二重积分的对称性及其应用

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第6卷第4期2006年12月湖南冶金职业技术学院学报

JournalofHunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege

Vol.6No.4Dec.2006

二重积分的对称性及其应用

黄萱平

(湖南冶金职业技术学院,湖南株洲,412000)

摘要:证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称性;在二重积分计算中,增强对称性的使用意识,利用对称性简化解题过程。

关键词:二重积分;对称性;计算

中图分类号:0172.2文献标识码:A文章编号:1672-7142(2006)04-516-03

与定积分相比,重积分的计算显得困难得多,

仅就二重积分来说,按常规解法既要根据积分区域选择积分次序,还要正确地定好积分上下限二重积分转化为二次积分合理地搭配,,,提高解题效率。

二重积分的对称性有两种:变量轮换对称性和奇偶对称性。

一、变量轮换对称性

定理1.若f(x,y)为区域D上的连续函数,区域D关于直线y=x对称,则

定理(1)x(或y)轴对称1在y)的部分,f(x,y)dxdy=

D

0f(x,y)关于y(或x)为奇函数,2

κf(x,y)dxdyf(x,y)关于y(或x)为偶函数.

D

1

(2)若积分区域D关于x,y轴均对称,设D1

是D在第一象限的部分,则

κf(x,y)dxdy=

D

0f(x,y)关于x或y为奇函数,4

κf(x,y)dxdy=κf(y.x)dxdy.

D

D

κf(x,y)dxdyf(x,y)关于x和y均为偶函数.

D

1

证明:在直角坐标系下,不妨设区域D是X-型区域,D由曲线y=φ1(x)和y=φ2(x)围成(aΦxΦb,φ2(x)ΦyΦφ1),且D1,D2分别是区域D在直线y=x的左、右两侧部分.(D为其他情形时可分块转化成若干个X-型区域或Y-型区域,并利用可加性证之).

因为D1和D2关于直线y=x对称,所以,有

(3)若积分区域D关于原点对称,设D1是D

的右半平面或上半平面部分.则

κf(x,y)dxdy=

D

0f(x,y)关于(x,y)为奇函数,2

κf(x,y)dxdyf(x,y)关于(x,y)为偶函数.

D

1

κ

D

f(x,y)dxdy=

b

dyf(x,y)dx∫∫φ(y)

a

b

φ2(y)

1-1

-1

证明:(1)在区域D关于x轴对称的条件下,仅证明D为X-型区域时的情形.设D由不等式

φ2(x)ΦyΦφ1(x)确定,D1,D2分别是区aΦxΦb,

域D在x轴上方、下方部分,则有

D

2

==

dxf(y,x)dy(换元:y=x)∫∫φ(x)

a

φ2(x)

1

dxf(y,x)dy∫∫φ(x)=f(y,x)dxdyκ

a

b

φ1(x)

2

κf(x,y)dxdy

dx

∫∫=dx∫∫=

a

2

b0

φ(x)

f(x,y)dyf(x,y)dy

D

b

二、奇偶对称性

a

-φ(x)

1

收稿日期:2006-10-08

作者简介:黄萱平(1955-),女,湖南长沙人,湖南冶金职业技术学院基础课部教师。

第4期

黄萱平:二重积分的对称性及其应用

b

517

∫∫f(x,-u)du(换元:y=-=dx

∫∫f(x,-u)du=dx

∫∫f(x,-y)dy(换字母)=

κf(x,-y)dxdy

=-a

dx

φ(x)

1

u)

b

φ(x)

1

a0

对积分区域关于坐标轴对称,同时被积函数关于变量具有奇偶性的二重积分,应当考虑运用奇偶对称性来简化二重积分的计算。

例2.计算二重积分

2

b

φ(x)

1

a0

κ(x+y)dxdy,其中D

D

D

1

由二重积分的可加性,得

为抛物线y=x,y=4x及直线y=1所围成的区域.[2]

2

κf(x,y)dxdy=κf(x,y)dxdy+κf(x,y)dxdy

D

D

1

D

2

==

κf(x,y)dxdy+κf(x,-D

y)dxdy

1

D

1

κ[f(x,y)+f(x,-D

y)]dxdy

1

所以,有f(x,y)dxdy=

D

κ

0f(x,y)关于y,2

κf(x,y)(y.

D1

D)关于y轴对称,虽然f(x,y)关于变量并不具有奇偶性,但偶函数,应用

κxdxdy与κydxdy分别关于x为奇、

定理2(1),有xdxdy=0,ydxdy=2ydxdy

κκκ

D

D

D

D

D

1

y(2),(3)两种情形.

怎样应用对称性简化二重积分的计算呢?例1.设区域D为x2+y2ΦR2,求

2[1]2)dxdyb

κ

D

(2+a

2

(其中D1为D在y轴右侧的部分)

由此可得

解:积分区域D关于直线y=x对称,且函数f(x,y)=1,有

2+2在D上是连/news/FA76BBE5647EA5E4.html续的.所以,利用定理ab

2

2

22

κ(x+y)dxdy

=

κxdxdy+κydxdy=2ydxdy

κ

D

D

D

D1

κ

D

(2+2)dxdy=ab

κ

D

(2+2)dxdyab

22

=2

1

y2dy=

5

从而,

=====

κ)dxdy+([(++

κab)dxdy]2κab

(x+y)+(x+y)]dxdy[

κ2ab()(x+y)dxdy)+2abκ()θrdr+d2ab∫∫

D

22

(2+2)dxdyab

2

22

2

222

在计算这类二重积分时,容易得知被积函数

关于变量是否对称或是否可以转化为关于某个变量对称,但积分区域

D是否关于坐标轴对称,却常常需要作出图形观察后才能确定。

例3.设D是xoy平面上以点(1,1),(-1,1)和(-1,

-1)为顶点的三角形区域.

2

DD

2

22

2

22

D

22

22

D

2π0

R

22

3

πR4(2+2)4ab

若直接采用极坐标系去求解,则需要用到三角公式,计算较繁.而抓住被积函数与积分区域的特点,利用变量轮换对称性将被积函数化为简单的函数x2+y2后,再利用极坐标系化为二次积分,

使得二重积分计算化繁为简。

求κ(xy+cosxsiny)dxdy

D

作出积分区域D(如图)观察知,它关于坐标

518湖南冶金职业技术学院学报

=2

10

2

第6

卷

轴并不具有对称性,是否能用奇偶对称性解决问

题呢?

解:将区域D划分为D1和D2,则D1,D2分别关于x轴、y轴对称,由于被积函数中的xy在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的奇函数;cosxsiny在区域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的偶函数,所以应用奇偶对称性,有

sinydy∫

=1-

sin22

细心观察积分区域图形,善于将积分区域进行划分,变不对称为对称,并利用可加性将被积函数进行合理的组合、搭配,有意识地应用二重积分的奇偶对称性,使计算量大大减少,从而简化了二重积分的计算。

在二重积分计算问题中,所要研究的数学对象常常会是:有些具有对称性,有些隐含对称性,也有些却并不具有对称性,但在解题过程中,我们都需要具有对称性的使用意识,即使对一些不具有对称性的数学对象,,,,优化解。

κxydxdy=0,κxydxdy=0,

D

1

D

2

κcosxsinydxdy=0,

D

1

κcosxsinydxdy=2κcosxsinydxdy

D

2

D

3

(其中D3为D2在y轴右侧的部分)

从而(xy+cosxsiny)dxdy

D

κ

=

κD

1

D

1

D

2

参考文献

[1]毛纲源.考研数学第一版〔M〕.武汉:华中科技大学出版社,

2004.

[2]陆璇.高等数学全版辅导〔M〕.北京:学苑出版社,2001.

κcosxsinydxdy

D

2

=2=2

κcosxsinydxdy

D

3

dycosxsinydx

∫∫

1y

SymmetryofDoubleIntegralandItsApplication

HUANGXuan-ping

(HunanMetallurgicalProfessionalTechnologyCollege,ZhuzhouHunan412000,China)

Abstract:Thepaperdemonstratesthevariablerotatingandevenparityofdoubleintegra.Indoub