人教版数学九级上册24-垂直于弦的直径课件

第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直11.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一

些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.学习目标2折一折你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．新课引入折一折你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？圆是轴对称图3问题1：

如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE；劣弧:AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒理由如下：连结AO,BO.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABCDE新课讲解垂径定理及其推论1问题1：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为4★垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.★推导格式注意

垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.归纳总结★垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对5想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE新课讲解想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什6垂径定理的几个基本图形ABOCDEABOEDABO

DCABOC新课讲解垂径定理的几个基本图形ABOCDEABOEDABODCAB7

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？新课讲解①过圆心；思考探索如果把垂径定理（垂直于弦8

DOABEC举例证明其中一种组合方法.已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E

③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想新课讲解DOABEC举例证明其中一种组合方法.①C9如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒证明举例（1）连结AO，BO，则AO=BO.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.新课讲解如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=B10

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.★垂径定理的推论⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直径，

AE=BE★推导格式ＤＣＡＢＥＯ归纳总结平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两11思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.新课讲解思考：·OABCD特别说明：新课讲解12·OABE解析：连结OA.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴（cm）.

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.例1新课讲解·OABE解析：连结OA.∴AB=2AE=16cm.16∴13·OABECD解：连结OA.

∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，.

如图，⊙O的弦AB＝8cm

，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.例2新课讲解·OABECD解：连结OA.∴设OC=xcm，则OD=（x-14.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴

AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.⌒⌒例3新课讲解.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒15

总结解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.新课讲解总结解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直16垂径定理的实际应用2

赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.例4新课讲解垂径定理的实际应用2赵州桥（如图）是我国隋代建造17ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为Rm.

经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连结OA，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.新课讲解ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O18练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm新课讲解练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的19

在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.★涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：★弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·方法归纳在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓201.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°，则弦AC=___.

103cm3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为

____

.14cm或2cm随堂即练1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则214.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四边形ADOE为矩形.又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四边形ADOE为正方形.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，随堂即练4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD22

5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？.ACDBOE注意

解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．随堂即练解：AC＝BD.理由如下：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB23如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围

.3cm≤OP≤5cmBAOP拓展延伸3cm≤OP≤5cmBAOP拓展延伸24垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形课堂总结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;25►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎样去爱自己。►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。26►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满27►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢晶的。它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热28第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直291.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一

些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.学习目标30折一折你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．新课引入折一折你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？圆是轴对称图31问题1：

如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE；劣弧:AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒理由如下：连结AO,BO.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABCDE新课讲解垂径定理及其推论1问题1：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为32★垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.★推导格式注意

垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.归纳总结★垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对33想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE新课讲解想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什34垂径定理的几个基本图形ABOCDEABOEDABO

DCABOC新课讲解垂径定理的几个基本图形ABOCDEABOEDABODCAB35

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？新课讲解①过圆心；思考探索如果把垂径定理（垂直于弦36

DOABEC举例证明其中一种组合方法.已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E

③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想新课讲解DOABEC举例证明其中一种组合方法.①C37如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒证明举例（1）连结AO，BO，则AO=BO.又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.新课讲解如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=B38

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.★垂径定理的推论⌒⌒CD⊥AB,AC=BC,⌒⌒AD=BDCD是直径，

AE=BE★推导格式ＤＣＡＢＥＯ归纳总结平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两39思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.新课讲解思考：·OABCD特别说明：新课讲解40·OABE解析：连结OA.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16∴（cm）.

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.例1新课讲解·OABE解析：连结OA.∴AB=2AE=16cm.16∴41·OABECD解：连结OA.

∵

CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2，.

如图，⊙O的弦AB＝8cm

，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.例2新课讲解·OABECD解：连结OA.∴设OC=xcm，则OD=（x-42.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧），∴

AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：AC＝BD.⌒⌒例3新课讲解.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒43

总结解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.新课讲解总结解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直44垂径定理的实际应用2

赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.例4新课讲解垂径定理的实际应用2赵州桥（如图）是我国隋代建造45ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为Rm.

经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连结OA，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.新课讲解ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O46练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm新课讲解练一练：如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的47

在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.★涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：★弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·方法归纳在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓481.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°，则弦AC=___.

103cm3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为

____

.14cm或2cm随堂即练1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则494.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴四边形ADOE为矩形.又∵AC=AB，∴AE=AD，∴四边形ADOE为正方形.∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，随堂即练4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD50

5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？.ACDBOE注意

解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．随堂即练解：AC＝BD.理由如下：过点O作OE⊥AB，垂足为点E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.5.已知：如图，在