湖南省长沙市雅礼实验中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学试题及答案

PAGE66页2022-2023考试数学试题一、单选题

B（已知集合A x|y 2x ，B y|y 2x ，则A B（zA．-3

B．(,2] C．R D．0,22i的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）aiB．-1 C．1 D．31x1，则2xA．4C．2 2+2

x1

的最小值为（ ）2222D． 22ABP0P(B)0，则下列说法正确的是（ ）PAPAP(A)若PAPB1，则对立独立，则PBP若互斥，则PABPA154名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）16

14

13

12与图中曲线对应的函数可能是（ ）ysinxC．ysinx

B．ysinxD．ysinxABCD2EF是它的内切圆的一条弦，点P为正方形ABCD四条边上的一个动点，当弦EF的长度最大时，PEPF不可能为（ ）A．0

13

12

23B两点满足条件：①Bfx的图像上；①点A,B关于原点对称，则对称点对A,B是函数的一个“兄弟点对”（点对A,B与B,A可看作一个“兄弟点对”)．已知函数fxcosxx0

fx的“兄弟点”的个数为（ ）lgxx0，则A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题ab是两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）A．a,b//,//aC．ab,a//,//b

B．ab,a,//b//D．a,a//b,//bX~N70,10060分及以上为优秀则下列说法正确的是（ ）参考数据：随机变量~N,，则P()0.6826，P()0.9544，P()0.9974．A．该校学生体育成绩的方差为10B．该校学生体育成绩的期望为70C．该校学生体育成绩的及格率不到85%D定义在Rfxxfx2021x不为整数时，fx0，则（ ）fx是奇函数C．xR,f(f(x))

fx是偶函数D．fx的最小正周期为112fxsin,0,,f

0,fxf

3恒成立，且函2 8 8 yfx在区间

上单调，那么下列说法中正确的是（ ） 1224存在fx是偶函数f0

3 4是奇数3三、填空题设等比数列

n项和为

，公比为q，若a

3，

9，则qn n 3 2 3 2 ．同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为hh，r，且h

r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则1 2 1 2S1 .2S21．设aZ，且0a13，若5202a能被13整除，则a .yexay(x1)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为四、解答题设数列n

满足a1

3,a

an1

2

nN．求数列n

的通项公式；令b

n

，求数列b

n项和S．n n n n7在中，AC1,BC ．7A150，求cosB；D为AB边上一点，且BD2AD，求的面积．19．如图，FA平面ABC,ABC90，EC//FA, FA3, ECAC4, BDAC交AC于点D.

AB2，FDBE；求直线BCBEF.日期（1月）人数（人）2020年1月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏在1月23日至日期（1月）人数（人）23日24日25日26日27日28日29日611213466101196由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天yabxycdx（c，d均为大于0的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由；并根据上表中的数据求出回归方程；随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊，但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性，求这1000.ywyw7i1xyii7i1xwi i100.5462.141.54253550.123.47其中w

lg

，w1

w，参考公式：对于一组数据w

，…，i i 7

ii1

1 1 2 2,wn nn

，其回归直线wu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为uwnuwi ii1ni1

u2nu2i

，wu.2

1 已知抛物线C:x 2py p0的焦点为F，抛物线上一点Am,2

m

到F点 3的距离为．2求抛物线的方程及点A的坐标；BMBN设斜率为k的直线l过点B且与抛物线交于不同的两点MBMBN且1,4，求斜率k的取值范围． 4 4fxsinxax3x.当a1fx在R上单调递增；6fx只有一个零点，求a.PAGE1413页参考答案：D.【详解】解：A|xB|y0，所以A B|0x故选A【分析】利用复数的除法，将复数z表示为一般形式，然后利用复数的实部与虚部相等求出实数a的值.2i iai 2a12iz2i

ai

iai

a21z

ai

的实部与虚部相等，所以2a1a2，解得aa的值为a.故选：A【分析】将原式构造成两正数2(x1),

1 .2(x1)2(x1)1x1【详解】因为x1，且2x

1 =2(x1)

1 2

22

2，2当且仅当2(x1)2

x1 x12,即x1 时取等.2x1 2【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；【详解】对APAPAPABPAB)

P(A)

1，故A错误；P(A) P(A)BA，B对立，则PAPB1，反之不成立，故B错误；对C，根据独立事件定义，故C正确；对D，若A，B互斥，则PABPBA0，故D错误；故选：CA.【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有C2A2=62=12种可能，4 2要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有A2=2种可能.2所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率P故选：A

21.12 6D【分析】判断各选项中函数在区间或,2.【详解】对于A选项，当0xπ时，ysinx0，A选项不满足条件；对于B选项，当0xπ时，0x，ysinx0，B选项不满足条件；对于C选项，当x时，ysinx0，C选项不满足条件；对于D选项，令fxsinx，该函数的定义域为R，fxsinxsinxfx，故函数ysinx为偶函数，当0xπ时，fxsinx0，D选项满足条件.故选：D.D由平面向量数量积运算，结合数量积的坐标运算即可得解．【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，2222则A(2222

, 2)，B( ,

2)，C(

2)，D(

2)，E(F(

2 2 2 2 2 2 2 222cos, sin，由弦EF的长度最大时，弦EF为直径，即22222 222cos, sin)2 2PE(2P(xPE(2则

cosx

siny)

PF(2cosPF(2

2siny)，PEPFPEPFx21 1 1则 cos2y2 sin2x2y2 ，2 2 2①当点PABy

2，

2x

2，则PEPF[0, ]，12 2 2 21①当点PBCx

2，

2y

2，则PEPF[0, ]，12 2 2 21①当点P在线段CDy

2，

2x

2，则PEPF[0, ]，112 2 2 211PEPF[0,1①当点PPEPF[0,1

2，

2y

2，则PEPF[0, ]，综上可知：故选：D．

2 2 2 2]，2D“”ycosxylgx的交点个数，，由图得出即可．Pxyx0，则点P关于原点的对称点为(xy，cosxlgx，只需判断方程根的个数，pxcosxx0与sxlgxx0图像的交点个数，p1slg1p1slg31；p1，slg51；pxcosxx0与sxlgxx05个焦点，fx的“”5个．故选：D．AD【分析】根据线面、面面垂直与平行的判定定理及性质定理判定即可；ab，故A【详解】解：对于A：由a、//，可得aab，故A对于B：由a、//，可得a，又ab，则b//或b，故B错误；

正确；对于C：由a//,//，则a//或a，又ab，则b//或b或b与相交（不垂直）或b，故C错误；对于D：由a、//，可得a，又a//b，所以b，故D正确；故选：ADBCX~N70,100.【详解】由题意知，随机变量X~N70,100，可得期望70，方差2100，所以A错误，B正确；选项C中：由PX70)0.5,P(60X80)P(X0.6826,PX60)P(60X70)PX70)0.34130.50.841385%，所以C正确；选项D中，优秀的概率为PX90)PX70)P(70X90)0.50.6826

0.95442

0.0228，不及格的概率为PX60)PX70)P(60X70)0.5两者不同，所以D错误.

0.1587，2故选：BC.BCD解.【详解】A中，对于函数fx，有f12021,f(1)2021，所以fxfx不恒成立，则函数fx不是奇函数，所以A不正确；Bfxx为整数，则xfxf(x2021，x不为整数，则xfxf(x0，综上可得fxfx，所以函数fx是偶函数，所以B正确；C中，若x为整数，则fx2021，x不为整数，则fx0，fxff(x)2021，所以C正确；Dx为整数，则x1也是整数，若x不为整数，则x1fx1fxfx1，若t(0t1)xxntfxf(xnt，fx1，所以D.故选：BCD.BC【分析】由最大值得一条对称轴，从而判断B，由零点，最大值点可得周期满足的关系式，从而得的一个表达式，由此判断C，利用单调性得周期也即得判断D，同三角函数的奇偶性再结合诱导公式判断D． f(x)f

恒成立，则8

f x888

是f(x)图象的一条对称轴，3则f(0)f ，4又f(04n1T

4n1

，4n1（nN，8是奇数；

84 8 8

2 4 2yfx在区间

T上单调，所以

，8，所以 1224

2 24

12 85．又，所以kkZ，因此不存在，使得函数为余函数，2 2故选：BC13．1或1【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.2 aaq23 3 a6 3 1 2 a 1

9①1

2或 1.qSaaqaq2

q1 23 1 1 1 2故答案为：1或1.2214．22

【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式，求得圆锥和圆柱的侧面积，即可求解.h2r21【详解】由题意，圆锥的母线长为l h2r21Srl 2r2，1根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为S2

2rh2

r2，2S所以1 .2SS 222故答案为： .2215．1【解析】利用二项式定理得出522021C02021

522021C12021

522020C20201，可知a1能被13整除，结合20210a13可求得整数a的值.【详解】51521，522021C02021

522021C12021

522020C20205211，2021a 1.又52能被13整除，所以，只需1a能被130a13，故答案为：1a 1.【点睛】方法点睛：本题考查利用二项式定理求解整除问题，整除问题和求解近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，解题方法是：整除问题中要注意展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项；.1（ln2）【详解】试题分析：y（x2的导数y2x），yexa的导数为yex设与曲线yexa（，），y（x2）则有公tn共切线斜率为2sema

s

又t（s，nem即有(s1)2ema (s1)22(s1)

sm

s1

s3m 12s sm sm

即有 则有2 2s3 s3ema2s）即为al2s

（）令f(s)l2s2

（s＞1），则2 1 1，当3时，），f 递减，当3时，），f 递增．s1 2即有s3处f 取得极大值，也为最大值，且为ln2由恰好存在两条公切线，即s两解，可得a的范围是ln2故答案为考点：导数的应用1（）a 3n（2）Sn n通项公式；

2nn13（）a的4 n（2）求出数列n项和S．n n n【详解（1）a a 23n，aa 23n1，n1 n n n1an1

an2

23n2，，aa2 1

23，n1 aa

23232

63123n1

3n3，n 1 311a 3n 1n

3也满足.所以数列an

的通项公式为an

3n（2）bn

nan

n3n，n3nS 12n3nn3S n

132233

n3n133n+13n2S 33nn2n3n1

3n

13

n3n+1，4S .4n【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式，及数列求和，求数列和常用的方法：1）等差等比数列：分组求和法（）倒序相加法；1（3）b （数列

为等差数列：裂项相消法；n aan

nn133（4）等差等比数列：错位相减法.331（）

；（2）3 2114 3 21

.【解析】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sinB，再利用同角三角函数基本关系式可求出cosB；(2)根据题意知ACD为等腰三角形，再利用余弦定理得出ACD为等边三角形可得A60，从而求出ABC的面积．7【详解】（1）在ABC中，由正弦定理及题设得7AC BC

，故1 ，127sinB sin127解得sinB

sinB sin150321，3213327又0B30，所以3327

14 .（2）ADCDxBD2x在中，由余弦定理得，BC2`AB2AC22ABACcosA，即79x216xcosA，①在等腰ACD中，有

cosA

12AC1，①AD 2x，解得x1或x1（舍去．所以ACDA所以S

1ABACsinA131sin60 ．33ABC 2 2 433）同解法一．（2）ADx，则CDxBD2x,因为ADCBDC，所以cosADCcosBDC，由余弦定理得，得4x2x272x21，4x2 2x2所以x21，解得x1或x1（舍去．所以ACDA所以S

1ABACsinA131sin60 ．33ABC 2 2 433【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积，考查学生,,题.1（）证明见解析BDE即可.

(1)证明FDDEBDFD进而证明FD平面102010(2)建立空间直角坐标系,求解BC以及平面BEF的法向量,再求解线BC与平面BEF所成角ABC中,（1）ABC中,

ABC90,AB

AC4, BC2 3.因为BDAC交AC于点D,所以AD1, CD3.因为FA平面ABC,EC//FA, EC所以FAD~DCE,所以FDDE.

AC4,又因为BDAC, FA平面ABC,所以BD平面FDE, BDFDFDBDE,FDBE.2,D分别以DBDCxy轴.ABC中3在 ABCAB2,AC4,BC2 .因为BDAC交AC于点DABC中3AD1, CD3,所以D(0,0,0),A(0,1,0),C(0,3,0),F(0,1,3),E(0,3,1),B( 3,0,0)DF(0,1,3),BE( 3,3,1)所以DFBE0,所以DFBE（2）解：由可,BC( 3,3,0),BE( 3,3,1),BF( 3,1,3).设平面BEF的法向量为n(x,y,z),BEn0, 3x3yz0,所以 即BFn0,

3xy3z0.3 6 365 令x 3,则y ,z ,所以n( 3, , ).5 55设直线BC与平面BEF所成角为,则sin|BCn|

10.|BC||n| 20【点睛】本题主要考查了线面垂直线线垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解线面角的问题.属于中档题.c的2（）选择ycdx，y关于x的回归方程为y3.4710.25x（2）期望为693人【分（1）利用散点图中点的分布可知选择模型ycdx较为合适，在等式两边取对数得lgylgclgdx，令lgyw，结合表格中的数据以及最小二乘法公式求得lgdc的值，进而可得出回归模型的解析式；（2）计算得出XB1000,0.693，再利用二项分布的期望公式可求得EX的值.（1）ycdx，ycdx两边同时取常用对数得lgylgclgdx，设lgyw，wlgclgdx.计算x4，w1.54，7xii1

140，lgdˆ

7i17

xw7xwi ix27x2i

50.12741.5470.25，140742 28i1c0.54.把样本中心点4,1.54代入wlgclgdc0.54.w0.540.25x，yxy3.47100.25x；（2）这1000份样本中检测呈阳性的份数为X，则每份检测出阳性的概率P0.70.990.693，由题意可知XB1000,0.693EX10000.693693（人，故这1000份样本中检测呈阳性份数的期望为693人.【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，同时也考查了利用二项分布的期望公式计算随机变量的数学期望，考查计算能力，属于中等题. 121．(1)抛物线方程为x24y，点A的坐标为 2,2 (2)1,02,9 4 4 【分析】（1）利用抛物线的定义求出p的值，可得出抛物线C的方程，将点A的坐标代入抛物线方程，求出m的值，可得出点A的坐标；（2）设点Mx

Nx

，将直线l的方程与抛物线的方程联立，由0可求得k1 1 2 2

x 1 1 的范围，列出韦达定理，由已知条件可求得

12, 2，由韦达定理可得出x 2 2 2k1t11，利用双勾函数的单调性可出k. 2t 2t（1）

1 p 3解：由抛物线定义可知AF

p2，所以，抛物线方程为x24y，2 2 22将点Am, m 1 的坐标代入抛物线方程得m ，所以，点A的坐标为2将点Am, m 2 2 （2）解：直线lykx2，设点Mx

Nxy，1 1 2 2ykx2联立x24y

x24kx8k016k232k0，可得k0或k2，由韦达定理可得x

4k，x

8k，1 2 12BMBMBN，即1

2,y1

x2

2,y2

y1

y2

y ，1y1x2

21 x 1 1 因为x2

，x2

4

，则 1 ,4 12, ,2，1 1 2

x 4 2x1x2xx2xx1x2x

x 2 2 2又2x1x 1 2 2k 12 2k 又2x1x

1 1 21xx x

2 2x x12 2 1 2 1x 1 1 1 1令1t2, ,2，所以，k t 1，x 2 2 2 t2f1t11在1,1上为减函数，在上为增函 2t2 2t2数，当t1,2时，k1t112,9， 22t4 22t4同理可知，当t2,1时，k1t111,0， 22t4 22t4

又因为k0或k2k的取值范围是1,02,9. 4 4 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；等量关系；利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；.22．(1)证明见解析(2),01,6 【分析】（1）当a1时，fxsinx1x3x分别求fx、fx、fx，结合6 6f0