算术几何平均

算术几何平均算术几何平均两个数的和(也经常写或)被定义为从和,然后迭代(1)(2)直到到所需的精度。和互相靠拢(3)(4)但,所以(5)现在,添加对每一方(6)所以(7)块顶部显示为和为,而底部的两个情节表演对于复杂的值

.年度股东大会是非常有用的在计算的值完成椭圆积分,也可以用于寻找逆切.它的实现Wolfram语言作为ArithmeticGeometricMean[a,b]。可以表示在封闭形式的第一类完全椭圆积分作为(8)算术几何平均的定义还持有复平面,正如上文所述

.算术几何平均的勒让德形式给出(9)在哪里和(10)特殊的值在下表中进行了总结。一个特殊的值(11)(OEISA014549)高斯是常数。它具有封闭形式(12)(13)上面的积分是在哪里双纽线函数平等的算术几何平均高斯积分是已知的(Borwein和贝利2003年,页13-15)。斯隆价值A0685211.4567910310469068692……A0848951.8636167832448965424……A0848962.2430285802876025701……A0848972.6040081905309402887……年度股东大会是由的导数(14)(15)在哪里

,是一个第一类完全椭圆积分,是第二类完全椭圆积分.的级数展开是由(16)年度股东大会的属性(17)(18)(19)(20)解决微分方程(21)是由和

.算术几何平均的泛化(22)与微分方程的解决方案是什么(23)这个案子对应于算术几何平均通过(24)(25)这个案子给出了立方相对(26)(27)讨论Borwein和Borwein(1990、1991)和Borwein(1996)。为,这个函数满足函数方程(28)因此,对于迭代和和(29)(30)所以(31)在哪里(32)参见:

Brent-Salamin公式Brent-Salamin公式,也叫做Gauss-Salamin公式或Salamin公式,使用的是一个公式算术几何平均来计算π。二次收敛。让(1)(2)(3)(4)并定义初始条件

,。然后迭代和给出了算术几何平均,是由(5)(6)王(1924)表明,这个公式和勒让德关系是等价的,也可能来自其他。高斯是常数的互惠的算术几何平均1,

,(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA014549),是第一类完全椭圆积分,是一个雅可比θ的函数,是γ函数。这信件被高斯第一次注意到,他探索的基础双纽线函数(Borwein和贝利2003,页13-15)。两个迅速收敛级数是由(8)(9)(芬奇2003,p.421)。高斯的常数连分数[0,1,5,21岁,3,4,14日,1,1,1,1,1,3,1日,15日,…](OEISA053002).逆高斯的常数是由(10)(OEISA053004,芬奇2003,p.420;Borwein和贝利2003年,13页),(1、5、21岁的3、4、14日,1,1,1,1,1,3,1,15日1,……](OEISA053003).的值(11)(OEISA097057有时被称为无处不在的常数(Spanier和奥尔德姆1987;施罗德1987;芬奇2003,p.421),和(12)(OEISA076390有时被称为第二双纽线不变(芬奇2003,p.421)。高斯的常量和有关双纽线不变通过(13)(14)(芬奇2003,p.420)。

无处不在的常数让是高斯是常数和是它的乘法逆元。然后(OEISA097057)有时被称为无处不在的常数(Spanier和奥尔德姆1987;施罗德1987;芬奇1994,p.421)。U(n)基本超几何级数多个系列基本超几何级数的概括统一的组织。基本定理系列采用了

,...,和

,...,不确定的和。然后在假定没有分母消失(博1995,p.22)。这个定理称为一个系列系列(米尔恩博1985;1985年,p.22)。许多其他的结果,包括q-binomial定理和q-Saalschutz总和可以推广到系列。贝特曼函数为,在那里是一个合流超几何函数的第二种.第一类合流超几何函数第一种的合流超几何函数是一种堕落的超几何函数作为解决方案的出现合流超几何方程。它也被称为第一类Kummer领军的功能。有许多其他的符号用于函数(斯莱特1960年,p.2),包括(Kummer领军1836),(Airey和韦伯1918),(亨伯特1920年),和(Magnus和Oberhettinger1948)。另一种形式的解决方案合流超几何方程被称为惠塔克函数.第一种的合流超几何函数的实现Wolfram语言作为Hypergeometric1F1[a,b,z]。合流超几何函数的超几何级数给出的(1)在哪里和是Pochhammer符号。如果和是整数,,要么或,那么系列收益率多项式有有限数量的条件。如果是一个整数,然后是未定义的。合流超几何函数得到的拉盖尔多项式通过(2)(Arfken1985,p.755),还有一个积分表示(3)(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.505)。贝塞尔函数,小块土地,不完整的γ函数,埃尔米特多项式,拉盖尔多项式,以及其他都是这个函数的特殊情况(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.1972)。Kummer领军显示(4)(Koepf1998,42页)。Kummer领军的第二个公式给了(5)(6)在哪里

,

,

,....参见:Pochhammer象征Pochhammer符号(1)(2)(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.256;Spanier1987;Koepf1998,p.5)一个不幸的符号用于理论的特殊功能上升!,也被称为阶乘崛起(Grahametal.1994年,48页)或提升阶乘(米德尔斯堡和摩尔2004,p.16)。Pochhammer符号实现的Wolfram语言作为Pochhammer[x,n]。组合的符号(罗马1984年,p.5),(Comtet1974年,p.6),或(Grahametal.1994年,p.48)用于上升!,而或表示下降!(Grahametal.1994年,p.48)。因此需要极其谨慎的解释的符号和

.的头几个值为非负整数是(3)(4)(5)(6)(7)(OEISA054654).在封闭的形式,可以写(8)在哪里是一个斯特灵第一种的数量.Pochhammer象征满足(9)分为两半的公式(10)(11)和复制公式(12)(米德尔斯堡和摩尔2004,p.17)。的比例Pochhammer符号在封闭的形式给出(13)(米德尔斯堡和摩尔2004,p.17)。的导数是(14)在哪里是双函数.特殊值包括(15)(16)Pochhammer符号由于欧拉遵循转换(17)在哪里是向前的区别和(18)(Nørlund1955)。的总和可以做在封闭的形式(19)为

.考虑到产品(20)(21)这个函数收敛于0,一个有限值,或发散,这取决于的价值。给出的临界曲线隐式方程(22)在这条曲线上,函数收敛于0,而外面,它发散。最大的融合发生是由真正的价值(OEISA090462),最小值。的极值值是由(OEISA090463)。在关键的轮廓,需要的值(23)策划的适当扩展版本与有限显示美丽的和微妙的结构如上文所述(m.Trottper。通讯,12月1日,2003)。另一个美丽的可视化情节,正如上文所述(m.Trottper。通讯,2003年12月2日)。参见:合流超几何函数的第二种第二类的合流超几何函数使第二个线性无关的解合流超几何方程。它也被称为Kummer领军的第二种功能,Tricomi函数,或戈登功能。它是表示,可以定义为(1)(2)在哪里是一个正规化第一类合流超几何函数,是一个γ函数,是一个广义超几何函数(这是收敛的地方但存在作为一个正式的幂级数,阿布拉莫维茨Stegun1972,p.504)。它有一个积分表示(3)为(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.505)。第二类的合流超几何函数的实现Wolfram语言作为HypergeometricU[a,b,z]。的惠塔克函数提供解决方案的另一种形式。该函数有一个麦克劳林级数(4)和渐近级数(5)有导数(6)和不定积分(7)在哪里是一个梅耶尔准备功能和是一个积分常数.梅耶尔准备功能梅耶尔的函数是一个非常通用功能,减少在许多常见情况下简单的特殊功能。梅耶尔的函数被定义为(1)在哪里是γ函数(Erdelyietal.1981年,p.1068;Gradshteyn和Ryzhik2000)。形式不同但功能等价的形式被Prudnikovetal.(1990,第793页),(2)这种形式提供了更多的一致性的定义这个函数通过一个逆梅林变换.梅耶尔的函数的实现Wolfram语言作为MeijerG[a1,…一个,(n+1),…美联社,b1、…bm,b(m+1),…bq,z]。一个广义的定义的函数形式(3)实现的Wolfram语言作为MeijerG[a1,…一个,(n+1),…美联社,b1、…bm,b(m+1),…bq,z,r)。在这两种(2)和(3),轮廓之间的谎言波兰人的和波兰人的。例如,轮廓为如上图,在吗复平面和叠加函数本身(m.Trott)。Prudnikovetal。(1990)包含了一个广泛的近200页的清单梅耶尔的公式函数。特殊情况包括(4)(5)(6)(7)的一个特例2-argument形式(8)参见:L-函数

编辑本词条缺少名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来编辑吧！是有算术有意义和算术背景的L-函数·例如黎曼在研究高斯和勒让德提出的素数定理时，引出了和素数分布有关的复变量的黎曼zeta-函数。中文名L-函数用

途Dirichlet级数发布者罗伯特·朗兰兹编

辑黎曼猜想目录1

1.简介2

2.来源▪

2.1算术L-函数▪

2.2自守L-函数3

3.研究内容▪

3.1解析延拓,函数方程▪

3.2零点的分布▪

3.3特殊点的值4

4.研究意义5

5.三个公开问题▪

5.1广义Riemann猜想▪

5.2广义Lindelof猜想▪

5.3广义Ramanujan猜想1.简介编辑一般地,对于数学对象

,我们可定义复数列

,形如且具有Euler乘积的Dirichlet级数,我们称其为关于

的

-函数。2.来源编辑一般地说,

-函数来源由两类组成:算术L-函数和自守L-函数.这两者又是密切联系在一起的,根据罗伯特·朗兰兹的猜想,笼统地说,一切有意义的L-函数都来自自守L-函数.2.1算术L-函数简单地说,同样地，狄利克雷在研究算术级数中的素数分布时，引入了DirichletL-函数：Dedekindzeta-函数:设

为一代数数域，椭圆曲线的Haass-WeilL-函数:设

为一非奇异的椭圆曲线

定义

为曲线在有限域

上的解,设

,则下面的级数称为关于曲线的Haass-WeilL-函数阿廷L-函数:设

是一个有限维的伽罗瓦表示,其中

为一代数数域,2.2自守L-函数全纯模形式的L-函数,MaassL-函数,标准L-函数等等[1]

.3.研究内容编辑根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指,研究一个L-函数主要有三部分内容[2]

:3.1解析延拓,函数方程L-函数的解析延拓和函数方程这是最基本的一部分.对于一般的自守L-函数这是较容易得到的,但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的.例如,对于Haass-WeilL-函数,这部分就是谷山-志村猜想,该猜想一部分就能推出费尔马大定理.关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题.对于数学对象

的L-函数,我们定义其的gamma因子为[3]其中

为复参数.定义下面关于

的完全

-函数那么,一般地我们有函数方程其中

为模为1的复数,

为关于

的对偶对象.3.2零点的分布非零区域:如黎曼zeta函数的目前最好的非零区域为[4]黎曼猜想和广义黎曼猜想问题[5]

:在假设黎曼猜想下,零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等.3.3特殊点的值中心值,临界点,整点的值,极点的留数等.这里面也有很多猜想,像BSD猜想,类数问题,Deligne猜想，Beilinson猜想，Goldfeld猜想.其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekindzeta函数在s=1处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-WeilL-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！4.研究意义编辑对于一个研究对象

如素数,伽罗瓦扩张,椭圆曲线,代数簇等等,我们可根据其性质构造出一个复变量的L-函数

.-函数的解析性质:零点和极点,函数方程,展开系数,特殊点的值等等,往往能够充分反映

的算术,几何,或代数性质.5.三个公开问题编辑关于L-函数的研究,有许多未解决的公开问题,在这些问题中,尤以下面三个著名[6]

.5.1广义Riemann猜想L-函数所有非平凡的零点均位于

线上.5.2广义Lindelof猜想在(3.1)的函数方程中,有猜想:其中

为任意小的正实数.5.3广义Ramanujan猜想在(3.1)的函数方程中,猜想对非分歧的有

和

.库仑波函数的一个特例第一类合流超几何函数。它使径向薛定谔方程的解在库仑势()的原子核(1)(阿布拉莫维茨和Stegun1972;Zwillinger1997,p.122)。完整的解决方案(2)第一种的库仑作用(3)在哪里(4)是第一类合流超几何函数,是γ函数第二类,库仑函数(5)在哪里

,,阿布拉莫维茨和定义Stegun(1972,第538页)。坎宁安函数坎宁安函数,有时也称为Pearson-Cunningham函数,可以表达惠塔克函数(惠塔克和沃森1990,p.353)。在哪里是一个合流超几何函数的第二种(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.510)。惠塔克函数惠塔克函数产生的解决方案惠塔克微分方程。这个方程的线性独立的解决方案(1)(2)和,是一个合流超几何函数的第二种和是一个Pochhammer象征。而言,合流超几何函数的第一和第二种,这些解决方案是(3)(4)(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.505;维特克和沃森1990年,页339-351)。这些功能的实现HYPERLINK"javascript:changelink('/