高二数学 直线与圆 习题解答

题型1：直线的倾斜角【例1】（07·上海）直线的倾斜角．【解析】直线可化为，．题型2：直线的斜率【例2】（08·安徽卷）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（C）A． B．C． D．【解析】记圆心为,记上、下两切点分别记为，则，∴的斜率即.题型3直线的方程（图9-1-1）【例3】（07·浙江）直线关于直线对称的直线方程是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【解析】(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于对称点为(2-x,y)在直线上,即，化简得答案D.题型4：直线方程的综合题yxOBAFEPC【例4】（08·江苏卷）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F，一同学已正确算的yxOBAFEPC【解析】直线AB的方程为①直线CP的方程为②②-①得，直线AB与CF的交点F坐标满足此方程，原点O的坐标也满足此方程，所以OF的方程为.若敢于类比猜想，交换x的系数中b、c的位置，便很快可得结果.题型5：直线与直线的位置关系【例5】（06·福建）已知两条直线和互相垂直，则等于()A．2B．1C．0D．【解析】两条直线和互相垂直，则，∴a=－1，选D.题型6：点与直线的位置关系【例6】（06·湖南）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是()A．36B.18C.D.【解析】圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6，选C.题型7：平行线间的距离【例7】（07·四川）如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则△的边长是()A．B．C．D．【解析】过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知边长，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确.题型8：动点的轨迹方程【例8】（07·四川）已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________.【解析】：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得．【例9】（08·上海）如图9-1-4，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()ABCDABCDOxyB．弧BCC．弧CDD．弧DA（图9-1-4）【答案】D【解析】分别在弧AB、弧BC、弧CD、弧DA上任意取一点Q，只有在弧DA上的点Q满足不存在中的其它点优于Q，故选D．【例10】（06·北京）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是()A．一条直线 B．一个圆C．一个椭圆 D．双曲线的一支【解析】如图9-1-5所示，因为过定点的动直线与垂直，直线绕定点旋转形成一个平面，这个平面与平面相交，有一条交线，点C在这条交线上，所以点C的轨迹是这条交线．故选A．题型9：圆的方程【例11】(06·重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（）A．B．C．D．【解析】＝3，故选C.【例12】（08·福建)若直线3x+4y+m=0与圆（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是.【解析】将圆化成标准方程得，圆心，半径.直线与圆相离，∴，∴，∴.题型10：直线与圆的位置关系【例13】（09•辽宁）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（B）A.B.C.D.【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径EQ\r(2)即可.题型11：圆与圆的位置关系【例14】（07·山东）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_____【解析】曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为.1．（09·湖南重点中学联考）过定点作直线分别交轴、轴正向于A、B两点，若使△ABC（O为坐标原点）的面积最小，则的方程是（）A.B.C.D.2．若P（2，－1）为圆（x－1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是A.x－y－3=0B.2x+y－3=0C.x+y－1=0D.2x－y－5=03.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A.B.2C.D.24.（09·宁夏海南）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=15.（09·重庆）直线与圆的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离6.（09·重庆）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A． B．C． D．7．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有A.16条B.17条C.32条D.34条8．（08·北京）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（）A． B． C． D．9．已知与，若两线平行，则的值为10.（08·天津）已知圆C的圆心与点关于直线对称．直线与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为____________．11.（09·四川）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.12.（09·全国）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是:①②③④⑤正确答案的序号是.13.（09·天津）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则a=___________.14．（09·辽宁）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为_____________.15．设直线过点A（2，4），它被平行线x–y+1=0与x-y-l=0所截得的线段的中点在直线x+2y-3=0上，求直线的方程.16．（08·北京）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．17．（08·江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．19．（08·年西城一模）在面积为9的中，，且.现建立以A点为坐标原点，以的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示.（Ⅰ）求AB、AC所在的直线方程；(Ⅱ)求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；(Ⅲ)过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE，求的值.20.（08·朝阳一模）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．(Ⅰ）求线段中点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．参考答案1．【解析】由题设，可知，且，∴当且仅当时，.∴的方程为：∴应选D.2．【解析】由（x－1）2+y2=25知圆心为Q（1，0）.据kQP·kAB=－1，∴kAB=－=1（其中kQP==－1）.∴AB的方程为y=（x－2）－1=x－3，即x－y－3=0.∴应选A.3.【解析】直线方程,圆的方程为：圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为，选D.4.【解析】设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得，对称圆的半径不变，为1.5.【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B.6.【解法】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为.7．【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦，也只有一条，其长度为10（PA的长为12，弦长=2=10），而其它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32．故选C．8．【解析】此圆的圆心为C（5，1），半径.设直线上的点P符合要求，连结PC，则由题意知，又.设与⊙切于点A，连结AC，则.在中，，∴，∴l1与l2的夹角为60°.故选C.9．.10.圆C的圆心与P（－2,1）关于直线y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为设AB中点为M，连结CM、CA，在三角形CMA中故圆的方程为11.由题知，且，又，所以有∴.12.【答案】①或⑤【解析】两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或.13.由知的半径为,解之得.14．【答案】【解析】圆心在x＋y＝0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径EQ\r(2)即可.15．【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在y=x上，将x+2y-3=0与y=x联立构成方程组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线过点A（2，4）由两点式得直线的方程为：3x-y-2=0.16．【解析】（Ⅰ）由题意得直线的方程为．因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．因为在椭圆上，所以，解得．设A，B两点坐标分别为，则，，，．所以．所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．所以直线的方程为，即．（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得所以．所以当时，菱形的面积取得最大值．17．（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：，令＝0得．这与＝0是同一个方程，故D＝2，F＝．令＝0得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．所以圆C的方程为.（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．18．【解析】由点M是BN中点，又，可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|， 所以|PA|+|PB|=4. 由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.设椭圆方程为， 由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=3.动点P（II）设点的中点为Q，则， 即以PB为直径的圆的圆心为，半径为， 又圆的圆心为O（0，0），半径r2=2， 又 故|OQ|=r2－r1，即两圆内切.19．【解析】（Ⅰ）设则由为锐角，，AC所在的直线方程为y=2x，AB所在的直线方程为y=-2x（Ⅱ）设双曲线为，设，，由可，即,由，可得，又，，即，代入（1）得，∴双曲线方程为（Ⅲ）由题设可知，∴设点D为，则。又点D到AB，AC所在直线距离：，，=20.（I）由题可设，，，其中.则∵的面积为定值2，∴，消去，得．由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去得，