人教版数学九年级上册《24垂直于弦的直径》课件

人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径1同学们，今天你们是通过什么方式来到学校的？导入新课同学们，今天你们是通过什么方式来到学校的？导入新课2折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？导入新课折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？导入新课3讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法得到这个结论的？圆的对称性：

圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.用折叠的方法●O说一说讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称4思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.∴AD=AB=18.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.圆的对称性：

圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？OE=4cm,则AB=cm.（1）CD⊥AB吗？为什么？（1）连接AO,BO,则AO=BO,练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.23m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．（1）CD⊥AB吗？为什么？已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.2cm或12cm把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．∴AB=2AE=6cm.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.例2如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，BE=1，求⊙O的半径.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.OE=4cm,则AB=cm.在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？∴AD=AB=18.同学们，今天你们是通过什么方式来到学校的？弧:AC=BC,AD=BD∵CD是直径，CD⊥AB，你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂径定理及其推论二思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.25垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.几何语言：归纳总结垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的6想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什7垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC归纳总结垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCA8如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.⌒⌒如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.·OAB9思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.10

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦11垂径定理.mp4垂径定理.mp412例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,OE=4cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=6cm.6一垂径定理及其推论的计算三∴cm.典例精析例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,·OAB13例2

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，BE=1，求⊙

O的半径.·OCDABE例2如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若141400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.23m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).垂径定理的实际应用1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的15即主桥拱半径约为27.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.弧:AC=BC,AD=BDOE=4cm,则AB=cm.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.即主桥拱半径约为27.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?并且平分弦所对的两条弧∴AB=2AE=6cm.OE=4cm,则AB=cm.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.即主桥拱半径约为27.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在16练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的17

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系

d+h=r

OABC·归纳总结在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦181.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=

.

103cm3.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为

.14cm或2cm当堂练习1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则19垂径定理内容推论辅助线平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结这节课你学到了什么？你有什么感受？垂径定理内容推论辅助线平分弦（不是直径）的直径垂垂直于弦的直20例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,不是，因为CD没有过圆心OD=OC-CD=R-7.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.弧:AC=BC,AD=BD例2如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，BE=1，求⊙O的半径.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.（1）CD⊥AB吗？为什么？上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.涉及垂径定理时辅助线的添加方法即主桥拱半径约为27.d+h=r直于弦,并且平分弦所对的弧作业布置：1、完成学案上的作业例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,作业布置21人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径22同学们，今天你们是通过什么方式来到学校的？导入新课同学们，今天你们是通过什么方式来到学校的？导入新课23折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？导入新课折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？导入新课24讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法得到这个结论的？圆的对称性：

圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.用折叠的方法●O说一说讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称25思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.∴AD=AB=18.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.圆的对称性：

圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？OE=4cm,则AB=cm.（1）CD⊥AB吗？为什么？（1）连接AO,BO,则AO=BO,练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.23m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．（1）CD⊥AB吗？为什么？已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.2cm或12cm把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．∴AB=2AE=6cm.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.例2如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，BE=1，求⊙O的半径.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.OE=4cm,则AB=cm.在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？∴AD=AB=18.同学们，今天你们是通过什么方式来到学校的？弧:AC=BC,AD=BD∵CD是直径，CD⊥AB，你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂径定理及其推论二思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.226垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.几何语言：归纳总结垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的27想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什28垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC归纳总结垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABODCA29如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.⌒⌒如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.·OAB30思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.31

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦32垂径定理.mp4垂径定理.mp433例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,OE=4cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=6cm.6一垂径定理及其推论的计算三∴cm.典例精析例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,·OAB34例2

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，BE=1，求⊙

O的半径.·OCDABE例2如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若351400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.23m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).垂径定理的实际应用1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的36即主桥拱半径约为27.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所对的弦长)为37m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.弧:AC=BC,AD=BDOE=4cm,则AB=cm.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.即主桥拱半径约为27.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?并且平分弦所对的两条弧∴AB=2AE=6cm.OE=4cm,则AB=cm.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.即主桥拱半径约为27.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在37练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的38

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系

d+h=r