概率模型的应用毕业设计

PAGEPAGE20分类号：O1—647西安文理学院学士学位论文概率模型的应用学院名称数学与计算机工程学院指导老师杨花娥学生姓名王丹学生学号02101100342专业班级数学与应用数学10级2班提交时间二O一四年五月西安文理学院数学与计算机工程学院目录TOC\o"1-2"\h\z\u摘要 3引言 41.概率模型在数学中的应用 41.1构造概率模型证明问题 41.2构造概率模型求解代数问题 82.概率模型在生活中的应用 112.1福利彩票 112.2分房问题 132.3解析久赌必输 15结束语 18参考文献 18致谢 19概率模型的应用王丹（西安文理学院数学与计算机工程学院,陕西西安，710065）摘要：概率论是一门用途广泛的数学学科，概率模型的应用既是难点也是体现其活力的一面。概率模型的应用，即用概率论的思想方法，构造恰当的概率模型来解决遇到的问题，体现了其思想方法的简洁性和独特性。论文主要讨论概率模型在解决数学问题和实际生活中的应用。通过讨论可以感受到数学知识和应用的联系，体会到数学知识给我们带来的种种好处。关键词：概率论；概率模型；构造；应用TheapplicationofprobabilitymodelWangDan（DepartmentofMathematics,Xi’anUniversityofArtsandScience,Xi’an710065,China）Abstract:Probabilitytheoryisawidelyusedmathematicaldiscipline,theapplicationofprobabilitymodelisnotonlythedemonstrationofitsdifficultybutvitality.Applicationofprobabilitymodel,whichapplysthethinkingmethodofprobabilitytheoryandconstructstheappropriateprobabilitymodeltosolvetheproblemsencountered,andembodiesthesimplicityanduniquenessofthinking.Thispapermainlydiscussestheapplicationofprobabilitymodelinsolvingmathematicalproblemsandpracticallife.Thispaperbringusabetterunderstandingofthecontactbetweenmathematicalknowledgeandpracticalapplicationaswellasexperiencingthebenefitsofmathematicsknowledgebringtous.Keywords:Probabilitytheory;Probabilitymodel;Structure;Application引言半个世纪以来，随着数学学科突飞猛进的发展，概率论获得了举世公认的进步，并以其独特的思想方法、丰富的内容、严谨的理论被广泛应用于金融、经济、生物和其它数学分支中。概率论所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性、条件概率、随机变量、概率分布、正态分布和方差等等。概率应用的基本方法是根据大量同类随机现象来统计规律，并对随机现象出现某一结果的可能性做出客观的科学定义,对可能性的大小做出数量上的描述，通过比较这些可能性的大小，研究随机现象之间的联系。概率模型是概率论的重点之一，随着科学技术的发展与计算机的普及，概率模型已广泛应用于各行各业，成为数学科研、研究自然科学、社会现象、处理工程和公共事业的有力工具。应用概率模型可以将复杂的问题形象化、简单化，其旨在简化、清晰运算过程，同时帮助学者锻炼思维，培养创新意识。本文着重从数学和实际生活应用两个大的方面来举例说明概率模型应用的广泛性及重要性，即针对需要解决的问题应如何转化成概率模型问题，并建立模型得以解决。1.概率模型在数学中的应用1.1构造概率模型证明问题数学问题的证明是数学研究中的重要内容,其证明方法多种多样,用概率论的知识解决一些以确定性现象为主要研究对象的数学学科中的问题也是其方法之一。本章节将举例说明如何利用概率模型思想与方法证明一些数学中的问题，一方面可显示出概率模型思想与方法在数学解题中的简明性,另外也表现了数学分支之间的深刻联系。利用概率思想与方法的关键是根据不同的数学问题建立相应的概率模型,然后利用概率论中的相关知识,证明相关问题。例1证明：这个组合数的和直接计算很难，用一般的方法证明这个等式（如代数化简）十分麻烦，而用概率模型来解决就简单了。先将等式变形为，这可看作是一些概率的和，注意到它们是n+1和n组合数的和。为便于构造概率模型同除以得，于是我们构造概率模型如下：甲掷n+1枚硬币，乙掷n枚硬币，求甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数的概率。解法1以表示甲掷出的正面次数，表示乙掷出的正面次数，则P（甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数）=解法2以A表示甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数的事件，则表示甲掷出的正面次数不大于乙掷出的正面次数事件，由于甲掷n+1枚硬币，乙掷n枚硬币，所以=“甲掷出的反面次数大于乙掷出的反面次数”，由于硬币的均匀性，所以=“甲掷出的反面次数大于乙掷出的反面次数”=“甲掷出的正面次数大于乙掷出的正面次数”=A，所以，即P(A)=由1、2两种解法可得：=P(A)＝这两种解法都是易于接受的，而把它们结合起来是不容易的，这就需要细心的观察和钻研。例2证明：.这两个组合数和的等式用一般的方法证明都是很困难的，对于或直接计算很难得到结果。为了证明两等式，可以将两等式先分别变形为=1或.前一个式子可看作是一些概率值的和，既然可以把看作是某事件或者某随机变量取值k的概率，那么后一个式子就可看作某随机变量的数学期望，于是我们构造如下的概率模型：口袋中装有m只黑球和n只白球，现在依次从口袋中取球，每次取一只，取后不放回，直至取到黑球为止。以表示取出白球的只数。则P解法说明：将m+n只球一一取出，依次排成一列，每只球占一个位置，共有m+n个位置，样本点总数相当于这些排法总数。要完成这种排列，只要在m+n个位置中安排m个白球的位置即可（其余n个位置一定都是黑球），所以样本点总数=“在取得一只黑球前以取出k只白球”这相当于在m+n个位置的排列中前k个位置上均排白球，第k+1位置上排黑球，其余的m+n-k-1个位置上任意安排其余的m-1只黑球和n-k只白球，因此，共有种排法。因为1=所以按数学期望定义有（1）另一方面可以这样求：将n只白球分别编号为1,2，…n.m只黑球分别编号为n+1,n+2,…,m+n.我们来考虑以取得第i号白球而终止取球事件。由于每次取出的球只是黑、白这两种球，若取出的是黑球有m种（m只黑球任取其一），若取出的是白球，由于考虑的是以取得第i号白球而终止的，所以只有1种（第i号白球），那么样本点总数是m+1，有利场合数是1。所以P（以取得第i号白球而终止）=。以表示取球终止时第i号白球被取出的次数，i=1,2,…,n，则，所以联合（1）式可得：这里求的数学期望的第二种方法是个难点。先将分解成n个随机变量的和，把问题转化成求每个的数学期望的问题，相对来说求的数学期望是比较难想的，这就需要学者的钻研和大量知识的积累。例3证明：当这是个条件极值问题，在微积分中可以用Lagrange乘数法证明，但是运算量较大，而用构造概率模型的方法则容易解决，其作法如下：(a)如果诸i=1,2,…,n,各不相同，我们构造概率模型如下：因为且=所以即因为则有即(b）如果有某些相同，比如，i=6,7…,n各不相同。我们只要作即可。事实上，EY=EY由于所以结论依然成立。在这个问题中容易忽视的是诸，i=1,2，…，n中有相同的情况，因为分布列中诸，i=1,2，…,n是各不相同的，所以这种情况必须构造形如的分布对于前两个问题也可以看成是用概率模型求和的问题，事实上这两个问题中的三个等式都是学者在学习中探索一题多解时总结出来的。比如，最初是这样的一个问题：口袋中装有m只黑球和n只白球，现在依次从口袋中取球，每次只取一只，取后不放回，直至取到黑球为止。求取得一只黑球时平均已取出多少只白球？由数学期望的定义得到这个数是：，要直接算出这个和是不容易的，为了计算出它，想到了数学期望的性质，按另一种解法得到这个数学期望的值：，于是。由此看来，如果我们在学习中善于发现、多加总结，那么将会有利于我们的探索精神和研究能力的提升，并激发学者的创造热情产生积极影响。1.2构造概率模型求解代数问题用概率求解代数问题的主要思路是：针对所求解的代数问题，建立适当的概率模型，求出相关事件的概率，从而得到所要的结论。本章节通过例题分析，探求概率模型在解代数问题中的应用。1）在数列方面的应用例4求数列的和，其中n，N都是正整数且N＞n。解构造随机试验如下：用概率解代数问题的主要思路是：针对所证明的代数问题，建立适当的概率模型，求出有关事件的概率，从而得到所要的结论。本小节通过例题分析，探求概率模型在解代数问题中的应用。1)在数列方面的应用把“第k次才首次取到白球”记为事件，则的概率为：因为只有N-n个黑球，所以k=1，2，…，N-n+1，而（k=1,2,..,N-n+1）是一组互不相容的完备事件组，故即所求数列之和为1.例5求无穷数列之和。解构造随机试验：假设独立地抽无限多个硬币，其中第i个硬币出现正面的概率为，设{第i个硬币出现正面}，则且相互独立，所以又因为故所求数列之和为。把例1的随机试验稍作修改还可以得到如下一般的结论：设，i=1,2,…则=1利用例2的结论，很容易计算诸如下列数列之和：（2）求（3）求2）构造概率模型计算积分正态分布是概率论中的重要分布，用正态分布的性质计算积分不但可以使积分运算的过程简单化，而且还能解决微积分中原函数无法用初等函数表示的积分运算。例6计算二重积分I=其中D为椭圆＞0解建立概率模型：设（）服从二维正态分布，此二重积分恰为（）落在椭圆内的概率，其中相互独立且于是于是概率为。例7设上的有界连续函数n=1,2，….求证明设重贝努里试验中事件A发生的次数，则P{=k}=，k=0,1，…,n,于是又由于f(x)在[0,)上连续，所以对令M=，由全数学期望公式得由辛钦大数定理知，当时有（0）.于是，对上述的>0及，当n时，有因此，当时，故用概率论的思想，构造适当的概率模型来解决其他数学分支中的问题，是概率论的研究方向之一。利用概率的有关概念、性质、公式、定理等再结合一些其它数学问题恰当地构造出概率模型，使问题得以解决，是我们在数学研究中常用的方法。同时我们还发现，在运用概率的思想方法解决问题时，其思想方法的独特性、简洁性，是我们数学学者在教学研究中值得运用的方法。2.概率模型在生活中的应用现如今，数学知识与生活应用的联系越来越紧密，概率模型作为数学学科的一大分支，在实际生活中扮演着重要的角色。概率模型常被用于解决我们遇到的公平问题、利益问题、博彩问题等等。本章节简单的介绍了概率模型在福利彩票、分房问题以及博彩问题三个方面的应用。2.1福利彩票1）数学原理：概率与统计学起源于古代赌博游戏，在概率统计中古典概型常常被应用于估计推断博彩的中奖可能性。古典概型的计算原理是：事件空间是由m个基本事件总数组成，且这些基本事件具有同样性质时，事件A中所含的基本事件数(有利事件数)为a个，以P(A)表示事件A的概率，计算公式是：P(A)=a/m，用P(B)表示事件B的概率，若P(A)>P(B),则事件A发生的可能性较B的更大些。

2）举例并解答：

例8某一福利彩票，从01—37号码中任意选择7个不同的号码作为一注进行投注，2元买一注，每一注填写一张彩票，每张彩票由6个数字号码和一个特别数字号码组成，每个数字均可填写所选数字中的一个，与当期开奖开出的6个基本号码中的某些或另加特别数字号码相同(“号码相同”指“无序排序、不重复”)，即中不同等级的奖。每期设六个奖项。当期每注投注号码只有一次中奖机会，投注者开出奖号—6个数字号码，另加一个特别数字号码，中奖号码规定如下：彩票上填写的6个数与开出的6个数完全相同，而且特别号码也相同—一等奖；6个数完全相同—二等奖；有5个数字相同，而且特别号码也相同—三等奖；有5个数字相同—四等奖；有4个数字相同，而且特别号码也相同—五等奖；有4个数字相同吗，或者有3个数字相同，而且特别号码也相同—六等奖。

每一期彩票奖金：三、四、五、六等奖的奖金固定，一、二等奖奖金浮动。例如，如果基本号码是“******”，特别号为“△”，那么各等奖项的中奖号码和每注奖金，如下表1所列表1各等奖项的中奖号码数和相应的每注奖金表奖级中奖条件奖金分配基本号码******特别号码△一等奖******△当期高等奖奖金的80%与奖池中积累的奖金之和二等奖******当期高等奖奖金的20%三等奖*****△单注奖金额固定为2000元四等奖*****单注奖金额固定为300元五等奖****△单注奖金额固定为100元六等奖****单注奖金额固定为10元***△其中一、二等奖为高奖等，三至六等奖为低奖等，高奖等采用浮动设奖，低奖等采用固定设奖，当期总奖金减去当期低奖等奖金为当期高奖等奖金，单注彩票奖金封顶的最高限额为500万元。

分析中奖概率：（以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率）

基本事件总数(无顺序、无重复数、基本号码由6个数组成，特别号码只有一个数)共有两种情况，其中一种，有特别号码：在37个数中任取6个数作为基本号码，再在剩余的37-6=31个数中任选出1个数作为特别号码m==72068304种可能。另一种情况，无特别号码：在37个数中任取6个数作为基本号码有=2324784种可能。

一等奖的中奖概率为二等奖的中奖概率为三等奖（有特别号码）中奖率四等奖（无特别号码）中奖概率五等奖（有特别号码）六等奖有两种情况：当无特别号码时的概率当有特别号码时的概率所以，合起来每一注总的中奖率为：或者分析小结：通过对本例的研究，我们可以了解到：每1000注彩票，约有1至3注中奖(包括高等奖到低等奖)，而中一等奖是七千万分之一，中二等奖是两百万分之一。由此可见，通过博彩来赚钱并不合算，猜中大奖的可能性是很小的，从纯数学的角度讲，概率低于1／1000就可以忽略不计。实际上，只有极少数人能中奖，购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，也不应把它当成纯粹的赌博行为。只能将其作为一种娱乐方式，也可以此为公益事业做贡献、献爱心，达到“扶老、助残、救孤、济困”的目的，从而使我们在购买彩票的活动中更具理性。2.2分房问题1）问题提出的背景问题1将并排的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以进入任一房间,且进入各个房间是等可能的,求每个房间恰好进去1人的概率?分析:由于每个人进入任一间房是等可能的,那么第1个人进哪一个房间有5种可能,第2个人进入哪一个房间也有5种可能,根据分步计数原理,5个人进入5个房间共有种可能。而所求问题“每个房间恰好进去1人”相当于5个人进行一个全排列,其排法为；所求事件“每个房间恰好进去1人”的概率P=在此问题中人数与房间数一样,假若人数不多于房间数,问题1又怎样呢?从而引申出一个新的问题。2）问题的变式问题2将并排的5个房间安排给3个工作人员临时休息,假定每个人可以进入任一房间,且进入各个房间是等可能的求恰好有3间房其中各住一人的概率?分析:将3个人分配到5间房中,由题意中的等可能性知共有种分法;而恰好有3间房其中各住一人的分法数,应先从5间房中出3间共有种,然后将3个人分到选出的3间房中,(其中各住一人又有种分法,由分步计数原理共，即有种分法,所求事件概率P==0.48.以上问题的数据具体、特殊,适用性不够广泛,需进一步探究问题的一般性,把问题进行推广。3）问题的推广（模型的建立）问题3(分房问题)有n个人,每个人都以同样的概率被分配到N间房的任一间中求“恰有n间房其中各有一人”的概率？分析:把n个人分配在N间房中共有种分法,而恰有n间房中各有一人的分法数为种，因此“恰有n间房其中各有一人”的概率为P=分房问题这一数学模型概括了许多同类型的概率问题,我们要学会从千变万化的实际问题中看出其共性。若把365天看作365间房子,可研究生日问题；若把各公共汽车站看作房间,可研究旅客下车问题；若把各楼层看作房间,可研究乘电梯问题…4）模型的应用问题4(生日问题)某班级共有50名同学,问至少有两个人的生日在同一天的概率是多少?分析:假定每个人的生日是一年中的任何一天的概率均为1/365,把365天看作365间房,那么50个人的生日情况共有种可能设事件A=“50个人中至少有两个人的生日在同一天”，对立事件B=“50个人生日全不相同”相当于分房问题中“365间房中恰有50间房其中各住一人”而由对立事件概率公式P(A)=1-P(B)因此至少有两个人的生日在同一天的概率P(A)=1-问题5(乘公共车问题)某市某路公共汽车从起点站到终点站共11个站,假定在起点站上去5位乘客,车在每站都停,乘客从第二站起每站下车的可能性一样,求没有两位及两位以上乘客在同一站下车的概率?分析:由于起点站不下车,把其余的10个站看作10间房,问题归结为分房模型来求解;而事件“没有两位及两位以上乘客在同一站下车”等价于事件“5位乘客在不同的车站下车”,即“恰好有5个站其中一人下一个站”，所求事件概率为以上对分房问题这一概率模型的研究性学习，一方面我们发现分房模型的应用是比较广泛的，其开放性还可进一步拓展，综上所述只要我们抓住“分房问题”的本质属性，分析结构特征，发现构成规律，善于合理构造“房间”，化未知为已知，逐步实施转化，这对提高我们分析问题及解决问题的能力是大有裨益的。2.3解析久赌必输博彩这项活动自古就有，庄家利用人们对财富的向往以及侥幸心理，诱惑人们参与赌博，并越陷越深，最终一贫如洗，家破人亡。目前，在农村最盛行的是地下六合彩。地下六合彩就是香港的六合彩，在大陆尚未发行，一些人就私自坐庄开码。六合彩一共49个数字，分别挂靠在十二生肖下面。除去猴子生肖下面是5个数字外，其他十一个生肖下面都是4个数字。比如，鼠下面的4个数字是：9、21、33、45，这4个数字又分别代表野马（9）、野羊（21）、野狗（33）、野老虎（45）。每次开奖开出7个数字，其中前6个数是随机摇出来的。第7个数是特别号码，早就定下来的，地下彩民买的就是特码。买特码相当于概率中的“49任选1”，中奖概率为，而赔率定为1赔40，很明显，庄家占有势。即使是我国公开发行的体彩“32选7”，一张票2元，头等奖为500万，但头等奖中奖率仅为。也就是说，你把所有的号全买下来，必然是亏的。这些道理，可以通过一个简单的数学模型来解释，接下来我们从概率的角度解析“久赌必输”。1）概率模型的构建与计算考虑一个简单的数学模型：假设“彩民”的初始资金为n，每赌一次的结果为输或赢，资金分别变为n+1和n-1，设每赌一次输的概率为１－，赢的概率为（0＜＜1）。求一直赌下去资金变为0的概率是多少？假设从n开始一直赌下去变为0的概率是T（n），那么有：T(n)=1；T(n)=（1-）T（n-1）+T（n+1），（1）其中n＞0，（1）式相当于数n以1-的概率变成n-1，以的概率变成n+1。首先，考虑当=1/2，即每赌一次，输或赢的概率各为50%。那么（1）式变为或设T（1）的值为a，那么显然0＜ａ≤1.利用T（n+1）＝2T（n）-T(n-1)，有T(1)＝ａ；T(2)=2a-1；T(3)=2（2a-1）-a=3a-2;T(4)=4a-3;…;T(n)=na-n+1=n(a-1)+1.因为对于任意的n（n>0）,T(n)0成立，所以a必须为1.于是证明了T（1）=1.同样的过程可以得到T(2)=1，…,T(n)=1.由此可知，赌徒把钱输完的概率为1.其次，考虑当1/2时的情形。由T(n)=（１－）T(n-1)＋T(n+1)，得T(n+1)=T(n)-T(n-1)+T（n-1）于是有T(2)=T(1)-T(0)＋T(0)；T(3)=T(2)-T(1)＋T(1)；T(4)=T(3)-T(2)＋T(2)；T(5)=T(4)-T(3)＋T(3)；…T(n)=T(n-1)-T(n-2)+T(n-2)；T(n+1)=T(n)-T(0)+T(n-1).以上等式累加得：T(n)+T(n+1)=T(n)-T(0)＋T(0)＋T(1)。于是变形为T(n+1)=若令A=和B==a-A，有T(n+1)=AT(n)+B。通过再次变形，可得T(n+1)=A[T(n)+C]，其中C=。根据等比数列求和公式，易得T(n)+C=T(1)+C）A．于是可知（2）当由于即a=1.把a=1代入（2）得T(n)=1当于是（2）式右边的第一个式子趋于0（当）；另一方面，因为当资金量n无限增大时，赌徒一直赌下去资金变为0的概率趋向于0（），从而（2）式的右边第二个式子为0。即，推出a=A=。把上式代入（2）式得到T（n）=综上所述，当时，T(n)=1，即一直赌下去资金变为0的概率T(n)=1.当，即一直赌下去资金变为0的概率T(n)=。2）解析“久赌必输”根据以上结论，当赌徒赢钱的概率≤50%时，T(n)=1，即只要一直赌下去，赌徒输光的概率为1。换句话说，只要赌徒赢的概率小于50％，最终输完的概率为1。这在直觉上也容易理解，因为赢的机率小，所以也容易判断出赌徒必输。但是每赌一次赌徒输赢的概率各50％时，只要一直赌下去，赌徒输完的概率也为1，我们得到了一个有些违背直觉的结论：无论你有多少钱，你用50％的概率赌下去，“久赌必输”。有些赌徒会一次押多个，不是一个1单位，但这只是改变输的方式，只要是小于50％的概率最后总是会输光的。之所以产生以上结果，原因在于“久赌”，庄家相当于有无限的资金和时间在开赌场，而对于绝大部分赌徒来说，他的资金量有限，在机率相等的情况下，久赌必然输光。在地下六合彩的赌博中，庄家常说的一句话是，不怕你赢，就怕你赢了不赌。上面的结果已经说明，买地下六合彩即使赢也是暂时的，只要胜率小于或等于50％，长久赌下去，必然输光。当赌徒赢钱的概率>50％时，赌徒输光的概率T(n)=，如果赌徒赢的概率只是略大于50％（>50％），且资金量小，输完的机率也是相当大的。例如，当n=1时，T(1)=ａ=；当=0.6,T(1)=2/3≈0.67。说明当赌徒资金量为1，且每次的胜率为0.60时，最终输光的概率为0.67；当＝2/3，T(1)=＝1/2。说明即使每次的胜率高达2/3，但最终输光的概率仍为0.50。现实生活中赌博方式多种多样，但有的赌博方式同样可以用该模型的结果来解释。例如前面提到的地下六合彩，49个数选一，如果每次都买24个或25个不同的号，你的中奖率就提高到49％或51％，赔率降成了1∶1.67和1∶1.60.也就比较接近上面的模型。如果每次买20个不同的号，赔率为1∶2，但赢的概率降为40.8％，与上面模型是一致的。从上面的模型可知，即使地下六合彩的赔率提高到1:49，即赔率和中奖率等同，赌民仍是输的。那么为什么地下六合彩在农村屡禁不止呢？除了村民对地下六合彩的危害性认识不足外，还有庄家采用各种宣传诱惑村民参与赌博有关，常用的方法有两种：一是庄家散发资料引诱买码。由于特码是早就定好的，因此有许多小报、书刊，向人们提示每一期将出哪个数字或哪个生肖，一些决心戒赌的村民看到码报忍不住分析，一分析就忍不住买码。并且分析出结果的人还要进行交流、传播，则影响更多的人去买码；二是庄家通过网站、手机透露有关特码信息引诱人们买码。透码短信分为付费和免费两种，免费的透码短信，目的就是吸引更多的人参与买码。许多人就是第一次收到透码短信一试，成功了，人就下水了。收费的透码短信，基本上都是地下六合彩老板用来放长线钓大鱼的，彩民按照他们的要求寄钱过去，第一次一般给的数字比较准确，试了一两期，彩民胆子变大，加大赌资，结果又不准了，连本带利都赔了进去。