的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.1将直线l的参数方程+t代入(x+1”+y2=4得11—t＋1＋＋t=4,即4t2—4t—3=0,13解得t]=一2,t2=2,则AB=|t—t|=2=2.12C.因为3a＋2b＋c=1所以a+a+b+b+c1=(2a+a+b+b+c)・b+c111=^(Xa+Xa+b+Xb+c)2=(+1+1)2=6+4,当且仅当a=a+b=b+c时,等号成立,111所以a+a+b+b+c的最小值为6+4.(1)以AB,AD,A%所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz,则A/0,0,3),B(1,0,0),C1(1,1,3),BA1AC1所以f=(一1,0,3),—=(1,1,3),BA1AC1一1+9110所以cos〈f,f〉=11=55.(2)由题意得C(1,1,0),D(0,1,0),A1BA1CAC1AD所以f=(1,0,一3),f=(1,1,一3),f=(1,1,3),f=(0,1,0),设平面A1BC的一个法向量为n1=(x1,y1,z),贝yA1Cx1—3z1=0,n1=0,即x1+y1—3z1=0,令z1=1,则气=(3,0,1).设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z),贝y12222ADx2+y2+3z2=0,n2=0,即y2=0,令z2=1,则气=(—3,0,1),n1•n2—9+14所以cos〈n1,n2〉=|n1||n2|=10=一5,3所以平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值为5.(1)当n=2时，/)=甲1—公一1|)=玖1—公一1|)=1—|2(1—公一1|)—1|=1,所以2(1—|2x—1|)=1,所以1—|2x—1|=2,1所以2x—1=±2,13所以x=4或x=4,所以g2(l)=2.(2)因为f(O)=f(l)=O,所以fn(0)=fn(1)=0.nn因为f](x)=l—|2x—1|丘[0,1],1当xW2时，f/x)单调递增，且f](x)W(0,1],1当xW,1时，f/x)单调递减，且f](x)W[0,1).下面用数学