测量学课件：第6章 测量误差理论

第6章测量误差理论的基本知识6.1测量误差概述6.2评定精度的标准（重点）6.3观测值函数的中误差—误差传播定律（重点、难点）6.4同（等）精度直接观测平差6.5不等精度直接观测平差6.1测量误差的概述一、测量与观测值二、观测条件

①人（观测者）②仪器（工具）③外界条件。三、观测类型1、直接观测与间接观测（直接观测值与间接观测值）2、独立观测与非独立观测3、必要观测与多余观测4、等精度观测与非等精度观测四、测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、因装配/搬运等轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、工作态度、技术水平、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等

它们是引起观测误差的主要来源，观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。

故：测量误差是不可避免的！五、几个概念1、真值、观测值、最或然值

①、真值：任一被观测量客观存在的量的大小，叫做真值。

②、观测值：

③、最或然值：2、粗差

概念：超限的误差，也称错误。

原因：观测者不当使用仪器或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等或外界条件发生意外的显著变化而产生的错误。剔除掉（应该避免），测量粗差是不允许存在的！措施：操作细心、多余观测。3、误差（真误差）（不可避免）表达式：真误差Δ＝观测值li－真值X

or：真误差Δ＝真值X－观测值li

最或然值误差：与真误差的定义相似，就是观测值与最或然值之差。4、改正数Ｖ某量的改正数等于其最或然值L与直接观测值的差：六、测量误差分类（重点）1.系统误差

——相同的观测条件，误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化特点：具有累积性（3）采用适当的观测方法，如测角度时盘左、盘观测；度盘配置；水准测量前后视距相等等。消除方法：（1）检校仪器，如经纬仪竖轴误差。（2）加改正数，如计算尺长改正、温度改正、高差改正等。偶然误差系统误差举例:

在某测区，等精度重复观测了358次三角形的内角之和，得到358次三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)

，然后对i：进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。定义：在相同的观测条件下，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。如估读、气泡居中判断、瞄准、对中等误差。2.偶然误差（随机误差或补偿误差）误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表2-1偶然误差的统计

1用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现的频率k/n，区域的总面积等于1。各顶边中点连成光滑曲线，表现出偶然误差的普遍规律

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

3.偶然误差的特性(1)有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；(2)渐降性：小误差出现的概率比大误差大；(3)对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等；(4)抵偿性：当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零：测量误差可表示为：规范要求：消除或减弱系统误差及粗差的影响，使故有通常提到误差，认为它只包含偶然误差。提高仪器精度，限制偶然误差的大小。进行多余观测。4.减弱偶然误差的措施求平差值。小结1、几个概念

观测条件、（非）等精度观测、（真）误差、改正数2、系统误差：定义，特性，消除或减弱的措施3、偶然误差：定义，特性，减弱的措施6.2评定精度的标准

在测量中，用精确度来评价观测成果的优劣。精确度：是准确度与精密度的总称。准确度：观测值与真值的靠近程度，主要取决于系统误差；精密度：观测值的密集（离散）程度，简称精度，主要取决于偶然误差。用此来评价某组观测值质量的优劣。衡量精度高低表示方法误差分布表数值频率直方图在我国，评定精度标准，常用的有中误差、极限误差和相对误差三种。测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。一、中误差:上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-

XM2____中误差平方一般真误差i不可求，我们只能根据最或然值求出改正数式中即白塞尔公式（真值未知，v为改正数）Vi=L-li式中：例1：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的误差分布比较集中，其精度高于第二组。相对地，第二组比较分散，精度低。说明：中误差越小，观测精度越高例2：设直线AB进行5次，其结果为40.125，40.123，40.124，40.123，40.125m，求AB的中误差。解：平均值：40.124mV1=-0.001m，V2=0.001m，V3=0，V2=0.001m，V1=-0.001m

定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）

测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m或Δ容=3m。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18˝的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。注意：

相对误差K是中误差的绝对值m

与相应观测值D

之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:三、相对误差

一般情况

:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。返回例3：有一段距离，其观测值及其中误差为：345.576m±15mm.试估计这个观测值的误差的实际可能范围是多少？(提示:取三倍的中误差作为容许误差)例4：已知两段距离的长度及其中误差为：100m±5mm,1000m±5mm.

试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对精度是否相等？它们的精度是否相等？参考答案:（-45mm，45mm）参考答案:相等，不相等，不相等思考题：角度观测是否用相对误差表示？小结1、m定义，表达式（注意：真值未知的情况）2、m容定义，意义3、k定义，意义在测量工作中，有一些测量值并非直接观测得到，而是通过一定的函数关系计算而得，因此称这些量为观测值的函数。由于观测值中含有误差，使函数受其影响也含有误差，此种误差关系，称之为误差传播。

6.3观测值函数的中误差—误差传播定律误差传播律：表述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。用途：当已知一些量的中误差，来求由这些量构成的函数的中误差（精度）。（中误差的定义是求直接观测量的精度的）函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数如：已知观测高差的中误差（精度），问由其计算所得高程的精度？一、线性函数的误差传播定律设线性函数为：式中为独立的直接观测值，为常数，相应的观测值的中误差为。

1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)

中误差例5：量得地形图上两点间长度

=168.5mm0.2mm,

计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式特例

2.和差函数的中误差

函数式：

当等精度观测时：上式可写成：

若m1=m2=m：特例：中误差式：例6：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得二、一般函数式中：是函数F对的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：误差传播定律的一般形式[例7]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离mD解：1.函数式

2.全微分

3.求中误差

注意：单位量纲要统一？此处要除以ρ的目的是什么？

1.列出观测值函数的表达式：

2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。

求观测值函数中误差的步骤：小结：（一）运用误差传播定律的步骤

3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。（二）误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数算术平均值6-4同精度直接观测平差除了标准实体，自然界中的任何单个未知量的真值都是无法确定的；只有通过重复测量，才能对其真值做出可靠的估计。重复测量又会导致观测值间产生矛盾；于是，就需对观测数据进行处理，这过程称为“测量平差”。测量平差目的就是对带有误差的观测值给予适当的处理，以求其最可靠值，并评定其精度。一、求或是值（平均值）在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值就是未知量的最或是值，即：改正数（残差）：最或是值与观测值之差，即改正数性质（用来做计算检核）：二、评定精度1）观测值中误差上式为等精度观测值中用改正数计算中误差的公式，又叫“白塞尔”公式。利用误差传播律，可得：或：

由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。但也不能单纯以增加观测次数来提高成果质量！2）算术平均值的中误差函数式：例8：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。次数观测值°′″V″VV备注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076°42′45″±1.74″例9：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各组的平均值

A组：=?123.3606.5不同精度直接观测平差B组：123.333C组：123.356同学们的成绩计算各组的平均及其权

A组：123.360权PA=3B组：123.333PB=4C组：123.356PC=5=123