北工大线性代数复习

第一章对换改变排列的奇偶性三角行列式等于主对角线上元素的乘积行列互换，行列式的值不变行列式的某一行的公因子可以提出来如果行列式中某一行元素全为0，那么行列式等于0如果行列式中某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和。这两个行列式分别以其中一组数为该行，而其余各行与原行列式对应的行一样。互换行列式中两行的位置，行列式变号如果行列式中有两行相同，那么行列式等于0如果行列式中有两行成比例，那么行列式等于0把行列式某一行的k倍加到另一行上，行列式不变克莱德法则：注：行列互换值不变两行互换值变号两行相等值为零可把一行进行分拆可以提取一行元素的公因式两行成比例值为0一行的倍数加到另一行值不变（形成三角行列式）,0,范德蒙行列式（下一行与上一行成比例）反对称行列式（奇数n阶反对称行列式等于零）中心对称行列式（相同两排相加成半轴对称，再消变成零）第二章由数域P中个数（；）排列成一个m行n列的矩形数表成为一个数域P上的矩阵，其中称为矩阵的元素，可用表示，或记作两个矩阵，，如果，则称A与B是同型矩阵两个同型矩阵，，如果对应的元素相等，则称A与B是相等的，记作A=B设，，规定称为A与B的和（同型矩阵才能相加）矩阵加法满足的运算规律：交换律A+B=B+A结合律A+(B+C)=(A+B)+CA+O=AA+(-A)=OA-B=A+(-B)，矩阵方程A+X=B总有唯一解X=B-A设，k为一个数，规定称为k与矩阵A的数量乘积矩阵的数量乘法满足的运算规律：其中A,B是同型矩阵，k,l是两个数设A是矩阵。把A的行和列互换，得到一个矩阵，这个矩阵成为A的转置矩阵，记作或矩阵的转置也是矩阵的一种运算，满足的运算规律：设，，，，称矩阵C是A与B的乘积，记作C=AB由矩阵乘法的定义可知，只有当左边矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等时，乘法才有意义，这是乘积矩阵AB的行数等于作矩阵A的行数，AB的列数等于右矩阵B的列数对矩阵A与B，若有AB=BA，则称A与B是可交换的。由矩阵乘法规则，只有同阶方阵才可能可交换主对角线上元素全部都为1，其余元素都是0的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记作，或者简单地写为E。，矩阵的乘法满足的运算规律结合律做分配律右分配率设是一个n阶方阵。由A中所有元素按照它们在A中的排列位置构成一个n阶行列式。这个行列时称为仿真A地行列式，记作或方阵行列式具有的性质其中A,B都是n阶方阵，k是数设A是n阶方阵，若，则称A是非退化的；若，则称A是退化的设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的；否则，称A是不可逆的可逆矩阵性质设A,B都是n阶方阵，若AB=E，则A、B都是可逆的，且若可逆，则也可逆，并且若可逆，则也可逆，并且若可逆，数，则可逆，并且若n阶矩阵A和B都可逆，则AB也可逆，并且若可逆，则设，是中元素的代数余子式，把矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。n阶方阵A是可逆的充分必要条件是，即A是非退化的，而且矩阵的初等变换：互换矩阵中两行的位置用一个非零数k乘矩阵的某一行把矩阵某一行的k倍加到另一行上去阶梯形矩阵条件：零行（元素全为0的行）在下方各个非零行的第一个不为零的元素（首非零元）均位于上一个非零行的首非零元的右边称为简化阶梯形的条件：它是阶梯性的每一个非零行的首非零元均是1包含首非零元的列的其它元素全为0任意一个矩阵经过若干次初等行变换总能变成阶梯形矩阵，或再经过若干次初等行变换变成简化的阶梯形矩阵任意矩阵A都与一个形如的矩阵等价，称为矩阵A的等价标准形由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。三种初等变换对应着三种初等矩阵互换矩阵E的第i行与第j行的位置（）用一个非零数k乘矩阵E的第i行（）把矩阵E的第j行的k倍加到第i行上（）初等矩阵的逆矩阵：，，对一个矩阵A做一次初等变换就相当于在A的左边乘上相应的m阶初等矩阵；对一个矩阵A做一次初等变换就相当于在A的右边乘上相应的n阶初等矩阵可逆矩阵经过初等变换变成的简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵矩阵A可逆A可以表示成一系列初等矩阵的乘积在一个矩阵A中，任意取出k个行和k个列，位于这些行和列的交叉处的元素按原来的位置组成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k阶子式矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的行列式秩，简称为A的秩。记作秩或。规定零矩阵的秩是零。一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r阶子式不为零，同时所有r+1阶子式（如果有的话）全为零矩阵经初等变换后其秩不变n阶方阵A可逆线性方程组有解判别定理：线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩当n元线性方程组，即AX=b有解时，即时，方程组有唯一解方程组有无穷多解，这时在方程组的一般解中出现个自由未知量对于n元齐次线性方程组只有零解有非零解设A为矩阵，且，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组一定有非零解。方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组一定有非零解设A是n阶方阵，那么有非零解应用阶梯化求秩求：解方程():第四章如果有一组不全为零的数使，则称向量组线性相关，否则，线性无关判断1：向量组线性相关以为系数列向量的齐次线性方程组有非零解如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量后所得到的维向量组也线性无关个维列向量线性相关，这里设是一个维向量组，若，则是线性相关的任意个维向量必线性相关判断2：向量组线性相关其中有一个向量可以由其它向量线性表出判断3：向量组线性无关任意一个向量都不能由其它向量线性表出设向量组线性无关，而线性相关，则可以由线性表出，且表示法唯一设有2个维向量组(Ⅰ)；(Ⅱ)如果(Ⅰ)中每个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表出如果(Ⅰ)、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价，记为(Ⅰ)(Ⅱ)性质：反身性：(Ⅰ)(Ⅰ)对称性：若(Ⅰ)(Ⅱ)，则(Ⅱ)(Ⅰ)传递性：若(Ⅰ)(Ⅱ)，(Ⅱ)(Ⅲ)，则(Ⅰ)(Ⅲ)设与是两个向量组，如果向量组可以由线性表出那么向量组一定线性相关如果向量组可以由向量组线性表出，且线性无关，那么两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量在向量组中，如果存在个向量线性无关，又在向量组中任意个向量都线性相关，则称部分组是向量组的一个极大线性无关组向量组与它的任意一个极大线性无关组是等价的向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相同向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩线性相关：秩；线性无关：秩如果向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表出，则等价的向量组有相同的秩矩阵的秩等于它的行秩，也等于它的列秩设是矩阵，是矩阵如、分别是阶、阶可逆矩阵，则，这里、是同型矩阵如，则存在矩阵和矩阵，使，其中和的秩都为有解有解时：a.有唯一解未知量总个数B.有无数解自由未知量总个数的体空间的维数=基础体系中含有维向量的个数=一般体中自由未知量的个数=未知量总个数规律设，，规定与的内积为，称为向量的长度非零向量与的夹角一个非零的两两正交的向量组称为正交向量组，如正交向量组中每个向量都是单位向量，则称为一个正交单位向量组正交向量组线性无关在向量空间中，由正交向量组构成的基称为正交基；由正交单位向量组构成的基称为标准正交基设是线性无关的向量，，正交单位向量n维向量空间中任一个正交向量组都能扩充成一个正交基如果，实n阶矩阵称为正交矩阵n阶矩阵正交（1）如果是正交矩阵，则（2）如果是正交矩阵，则也是正交矩阵（3）如果与都是n阶正交矩阵，则也是正交矩阵是正交矩阵的充分必要条件是的列（行）向量组是正交单位向量组是正交矩阵，那么转置，逆矩阵，伴随矩阵，负矩阵都是正交矩阵是正交矩阵，只有换位变换不改变正交性第五章设是数域P上一个n阶方阵。如果存在数域P中数及一个n维非零列向量，使得，则称是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量设是数域P上的n阶方阵，则是的特征值，是的属于特征值的特征向量的充分必要条件是：是的特征多项式在数域P中的根，是齐次线性方程组的非零解设是复数域上n阶方阵，则我们称n阶方阵的主对角元之和为的迹，记成。即n阶方阵可逆的n个特征值全不为零设是两个n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得，则称矩阵与是相似的，记作～相似基本性质：（1）反身性：对任意一个方阵，都有～（2）对称性：若～，则～（3）传递性：若～，～，则～相似推导性质：若～，则若～，则若～，则与或者都可逆，或者都不可逆，并且当它们可逆时有～若～，则～，其中m是正整数若～，则.这说明相似的矩阵有相同的特征多项式若～，则与有相同的特征值，也有相同的迹n阶方阵可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量属于不同特征值的特征向量是线性无关的若n阶方阵有n个相异特征值，则可对角化且～设是n阶方阵的s个互异特征值，设是的属于的个线性无关的特征向量，，则向量组都是线性无关的复数域上任意一个n阶方阵都与一个Jordan形矩阵相似，这个Jordan形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外是被唯一决定的，它称为的Jordan标准形实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交对于任意一个n阶实对称矩阵，都存在一个n阶正交矩阵，使得为对角矩阵注：（1）（2）Sylvester定理：是的特征值是所有的特征值，，…，的相似对角化：记，则（P可逆）n阶方阵可以相似对角化有n个线性无关的特征向量若是的分别属于特征值的线性无关的特征向量，若记，则P可逆，且，当时，一定可以相似对角化可逆可逆、都不可逆11、第六章合同关系的性质：简化二次型：配方法，初等变化法正惯性指数等于正特征值的个数；负惯性指数等于负特征值的个数实二次型对任何一个非零向量，恒有，则是正定二次型正定二次型正惯性指数也就是正特征值的个数等于n二次型经过可逆线性替换，其正定性保持不变n元实二次型正定的正惯性指数等于n实