试卷+答案 苏北四市2020届高三上学期第一次质量检测(期末)数学试题

2019-2020数学Ⅰ145701.已知集合A{x|0x2}，B{x|1x，则AUB .2.已知复数z满足z2，且z2.已知复数z满足z2，且z的虚部小于0，则z .3.若一组数据7,x,6,8,8的平均数为7，则该组数据的方差是 .4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 .5.函数f(x) log2x2的定义域为 .若关于x的不等式x2mx30的解集是(1,3)，则实数m的值为 .xOy3y22px上，则实数p的值为 .

y21的右准线与渐近线的交点在抛物线已知等差数列n

的前n项和为Saan 2 9

8，S5

5，则S15

的值为 .已知函数y 3sin2x的图象与函数ycos2x的图象相邻的三个交点分别是B,C，则ABC的面积为 .xOyMx2y24x8y120NM外切与点(0,m)，且过点(0,2)，则圆N的标准方程为 .f(xRx1x(0,1]f(x)eax（其中e是自然对数的底数f(2020ln2)8，则实数a的值为 .ABCDEBC上的两个三等分点，ABAD2ACAE，则cosADE的最小值为 .f(x)x3axb|，其中a,bRf(x)MM取得最小值时，ab的值为 .690分．请在内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（14分）如图，在三棱锥PABCAPAB，MNPC的中点，平面PABPBC.AMN；AMNPBC.（14分）5在ABC中，角B,C的对边分别为a,b,c，且cosA .555（1）若a5c5

，求b的值；（2）B4

，求tan2C的值.（14分）如图，在圆锥SO中，底面半径R为3，母线长l为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为O1

，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1

，记圆锥OO1

的体积为V.将V表示成r的函数；求V得最大值.（16分）xOy中，已知椭圆C:x2a2

y2b2

1(ab0)的右顶点为A,过点A作直线l与圆Ox2y2b2相切，与椭圆CPQ.设直线l的斜率为k.用k表示椭圆C的离心率；若OPOQ0,求椭圆C的离心率.（16分）f(x)a1)lnx(aR).xyf(x)在点(1,f(1))xy10，求a的值；f(xf'(x存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；当a2xf(x恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.（16分）已知数列{an

}的首项a1

3，对任意的nN*,都有an1

kan

1(k0)，数列{an

1}是公比不为1的等比数列.求实数k的值；设

4n,为奇数，数列

}的前n项和为

，求所有正整数m的值，使n a1,n为偶数 n nnS得2mS

恰好为数列

n

中的项.2m1徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包含、、C小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[4—2：矩阵与变换]（10） 已知矩阵M2 3的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M1 t 1 B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）xOy中，以坐标原点Ox轴正半轴为极轴建立极坐标y2sin系，直线l的极坐标方程为(cossin)12，曲线C的参数方程为xy2sin（为参数，R）.在曲线C上点M,使点M到l的距离最小，并求出最小值.C．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知正数x,y,z满足xyz1，求1

1 + 1 的最小值.x2y y2z z2x第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABCAB

中，侧面AABB为正方形，侧面BBCC为菱形，111 11 11BBC60oAABBBBCC.11 11 11ACAABB所成角的正弦值；1 11BAC1

C的余弦值.23.（本小题满分10分）已知n为给定的正整数，设(2x)na

ax

x2La

xn，xR.若n4，求aa0 1

3的值；

0 1 2 nx1，求n3k0

(nk)ak

xk的值.2019-2020数学Ⅰ145701.已知集合A{x|0x2}，B{x|1x，则AUB 答案：{x1x2}解：由题意直接求解即可得AUB{x 1x2}已知复数z满足z2已知复数z满足z2，且z的虚部小于0，则z .答案：2i解:z2zz0，z若一组数据7,x,6,8,8的平均数为7，则该组数据的方差是 .答案：457+x+6+8+875x6，(77)2(67)2(67)2(87)2(87)245 5执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 答案：20函数f(x) log x2的定义域为 .2答案：[4,+)logx2解：由题意得：x0 ，解得x4，所以函数的定义域logx2 2某学校高三年级有B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 .答案：12解：P

2A212A2.A2.A2 2122 2 2若关于x的不等式x2mx30的解集是(1,3)，则实数m的值为 答案：42m302m30

，解得m4

xOy

3

y21

的右准线与渐近线的交点在抛物线y22px上，则实数p的值为 .答案：143

3y22px得：p1已知等差数列n答案：135

的前n项和为Saan 2 9

( ,28，S5

25，则S15

4的值为 .解：aa2 9

8，S5

5，则aa3 8

8，5a3

5a3

1，a98因为S15

15a8

159135已知函数y 3sin2x的图象与函数ycos2x的图象相邻的三个交点分别是B,C，则ABC的面积为 答案：3π2在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:x2y24x8y120，圆N与圆M外切与点(0,m)，且过点(0,2)，则圆N的标准方程为 .(x2)2y28f(xRx1x(0,1]f(x)eax（其中e是自然对数的底数f(2020ln2)8，则实数a的值为 .答案：3解由题意得4 ，f(2020ln2)f(ln2)f(ln2)ealn22a8解得：a3ABCDEBC上的两个三等分点，ABAD2ACAE，则cosADE的最小值为 .答案：47AB3AD2AC3AEAB(2ABAC)2ACAB2AC)2c2

ABAC4b2ABAC2c24c2b24c2b24ABAC b2c22ABAC

2c2b2ABACcosADE |ABAC||2ABAC|(4c25b2)((4c25b2)(c23b2)设函数f(x)x3axb|其中a,bR.若f(x)M恒成立则当M取得最小值时，ab的值为 .答案：34Mf(1)|1ab|M

1f(

|11ab| 2 8 2 1 1 1Mf(2)|82ab|所以6M2f(1)f(13f(1)2|1ab||11ab|3|11ab32 2 8 2 8 2 2当且仅当b0a3时，上述等号成立，所以Mab3.4Mb0，且(x3

min

4a1(a,x(0,1))所以x3+1a(x1)，即a(x2x1) 3，则ab3min 4 4690分．请在内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（14分）如图，在三棱锥PABCAPAB，MNPC的中点，平面PABPBC.AMN；AMNPBC.解（）在△PBC中，因为N分别为棱PPC的中点所以MN//BC． 3分又MN平面AMN，BC平面AMN，所以BC//平面AMN．… 6分（2）在△PAB中，因为APAB，M为棱PB的中点所以AMPB．… 8分又因为平面平面PBC，平面I平面PBCPB，AM平面所以AM平面PBC．… 12又AM平面AMN，所以平面AMN⊥平面PBC． 14分（14分）5在ABC中，角B,C的对边分别为a,b,c，且cosA .555（1）若a5c5

，求b的值；（2）B4

，求tan2C的值.（）在ABC中，由余弦定理b2c2bccosAa2得，b22022 5

b25，即b24b50， 4分555解得b5或b1（舍，所以b5． 6分（2）由cosA

及0AsinA555

，…8分1cos1cos2A1(5)252 5所以cosCcos((AB))cos(A) 2(cosAsin 10，4 2 10又因为0C，所以sinC 1cos2C 1

10

310，10 10310从而tanCsinC 10 3，… 12分cosC 1010所以tan2C

2tan

2

3．… 14分1tan2C 132 4（14分）如图，在圆锥SO中，底面半径R3，母线长l5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为O1

，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO1

，记圆锥OO1

的体积为V.将V表示成r的函数；求V得最大值.（1）在SAO中，SO

SA2AO25232 SA2AO25232由△SNO

SO∽△SAO可知，

r ，所以

4r，… 4分SO R 1 3所以OO1

4 r，所以V(r) πr2(4 r) π(3r2r3),0r3．…7分4 1 4 3 3 3 94 1 4 4（2）由得V(r) π(3r2r3),0r3，9所以V(r)43r2)，令V(r)0，得r2，… 9分9r(0,2)时，V(r)0，所以V(r在(0,2)上单调递增；r(2,3)时，V(r0，所以V(r在(2,3)上单调递减．所以当r2时，V(r)取得最大值V(2)16π．9答：小圆锥的体积V的最大值为

16π9

．… 14分（16分）xOy中，已知椭圆C:x2a2

y2b2

1(ab0)的右顶点为A,过点A作直线l与圆O:x2y2b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q.设直线l的斜率为k.用k表示椭圆C的离心率；若OPOQ0,求椭圆C的离心率.akk21（1）lyk(xa，即kxyakk21因为直线l与圆O：x2

y

b2

b，故k2

b2 ．a2b21b2a21k21所以椭圆C的离心率1b2a21k21（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为xa2，cyk(xa)由 a2

得yk(a2

a)ka2ac，所以Qa2k(a2ac)，…6分 x c c c c cx2 y2由 由a2

b21得(b2a2k2)x22a3k2xa4k2a2b20，yk(xa)解得xp

a3k2ab2b2a2k2

，则yp

k(a3k2ab2b2a2k2

a)

2ab2k ，b2a2k2，所以P（a3k2ab2 -2ab2k，b2a2k2 b2a2k

，… 10分因为OPOQ0a2

a3k2ab2

k(a2ac)

2ab2k

0，c b2a2k2 c b2a2k2即a(a2k2b2)2b2k2(ac)，… 12分b2 a2b2 2b4(ac)由（1）k2

，所以a(

b2) ，a2b2 a2b2 a2b2所以a2a2c，即a2c，所以c1，故椭圆C的离心率为1．……16分a 2 2（16分）f(x)a1)lnx(aR).xyf(x)在点(1,f(1))xy10，求a的值；f(xf'(x存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；当a2xf(x恒成立？若存在，求出不存，说明理由.（）f(x1x2

lnxa1 1，x xyf(x)在点(1,f(1))xy10，所以f(1)a11，得a0．… 2分（2）因为f(x)ax1lnx存在两个不相等的零点．x2g(x)ax1lnx存在两个不相等的零点，则g(x)1a．x①当a0g(x)0g(x分②当a0时，因为当x(01)时，g(x)0，g(x)单调递增，a当x(1+)时，g(x)0，g(x)单调递减，a所以x1时，g(x) g(1)ln(1)2． 6分a max a a因为g(x)存在两个零点，所以ln(1)20，解得e2a0．………7分a因为e2a0，所以1a

e21．因为g(1)a10，所以g(x)在(01)上存在一个零点． 8分a因为e2a0，所以(1)21．a a因为g[(

1)2ln(1)211，设t1

，则y2lntt1(te2)，a a a at因为yt

0，所以y2lntt1(te2)单调递减，所以y2lne2 e213e20，所以g[(

1)2]ln(1)2110，所以g(x)在(1)a

a a a综上可知，实数a的取值范围为(e2,0)．… 10分（3）当a2时，f(x)(2

1)lnx，f(x)

1lnx2

1

2x1lnx，x x2 x x x2g(x)2x1lnxg(x)120g(x单调递增，x且g(1)ln10，g(1)10，所以存在x(11)使得g(x

)0，……12分2 2 0 2 0因为当x(0x0

)时，g(x)0，即f(x)0，所以f(x)单调递减；x(x0

+)时，g(x)0，即f(x)0，所以f(x)单调递增，所以xx0

时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时f(x)(21)lnx(21)2x(4x1)4，… 14分0 x 0 x 0 0 x0 0 0因为x(11)，所以f(x)(10)，0 2 0f(x，且为整数，所以，即的最大值为1．………16分（16分）已知数列{an

}的首项a1

3，对任意的nN*,都有an1

kan

1(k0)，数列{an

1}是公比不为1的等比数列.求实数k的值；设

4n,为奇数，数列

的前n项和为

，求所有正整数m的值，使n a1,n为偶数 n nn得S2m 恰好为数列

}中的项.S n2m1（）由an1

kan

1，a1

3a2

1，a3

3k2k1，因为{an

1}为等比数列，所以(a2

1)2(a1

1)(a3

1)，4即2)223k2k2)，即210k80，解得k2或k

，…2分3当k4时，a 34(a3)，所以a 3，则

12，3 n1 3 n n n所以数列的公比为1，不符合题意；n当k2时，a 1

1)，所以数列

的公比qan112，n1 n

n a1n所以实数k的值为2． 4分4（2）由知an

12n，所以bn

n 则S (41)4(43)42L[4(2m1)]4m2m(41)(43)L[4(2m1)]442L4mm(44m14，… 6分3则S S b2m1 2m 2m

m(4m)4m4，3因为b2m

b2m+1

32m4m，又(b2m2

b2m+3

)(b2m

b2m+1

)34m20，且bb2 3

50，b1

30

2m1

0S2m

0，S设2m bS

0,tN*，… 8分2m1则t1,3或t为偶数，因为b3

1不可能，所以t1或t为偶数，S①当2m

m(4m)4m14=b时， 3 3，化简得6m224m84m≤4，S 12m1

m(4m)4m43m24m20，所以mS 7 S S 87 S验证2 , 43, 6 得，当m2时，4

成立．… 12分S 3 S1 3

S 23 S 15 3Sm(4m)4m14S3 3②当t为偶数时，S2m

1 ，2m1

m(4m)

4 3m212m413设c 3m212m4，则

4mc 9m242m21，m 4m

m1

4m1由①知m3，当m4时，cc5 4

30；45当m4时，c cm1 m

0，所以c4

cc5

L，所以cm

的最小值为c5

19，1024S 3 S 3所以0

2m 1 5，令2m 4b，则1

4，S2m1

1911024

S 22m1

3m212m414m即3m212m40，无整数解．综上，正整数m的值2．… 16分2019-2020数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包含、、C小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[4—2：矩阵与变换]（10） 已知矩阵M2 3的一个特征值为4，求矩阵M的逆矩阵M1 t 1 解：Mf()

t

3 2)(1)．… 2分1因为矩阵M的一个特征值为4，所以f(4)60，所以t2．… 5分2 3

1 3 1 32132 2132 4 4所以M2 1，所以M1

2

1．……10分 213

2132

2B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）xOy中，以坐标原点Ox轴正半轴为极轴建立极坐标y2sin系，直线l的极坐标方程为(cossin)12，曲线C的参数方程为xy2sin（为参数，R）.在曲线C上点M,使点M到l的距离最小，并求出最小值.解：由l:cossin120，及xcos，ysin， 所以l的直角坐标方程为xy12 在曲线C上取点M 2 3cos2sin，则点M到l的距2 3cos2sin1224sin 2 3cos2sin122d 3 3 ，… 6分当d取最小值6

2 22，… 8分2此时点M的坐标为3,1． 10分C．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）xyzxyz1，求

1

1 的最小值.x2y y2z z2x解：因为x，y，z都为正数，且xyz1，所以由柯西不等式得，3( 1 1 1 )x2y y2z z2x 1 1 1 [(x2yy2zz2x)] 5分x2y y2z z2xx2y1y2zy2z1z2x1x2y≥( x2y1y2zy2z1z2x1x2y当且仅当xyz1时等号成立，3所以 1 1 1 的最小值为3．… 10分x2y y2z z2x第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABCABC中，侧面AABB为正方形，侧面BBCC为菱形，111 11 11BBC60oAABBBBCC.11 11 11ACAABB所成角的正弦值；1 11BAC1

C的余弦值.（）因为四边形AABB为正方形，所以ABBB，11 1AABBBBCCAABBIBBCCBB，11 11 11 11 1AB平面AABB，所以AB平面BBCC 2分11 11 zB为坐标原点，分别以BABB1

所在的直线 C C1为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.1不妨设正方形AABB的边长为2，则A2，0，0110，2，0．，B1BBCC中，因为BB

60，11 r1 B1所以C(0，3)，所以AC(2，3)． B y1 1 AABB的法向量为n0，11 A A111设直线AC与平面AABB所成角为， x 1111| 3|| 3|2 216则sin|c