解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。例1、已知A、B是抛物线y2=2px(P>O)上异于原点0的两个不同点，直线OAa和卩，当a、卩变化且a+沪一时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。22例2.已知椭圆C22例2.已知椭圆C:笃每ab1(ab0)的离心率为—3，以原点为圆心,2椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切.⑴求椭圆C的方程;⑵设P(4,0),M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结 PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围;直线PN的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点.【针对性练习1【针对性练习1】在直角坐标系xOy中，点M到点Fi3,0,F23,0的距离之和是4，点M的轨迹是C与迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线I:ykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q.⑴求轨迹C的方程；⑵当APAQ⑴求轨迹C的方程；⑵当APAQ0时，求k与b的关系，并证明直线I过定点.2X【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆一91的左、右顶点为a、b，右焦点为F。设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(X1,yj、N(X2,y2)，其中m>0,yi0,y20。（1）设动点P满足PF2PB24，求点P的轨迹；1（2）设Xi2,X2 ，求点T的坐标；3（3）设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23.（I）求椭圆C的标准方程；（n）若直线I:ykxmk0与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A•求证：直线I过定点，并求出定点的坐标.例3、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x24y的焦点，离心率e令，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线I，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；uuurumr uuu（n）设点M（m,0）是线段OF上的一个动点，且（MAMB）AB，求m的取值范围；（川）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。二、定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果， ；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。例4、已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于 A、B两点，OAOB与a（3,1）共线。（1）求椭圆的离心率；

■ 22(2)设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB(,R)，证明 为定值。3例5、已知，椭圆C过点A(1,2)，两个焦点为(一1,0),(1,0)。(1)求椭圆C的方程；...(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线 AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线 EF的斜率为定值，并求出这个定值。将第二问的结论进行如下推广:22X y结论1.过椭圆—+ 2=1(a>0,b>0)上任一点A(Xo.yo)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于a bE、FE、F两点，则直线EF的斜率为定值警(常数)。ayo2X结论2.过双曲线—-a2每=1(a>0,b>0)上任一点A(x°,y°)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆b于E、F两点，则直线b2XEF的斜率为定值-(常数)。ay结论3.过抛物线y2=2px(p>0)上任一点A(X0,y。)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于 E、F两点，则直线EF的斜率为定值-卫(常数)。yo例6、已知椭圆的中心在原点，焦点 F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6.(I)求椭圆的标准方程和离心率e;(n)若F为焦点F关于直线y3的对称点，动点M满足MFe,问是否存在一个定点A，使M到MF点A的距离为定值？若存在，求出点 A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由例7、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点.

(I)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程;(n)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.例8、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 21，离心率为J2e—.(I)求椭圆E的方程；(n)过点1,0作直线I交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在uuuuiuu一个定点M,MPMQ为定值？若存在，求出这个定点 M的坐标；若不存在，请说明理由.二、定直线冋题22例9、设椭圆C:笃再1(ab0)过点，且焦点为F,(.2,0)(I)求椭圆C的方程；ab(n)当过点P(4,1)的动直线I与椭圆C相交与两不同点代B时，在线段AB上取点Q,满足uuiuuiAPgQBUULTUlUuuiuuiAPgQBUULTUlUAQgPB，证明：点Q总在某定直线上例10、已知椭圆C的离心率e3，长轴的左右端点分别为Ai2,0,A22,0。(I)求椭圆C的2方程；(n)设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线AF与A?Q交于点S。试问：当m变化时,点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。四、其它定值问题乜(I)乜(I)求双曲线C3例11、已知双曲线C:^每1(a0,b0)的离心率为，右准线方程为xabI与双曲线C交于不同的方程；(n)设直线I是圆O:x2y22上动点P(x),y0)(x°yI与双曲线C交于不同的两点A,B，证明AOB的大小为定值.22xy. 一例12、己知椭圆—亍1(a>b>0)，过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、abQ1Q2,求证：以两条直径的四个端点所成的四边形Q1Q2,求证：以两条直径的四个端点所成的四边形探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，贝UP1Q1P2Q2与一定圆相切。A2B2的方程为-y1，原点0到直线A2B2的距离为r「aab a2b22J2 2ab则与菱形AB1A2B2内切的圆方程为x2y2 — 2ab例13、已知P（x°,yo）例13、已知P（x°,yo）是双曲线xya2(a0）上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于Pl、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。2证明：设PPi的斜率为k，贝UPP2的斜率为•••PPi的方程为yyok(xXo)PP2的方程为yyo•••PPi的方程为yyok(xXo)PP2的方程为yyo1k(xXo），与抛物xya2联立解得R(2.yo ak、1)、k yo2P2（ky°,「），从而kyo2a-2yo2(定值)aEX:过抛物线y2=2px（P>O）上一定点（xo,yo）作两条直线分别交抛物线于 A,B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为——，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中2M点为（1,1）,且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB1的斜率是定值。分析：（1）x2+2y2=3 （2）-2222、已知定点C（1,0）及椭圆x3y5，过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.（I）若线段AB中一1点的横坐标是 ，求直线AB的方程；2(n)在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：7门、 4M( - , 0) -3 93、已知不垂直于x轴的动直线I交抛物线y2=2mx（m>0）于A、B两点，若A、B两点满足/AQP=/BQP，若其中Q点坐标为（-4,0）,原点O为PQ中点。（1）证明：A、P、B三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线I',使得I'被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出 I'的方程。分析：设点AB的坐标（2）l:x=3.224、已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1,F2，短轴的两个端点为 A、B,且四边形abF1AF2B是边长为2的正方形。（1）求椭圆的方程。（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动UULWumr点M满足MD丄CD,连结CM交椭圆于点P,证明：OMgOP为值。（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q，使得以MP为直径的圆过直线DP,MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。分析:22xy(1)14 2(2)y y UUUUUUU由O、M、P三点共线，得ym p，所以OMgOP=44 Xp2uuuuuuu(3)设Q点(a,0)，由QMgDP0,得a=0.5、设2xP为双曲线raV2 uuuunu21(a,b0)上任意一点，5、设2xP为双曲线raV2 uuuunu21(a,b0)上任意一点，F1,F2是双曲线的左右焦点，若 PF1LF2的最小值b是-1,双曲线的离心率是 。(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线3B两点，过作右准线的垂线，垂足为 C,求证：直线AC恒过定点。分析:x2 7(1)Ty21 (2)先猜再证：(4,0)Xiyi4勺换掉x1代入韦达定理得证。方法二:4设AB:x=my+2代入方程得： (m2—3)y2+4my+=04mV2 —m31m2 32AC:y广(X3)v2=—x3 '2 2 1-my_2 力23(%y2)2myy2y2 12又2my1y2=- (y1+y2)然后代入22my11韦达定理得。6、在平面直角坐标系xOy中,Rt△ABC的斜边BC恰在X轴上，点B(—2,0),C(2,0),且AD为BC边上的高。(I)求AD中点G的轨迹方程；(II)若过点(1,0)的直线I与(I)中G的轨迹交于两不同点 P、Q，试问在X轴上是否存在定点uuuE(m,0)，使PEuuiuQE恒为定值入？若存在，求出点E的坐标及实数入的值；若不存在，请说明理由。分析：(1)1(v0)(2)m=17定值为色不容易先猜出，只能是化简求出。8 642的右焦点F且与E相交于P,Q两点。(1)uuu设OR(1)uuu设ORmuuuir(OPOQ),2求点R的轨迹方程。(2)若直线l的倾斜角为60，求1 1的值。（当1的倾斜角不定时，可证11是422解析：设A(y1y1),B(y2,y2),2p2ptan2ptan2p代入tan(y1y2得2p(y1y2)ym4p2(1)别为a和卩，当a、卩变化且a+卩=—时，证明直线|PF||QF| |PF||QF|定值。）分析：x22y2x0 （2）可先猜再证2、、Q解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。四、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。例1、已知A、B是抛物线y2=2px（P>O）上异于原点0的两个不同点，直线OA和0B的倾斜角分又设直线AB的方程为ykxb，则ykxb2y22pxky2py2pb0…yi…yiy22pbkyiy出，代入（1）式得b2p2pkk•••直线AB的方程为y2pk(x2p)•••直线AB过定点（-2p,2p）说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。2例2.[2010东城一模】已知椭圆C:笃a2占1(ab0)的离心率为—，以原点为圆心，椭圆的2短半轴长为半径的圆与直线xy2 0相切.⑴求椭圆C的方程;⑵设P(4,0),M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围;⑶在⑵的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点.c3 c2a2b2解析：⑴由题意知e- 3，所以e2二a2 aa2a24,b21，故椭圆C的方程为C:-y21.4-，即422a4b,又因为b—迄1,V1 1所以⑵由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为yk(x4)联立yk(x4)x2 2消去y得：(4k27y11)x232k2x4(16k21)0,(32k2)2 4(4k2 1)(64k2 4)20得12k 1 0,0不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是⑶设点N(n,yi),Eg,y2)，则M(n,yi)，直线ME的方程为y2由得①Xi『2(x2xj得xx2 ，将y1y2y1

32k2 64k24X2斗，X1X264為4代入②整理，得x1,4k1 4k1所以直线ME与x轴相交于定点(1,0).y2』(xX2),x2为x2 4(x1x2)xX2k(xi4),y2 k(X24)代入整理，得x1 x2 8【针对性练习1】在直角坐标系xOy中，点M到点Fi 3,0,F23,0的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点 A，不过点A的直线l:ykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q.⑴求轨迹C的方程;uuuUULT⑵当APAQ0时，求k与b的关系，并证明直线I过定点.解：⑴•••点解：⑴•••点M到.3,0， 3,0的距离之和是4,•••M的轨迹C是长轴为4,焦点在x轴上焦中为232的椭圆，其方程为-y21.4⑵将ykxb⑵将ykxb，代入曲线C的方程,整理得(14k2)x2 8「2kx4 0，因为直线l与曲线C交于不同的22两点22两点P和Q，所以64kb4(122224k)(4b4) 16(4kb1)0 ①设Pxi,yi,QX设Pxi,yi,QX2,y2 ,则Xi x282k14kX1X -2②14k且y1y2(kx1b)(kx2b)(k2x1x2)kb(x1X2)b2，显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A2,0，所uuu uur以APx2,yuuu uur以APx2,y,AQX2 2,y2 .由uuuuuirAPAQ0,得(Xi2)(X22)y°20.将②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0.所以(2kb)(6k 5b) 0,即将②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0.所以(2kb)(6k 5b) 0,即b2k或b6k.经检验,5都符合条件①，当b2k时，直线I的方程为ykx2k.显然，此时直线I经过定点2,0点.即直线l经过点A，与题意不符•当b6k时，直线5I的方程为ykx6kkx55 6显然，此时直线I经过定点 6显然，此时直线I经过定点 6,0点，且不过点A.综上,5k与b的关系是:且直线l经过定点6,0点.【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆X【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆X21的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点N(X2」2)，其中m>0,y10,y20。(1)设动点P满足PF2PB2 4，求点P的轨迹;、1一(2)设X12,X2 ，求点T的坐标；3

（3）设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（1）设点P（x解：（1）设点P（x,y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。22由PFPB4，得(x2)22y[(x3)]4,化简得x故所求点P的轨迹为直线x（2）将捲 2必1分别代入椭圆方程,3以及yi0,y2 0得：M5(2，)、320)9（2）将捲 2必1分别代入椭圆方程,3以及yi0,y2 0得：M5(2，)、320)9y0x350233y0x200193x710，y3710)o3(9,m)y0x3m093y0x3m093直线MTA方程为:，即直线NTB方程为:联立方程组，解得:所以点T的坐标为（3）点T的坐标为直线MTA方程为:，即直线NTB方程为:，即m.(x12m,

(x63)，3)。2,x分别与椭圆2,x分别与椭圆■9i联立方程组，同时考虑到x1 3,x23，解得：M（迴80m2)2m40m)、80m2N解得：M（迴80m2)2m40m)、80m2N(汀20m))o20m（方法一）当X,X2时，直线MN方程为:20m20m240m80m2x3(m220)20m2令y0，解得:X1。此时必过点D（1，0）；20m20m23(80m2) 3(m220)80m220m2当X当X1X2时，直线MN方程为：X1，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点所以直线MN必过x轴上的一定点D（1,0）。（方法二）若％!X2，则由2403m280m2匹£°及m0，得m210，20m此时直线MN的方程为X1，过点D（1，0）。40m若x1x2，则m2.10，直线MD的斜率kMD80m210m2403m22,1 40m802m20m直线ND的斜率kND 20m3m260d亍120m210m得kMDkND,所以直线MN过D点。40m2，因此，直线MN必过x轴上的点（1,0)。【针对性练习3】（2011年石景山期末理18）已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴

长为2“./3.（I）求椭圆C的标准方程；（n）若直线I:ykxmk0与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点 A•求证：直线I过定点，并求出定点的坐标.解：（I）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c,则2c2,2b2、、3, 解得a2,2■22b,3,abc,22椭圆C的标准方程为 —丘143220y~1(n)由方程组431消去y，得ykxm22234kx8kmx4m120.222由题意△8km434k24m212 0,由题意△整理得：34k2m2 0 ①设Mx1,y1>Nx>，y2，则Xi X28km2，4k2X1X24m21234k2由已知,AMAN,且椭圆的右顶点为A(2,0),即1k2x1x2km2x1 x22m40,2 4m2128km2也即1kkm2-m4 0,34k234k2整理得27m16mk4k20.解得m2k或m2k，均满足① 11分7当m2k时，直线I的方程为ykx2k,过定点(2,0)，不符合题意舍去;220.10分XiX2yM2k弓时，直线1的方程为y，过定点(2,0)2故直线1过定点，且定点的坐标为(7,0).13分2例3、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x4y的焦点，离心率e2「5，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线I，交椭圆于A、(I)求椭圆的标准方程；uujr(n)设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MAB两点。jiltuurMB)AB(川)设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N的坐标，若不存在，请说明理由。每1(ab0)，由题意知b1b三点共线？若存在，求出定点2Xa解法一：(I)设椭圆方程为22ab2

a(n)2代入—5由(则X1 x2JJIT，求m的取值范围;N，使得C、25l)得F(2,0)，所以0ma2 5故椭圆方程为2，设I的方程为yk(x2)(k0)1，得(5k220k25k2 1,X1X2ujurMAMB(x-!m,y1)uurQ(MAMB)20k25k2 1umr2m1)x2 20k2x20k2 52 -y15k1(X2my)uur ujuAB,(MA4k220,5k21UJITMB)jjj

AB(820k25 0设AX,yjB(X2,y2),(Xi0,5m)k2y2k(x1X2 4),y1y2k(x1x?)iuuX22m,%y2),AB区(X1X2 2m)(x2X1)(y2m0由k2—0,085mX1,y2%)(%85yi)y2)0UULT UUUMB)ABUULT UUUMB)AB成立。5N(—,0)，使得C、2N三点共线。依题意知C（xi,yi），直线BC的方8uuu当0m 时，有（MA5（川）在x轴上存在定点程为yy1Ql的方程为yyx2x-iyk(x(xxi)，2),A、B在直线I上，y1k(N2),y2k(X2 2)k(x( 1)x2yi(X2为)y2 y-k(x21)x.|k(x1x2)4kxi翌3y2y-2kx1x22k(x-|x2)

k(x-ix2)4k22k驾5k2,20kk—5k2120k25k214k5在x轴上存在定点N（—,0），使得CBN三点共线。2解法二：（n）2代入—5由（I)得F(2,0)，得(5k21)x2所以020k2m2。设I的方程为yk(x2)(k0),20k250设A(Xi,yJ,BEy2),则\o"CurrentDocument"2 220k2xx20k2 52,X1X2 25k1 5k1UULTUUUQ(MAMB)AB,|MA||MB|,Q..(x1m)2X1UULTy1y2k(X1X24)4k5k2y2k(x1X2)..(X2m)2y2,(X1X22m)(^X2)(% y2)(%曲0,k2)(x1X2)2m4k20,(85m)k2m08k288小 ・2 小8m 22)Qk0, k00m5k155(5k158UULTUULTUUU当0m时，有（MAMB)AB成立。55（川）在x轴上存在定点N（—,0），使得C、B、N三点共线。2UUUUUUT设存在N（t,0）,使得C、B、N三点共线，则CB//CN,UUU UHTTOC\o"1-5"\h\zQCB（X1X2,y2yJ,CN（t为，％）,区为）力（txj®y?） 02x1X2(t2)(X1X2)4t2220k 5\o"CurrentDocument"2x1X2(t2)(X1X2)4t2220k 5\o"CurrentDocument"2 25k2 1(t2)霍4t\o"CurrentDocument"5 5t2存在N（2,0），使得CBN三点共线。五、定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果， ；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）

先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。例4、已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在例4、已知椭圆的中心为坐标原点 O,B两点，OAOB与a(3,1)共线。(1)求椭圆的离心率;(2)设M为椭圆上任意一点，且OMOAOBR)，证明2 2为定值。解析:2x设椭圆方程为—a(a>b>0)，A(xi,yi)，B(x2,y2)，AB的中点为N(xo,yo),2X1a2X2a22y2b(2)设M为椭圆上任意一点，且OMOAOBR)，证明2 2为定值。解析:2x设椭圆方程为—a(a>b>0)，A(xi,yi)，B(x2,y2)，AB的中点为N(xo,yo),2X1a2X2a22y2b21,两式相减及1 X2 X1y2yi1得到yob2~2x0，a所以直线ON的方向向量为ON(1,b2-2ab2~2，a即a23b2，从而得e,63(2)探索定值 因为M是椭圆上任意一点，若M与A重合，则OMOA，此时1,2证明•/a3b2，椭圆方程为2 c 2x3y3b2，又直线方程为X1又设Myx3y2c3b24x226cx3c3b2X23c,2x1x2223c3b4y)，则由OMOAOBX1X2y1，代入椭圆方程整理得y22(xi3y12) 2(x；3y|)2(X1X23丫2丫2)3b2又•••x；3y23b2,x；3y| 3b2,X1X23y1y224x1X23c(x1X2)3c3c2(1)求椭圆C的方程;(2)5、已知，椭圆C过点A3两个焦点为(一1,0),(1,0)。E,F是椭圆CX1X23y1y224x1X23c(x1X2)3c3c2(1)求椭圆C的方程;(2)5、已知，椭圆C过点A3两个焦点为(一1,0),(1,0)。E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。解析：(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为94b21，解得b2 3，b2\17

去

舍2x所以椭圆方程为-42

y_31。(2)设直线AE方程为:yk(x1)(34k2)x2 4k(332k)x4(2k)2 120设E(XE,yE),F(XF,yF),因为点A(1,|)在椭圆上，所以Xf3 24(—k)12234k23yE kxE k2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以一K代K,可得Xf3 24( k)21222，34k2yE kxE3k2所以直线EF的斜率KEf兴 YeXeXfk(xFxE)2kXfXe即直线EF的斜率为定值,其值为将第二问的结论进行如下推广:22Xy结论1.过椭圆—+r=1(a>0,b>0)上任一点A(xo,yo)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于abb2xE、F两点，则直线EF的斜率为定值丁0(常数)。ayo证明：直线AE的方程为y-yo=k(x-Xo)，则直线AF的方程为y-y°二-k(x-x°)，22联立y-yo=k(x-Xo)和笃+爲=1，消去y可得ab(a2k2+b2)x2+2a2k(yo-kxo)+a2(yo-kxo)2-a2b2=o设E(xi,yi),F(x2,y2),则Xi+Xo=-2ak(yokXo)Xi222’,2设E(xi,yi),F(x2,y2),则Xi+Xo=-2ak(yokXo)Xi222’,2akXo-2aky。-bXo同理2|22ak+b222,2

akXo+2akyo-bXoa2k2+b2由xi-X2=-4a2kyoa2k2+b2'yi-y2=k(Xi-Xo)+yo+k(X2-Xo)-则直线EF的斜率为%-%=X|-x2b2Xo~2~

ayoX2=yo=a2k2+b2-4b2kxo~2~2 2,ak+b2X结论2.过双曲线—-a2爲=i(a>o,b>bo)上任一点A(Xo,yo)任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值bX(常数)。2ayo2E、F两结论3.过抛物线y=2px(p>o)上任一点A(Xo,yE、F两点，则直线EF的斜率为定值-卫(常数)。yo例6、【2oio巢湖市第一学期期末质检】已知椭圆的中心在原点，焦点 F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6.(I)求椭圆的标准方程和离心率e;(n)若F为焦点F关于直线y2的对称点，动点M满足晋｝e,问是否存在一个定点A，使M到点A的距离为定值？若存在，求出点 A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

解析：(I)设椭圆长半轴长及半焦距分别为解析：(I)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,由已知得a4,ac 6,解得a4,c2.22所以椭圆的标准方程为 —1.离心率e1612、九 丄MF(n)F(0,2),F(0,1),设M(x,y),由祚TOC\o"1-5"\h\zx2(y2)2 1x2(y1)2 2化简得3x23y214y150,即x2(y7)2(-)2\o"CurrentDocument"3 3其定值为故存在一个定点A(0,-)，使M到A点的距离为定值,其定值为3例7例7、【2010湖南师大附中第二次月考】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2,0)为定点.A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在(A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在(n)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动，点一条抛物线C,使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由.2 p p解析：(I)设抛物线方程为寸2px(p0)，则抛物线的焦点坐标为(上,0).由已知， 2，即22p4，故抛物线C的方程是y28x.(n)设圆心M(a,b)(a0)，点A(0,yj,B(0,y?).因为圆M过点P(2,0)，则可设圆M的方程为(xa)2(yb)2(a2)2b2.令x0，得y22by4a40.则力y2b,%y4a4.所以|AB|.(y1y2)2(y1y2)24y1y2 .4b216a16.，设抛物线C的方程为y2mx(m0)，因为圆心M在抛物线C上，则b2ma.所以|AB| 4ma16a16..,4a(m4)16.由此可得，当m4时，|AB|4为定值.故存在一条抛物2线y4x，使|AB|为定值4.例8、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值厂 42为21，离心率为e—•(I)求椭圆E的方程；HITULJUU(n)过点1,0作直线I交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M,MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(I)设椭圆2E的方程为笃a2爲1,由已知得:c.212a2c1(n)法一ujitMP(X1X1X2m(:①当直线12X2由~2-yyk(x(2k21)x2yyk2(x1b21椭圆E的方程为:假设存在符合条件的点M(m,0)UUJC UULTUUUUm,yJ,MQ (x2m,y2),MPMQx1x2)m2y1y2o。。。。5分的斜率存在时，设直线1得X22k2(x1)21)4k2x(2k22) 0X11)(X2 1)uuruuuu2k22所以MPMQ一2—2k1UJITMP对于任意的k值,5 UULT所以M(—,O),MP4uuuiMQI的方程为:X2k2[x1x2 (x14k22k21UUUUMQ为定值,，又设(X14k22k21,X1X2)所以1]2k2k21P(Xi,yJ,Q(x2$2)，则:m)k(xX2(X2m)1)，则2k222k2k22k21(2m24m22I1)k(m2)k2222m4m1 2(m 2)②当直线I的斜率不存在时，直线I：x1,x1x2 2,x^x21,yw25UULT由m得MP4uuuu7MQ—16综上述①②知,符合条件的点:假设存在点M(m,O)，(X1m)(X2m)I的斜率不为0时,法uiruuuiMPMQ5M存在，起坐标为(-,0)4又设P(x1,yJ,Q(x2,y2),则:13分UULTMP(x.UUUUm,yJ,MQ(x?m’y?)①当直线2

X由2XtyX1X2(ty1丫也二乂冷m(x1设直线I的方程为12得(t2)y22ty10y111)(ty21)t2y“2 t(y1y2)y2X2)xtyX1 X2t(y1y2)2m y』2….2t”尹1y2t22t2t2 2t2 2uuir

MPuuni

MQ2t2UUIT设MPuuiu

MQ2t22则曲222t2t42t4mt2 2)t222mt242—

t1

t2

4m12(m21

t222t2222)t2m4m1(m2(m22)t222m24m1(t22))t22m24m1 2 02m2m4m54 5M(—,0)11分7 4②当直线I的斜率为0时，直线l:y0,由m(5,0)得：TOC\o"1-5"\h\z讥uuu—5 - 5 25 7MPMQ(2 -)( 2 -) 24 4 16 165综上述①②知，符合条件的点M存在，其坐标为(-,0)。。13分4六、定直线问题22例9、设椭圆C:笃爲1(ab0)过点M(、.2,1)，且焦点为Fi(.2,0)ab(i)求椭圆C的方程；(n)当过点P(4,1)的动直线I与椭圆C相交与两不同点代B时，在线段AB上取点Q,满足uuuuuuAPgQBuuruuuuuuuuuAPgQBuuruuuAQgPB，证明：点Q总在某定直线上解析：(1)由题意:c2 2211，解得a4,b2，所求椭圆方程为ab22.2cab⑵设点⑵设点Q(x,y),A(x1,yjBg,y?)，由题设,uuurnPAPB-uur-uuu-AQQBPA,PB,AQ,QB均不为零。又P,A,Q,B四点共线，可设urnPAuuiruuuAQ,PBuiurBQ( 0,1),于是4x1yX1,y1(1)114x1yX2,y2(2)11且22由于A(X1,yjB(x2,y2)在椭圆C上，将(1),(2)分别代入C的方程x2y4,整理得(x22y24)24(2xy2)140(3)(x22y24)24(2xy2)140(4)⑷一(3)得8(2xy2) 00,a2xy2 0,即点Q(x,y)总在定直线2xy2 0上例10、已知椭圆C例10、已知椭圆C的离心率e3~2，长轴的左右端点分别为A1 2,0,A22,0。(I)求椭圆变化的方程；（H）设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线Af与A?Q交于点S。试问：当变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（I）设椭圆•a2•a2,eC35-222.3,bac1。•••椭圆C•••椭圆C的方程为了(n)取mo,得P1,-32,Q1,i3，直线A1P的方程是y^"x 3直线A直线A2Q的方程是y3,交点为S4,-.3.，由对称性可知交点为 S24, 3.若点S若点S在同一条直线上,则直线只能为 I:x4。以下证明对于任意的 m,直线AiP与直线A2Q的交点S均在直线l:x4上。事实上，由my2my12“24y4,即m42my30，记PX1,%,QH2，则y1y22m3m以下证明对于任意的 m,直线AiP与直线A2Q的交点S均在直线l:x4上。事实上，由my2my12“24y4,即m42my30，记PX1,%,QH2，则y1y22m3m2 4。设AiP与l交于点S0(4,yo)，由y。42x1答,得yo6y1x1设A2Q与l交于点So(4,yo),由兀X22y2X210Qyo yo6y12y2 6y1my?12y?my134my1y2 6y1y212mm2 4X1 2X2 212mx1 2x2 212分X12X2 2x1 2x2.yoyo，即So与So重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线I:x4上。13分解法二：（H）取m0,得p1,于，Q4,于，直线A1p的方程是yA2Q的方程是y3x、3,交点为S14,3.283取m1,得P5,5,Q0,1，直线A1P的方程是yr?直线A2Q的方程是yr1,交点为S24,1.•••若交点S在同一条直线上，则直线只能为以下证明对于任意的m,直线AiP与直线A?Q的交点S均在直线l:x4上。事实上，由2X4Xmy22my14y4,m2 4y22my30记PX1,y1,QX2』22my1y2 =,y1y2m4A1P的方程是y―里X1①以下用分析法证明 X3y1my2 12my1y23y1解法三：(n)记PXi,yi,QA1P的方程是y1x1 2,A2Q的方程是y土2,消去y,得y2

x2 2y2Xi4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明y2my13,即证2myw23y1y?6my2齐m2X2

由7yxmyX2,y2，则6mmyy1y2 2m0,•②式恒成立。这说明,当m变化时,2214y2m4,y1y2224,即m4y3m2 4°2my亠Xx1 22,A2Q的方程是2,得亠2, X122 y1X2八，八2 22g __y1X22\o"CurrentDocument"3 2m2m「^ 3「 y1m4m42厂c2m\o"CurrentDocument"3—2 ~y1m4yiy22 —X2 22gy2my13y2my1 3y1—4.这说明，当m变化时，点S恒在定直线I:x五、其它定值问题『1my? 1y1my2 12严1y23y23y2y14上。X26y1 2y2x1 2x2 2点S恒在定直线I:xyi12分13分22_例11、已知双曲线C:乡七1(a0,b0)的离心率为 3，右准线方程为ab,即证4上。(I)求双曲线C的方程;22(n)设直线l是圆O:xy2上动点P(x),yo)(xoy°0)处的切线，|与双曲线C交于不同的两点A,B，证明AOB的大小为定值.解析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.a 3(I)由题意，得c••3xo4o，设••3xo4o，设A、B两点的坐标分别为 ,x2,y2,C晅a2•••b2c2a22,•••所求双曲线C的方程为x2—1.22 2(n)点PXo,y°x°yo0在圆xy2上，圆在点PXo,yo处的切线方程为yyo —xx°yo22y彳化简得xoXyoy2•由X1^22 及Xo2 cyo 2得XoXyoy23xo4x24xoX82xf0①3x(4y28yoX82xo0②2•••切线I与双曲线C交于不同的两点A、B，且0Xo2,82x23xo4,y』22x282，3xo4AOB的大小为90.uuuuuuAOB的大小为90.•OAOBxxy(y2 0,22xyP1P2、例12、己知椭圆—r1(a>b>0)P1P2、abQ1Q2,求证：以两条直径的四个端点所成的四边形探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，贝UP1Q1P2Q2与一定圆相切。A2B2的方程为感谢下载载-y1，原点O到直线A2B2的距离为rababa2b2则与菱形AB1A2B2内切的圆方程为X22Jab~2 r~2。a b证明:设直径P1P2的方程为kx,则Q1Q2的方程为y2X-2akx2

y_

b2解得2,2ab~2 2~2bak■22,2kabakb2同理OQ22=(k22a221)abb2k2，作OH丄P2Q2贝UOH又四边形P1Q1P2Q2是菱形,OP22(k2

■p1)a2b2-2|2

akI0P2II0Q2IJ|OP2『g|2菱形P1Q1P2Q2必外切于圆Xaba2b22j2aby -2 ~2.ab例13、已知P(Xo,yo)是双曲线xya2(ao)上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点(异于P点)，求证：直线P1P2的方向不变。2探索定值：取P(Xo,—)，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线Xo与曲线的另一个交