初中数学人教九年级下册第二十八章锐角三角函数一变应万变特殊边形不怕难-南充唐鹏

说题流程教学设计变式拓展解题思路思想方法知识背景

原题再现

原题再现K

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B

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A

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C

G

P

Q

L

壹选择填空压轴题这道题源自于2018年曲靖市中考数学第8题.本题考查了角平分线及线段垂直平分线两种基本作图与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，三角函数等知识点.能较全面地考查学生的基础知识、基本技能、基本方法以及多种数学思维品质和数学能力，能较好地反映学生的数学学习水平和数学素养，是中考选择题、填空题和解答题的首选压轴题.知识背景以正方形为载体的中考压轴题能集多个数学知识点、多种数学思想方法于一体.数学思想分析法、综合法、比较法和特殊值法.数学方法数学建模思想、数形结合思想、转化归纳思想.熟练掌握基本作图和正方形的性质.难点关键点相似三角形的性质、等量转换的灵活运用.

三、解题思路三、解题思路1.难点与关键

三、解题思路三、解题思路已知条件隐含条件基本作图1AE是∠BAC的平分线.基本作图２FK是线段AE的垂直平分线.正方形∠ABC＝∠ABK

＝90°,AB＝BC,∠BAC

＝∠ACB

＝45°.2.条件分析

三、解题思路三、解题思路

K

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PQ是AE的垂直平分线.3.思路与解析AE是∠BAC的平分线.题目解题思路

三、解题思路三、解题思路如图，在正方形ABCD中，连接AC，∠BAC的平分线交BC于点E，线段AE的垂直平分线PQ分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，则结论：①∠LKB=22.5°是否正确？K

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分析：设AE与PQ的交点为O.选项①的思路:在△AOL和△BLK中，根据三角形内角和定理，如果两个角对应相等，则第三个角对应相等（或等角的余角相等），即∠LKB＝∠BAE＝22.5°；××●●O解：①∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC＝45°,

∠ABK＝90°，由作图可知：AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝22.5°∵PQ是AE的中垂线，∴AE⊥PQ，∴∠AOL＝∠LBK＝90°，又∵∠ALO＝∠KLB，∴∠LKB＝∠BAE＝22.5°；故①正确.3.思路与解析题目解题思路

三、解题思路三、解题思路如图，在正方形ABCD中，连接AC，∠BAC的平分线交BC于点E，线段AE的垂直平分线PQ分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，则结论：②GE∥AB是否正确？

选项②的思路：根据线段垂直平分线定理可得GA＝GE,

则∠AEG＝∠EAG＝22.5°＝∠BAE，可得EG∥AB；●●解：②∵OG是AE的垂直平分线，∴GA＝GE，∴∠AEG＝∠EAG＝22.5°＝∠BAE，∴GE∥AB，故②正确.3.思路与解析题目解题思路

三、解题思路三、解题思路

选项③的思路：由对顶角相等可得∠CGF＝∠AGL，∠BLK＝∠ALG，又∠BAE＝∠CAE，根据等角的余角相等可得：∠CGF＝∠BLK，从而得到它们的正切值相等即可判断选项③正确.●●××××而“等（同）角的余（补）角相等”这几条性质在全等三角形、相似三角形、四边形、圆的计算和证明中十分常见，经常会成为解题的关键点.因此我在教学中时常采用“点叉”标记法，不仅能让孩子们轻松找出等角，还能使他们解题的思路非常清晰.这种方法也被我历届的学生戏称为“唐氏符号”.唐氏符号！3.思路与解析题目一题多解

三、解题思路三、解题思路如图，在正方形ABCD中，连接AC，∠BAC的平分线交BC于点E，线段AE的垂直平分线PQ分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，则结论：④S△CGE：S△CAB＝1：4是否正确？选项④的思路：由GE∥AB可得△CEG∽△CBA，因此要求它们的面积比，只需要求出它们对应边的比便可作判断.

同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法.一题多解，有利于沟通各知识点的联系，培养学生思维的发散性和创造性.下面我将从不同角度来探究和分析如何解答选项④.3.思路与解析题目一题多解

三、解题思路三、解题思路如图，在正方形ABCD中，连接AC，∠BAC的平分线交BC于点E，线段AE的垂直平分线PQ分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，则结论：④S△CGE：S△CAB＝1：4是否正确？

S

3.思路与解析题目一题多解

三、解题思路三、解题思路如图，在正方形ABCD中，连接AC，∠BAC的平分线交BC于点E，线段AE的垂直平分线PQ分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，则结论：④S△CGE：S△CAB＝1：4是否正确？

R

（）（）3.思路与解析1.多题一解

四、变式拓展四、变式拓展

四、变式拓展四、变式拓展

1.多题一解2.一题多变（1）变结论:⑤2AL＝3BL,⑥CF＝2BL,⑦△BLK≌△BEA，⑧S△BKL：S梯形BCFL＝1：3……等等.

四、变式拓展四、变式拓展

五、教学设计五、教学设计自主学习5分钟完成基础小组讨论5分钟抓住关键合作探究5分钟变式拓展展示点评7分钟交流分享归纳总结3分钟方法思想学生活动老师活动1.自主学习（5分钟）

五、教学设计五、教学设计独立完成下列问题(1)由作图可知：AE是∠BAC的_____线，PQ是AC的______线.(2)判断选项①的正误并说理.

(3)判断选项②的正误并说理.巡回指导，个别启发：(1)要判断AE是什么线可以连接HM,HN.

要判断PQ是什么线，可以判断△AOG≌△EOG.(2)选项①中找出现成的22.5°角，再找∠LKB与它的关系；选项②中抓住PQ,得到等腰、等角再转换角度.学生活动老师活动2.小组讨论（5分钟）

五、教学设计五、教学设计(1)交流选项①②的判断并说理.(2)比一比：谁先找出选项③的解题思路，然后互助互学；(3)议一议：要判断选项③，需要运用哪些知识点？(4)做一做：判断选项③并说理.

学生活动老师活动3.合作探究（5分钟）

五、教学设计五、教学设计(1)分组互助，合作探究选项④，交流自己的思路和困惑.(2)分别按已有思路判断选项④并说理.(3)完成变式拓展的判断并说理.(4)小组内交流、互助互学，安排板书和说题同学.引导探究，适时启发两个三角形相似，判断面积比是否为1：4，就是要判断对应边的比是否为1：2.

引发不同思路和解法，及时评价和鼓励，尤其要让基础较差的学生大胆参与.学生活动老师活动4.展示点评（7分钟）

五、教学设计五、教学设计解法不同的小组分别派两人上台展示，一人板书，一人说题，说解题思路.跟进学生的思路，发现各自的闪光点，及时评价、鼓励和完善.学生活动老师活动5.归纳总结（3分钟）

五、教学设计五、教学设计学生畅谈：(1)学到哪些知识和方法？(2)收获了哪些解题经验？(3)与人合作交流中有什么感悟？聆听学生畅谈所学、所感、所悟，不断鼓励和完善，总结归纳本题相关的数学思想方法.贰（2018南充24）.如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使B′F＝AB.(1)求证：AE＝C′E.(2)求∠FBB′的度数.(3)已知AB＝2，求BF的长.C′ABCDEFB′D′

原题再现

原题再现解答压轴题这道题源自于2018年南充中考数学第24题.本题所涉及到的知识点有矩形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、解直角三角形、全等与相似的综合应用.不仅考查学生的基础知识、基本技能、基本活动经验，更能考查学生的动手操作能力、思维分析能力、推理论证能力，提升学生的观察能力、探究能力和运用数学知识解决问题的能力，是体现新课改的一类好题.知识背景特殊的平行四边形、等腰三角形在中考中是热门考点.数学思想分析法、综合法、构造法和待定系数法.数学方法数学建模思想、数形结合思想、转化归纳思想、函数思想、方程思想.

三、解题思路三、解题思路1.难点与关键难点

矩形与旋转性质、特殊三角形的判定与性质的综合运用.

构造特殊直角三角形、等腰三角形、等边三角形.关键点

三、解题思路三、解题思路已知条件隐含条件矩形∠DAB

＝∠ABC

＝…＝90°Rt△ABC中，AC＝2AB∠BAC

＝60°,∠DAC

＝∠ACB

＝30°.旋转∠CAC′＝∠BAC

＝60°,∠AC′B′＝∠ACB

＝30°.2.条件分析题目解题思路24.如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E.(1)求证：AE＝C′E.C′ABCDEB′D′

三、解题思路三、解题思路解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB

＝∠ABC

＝∠BCD

＝90°.∴△ABC为直角三角形.又∵AC＝2AB，∴cos∠BAC＝AB/AC＝0.5，∴∠BAC

＝60°.∴∠CAC′＝∠BAC

＝60°,∵∠DAC

＝∠ACB

＝∠AC′B′＝90°－60°＝30°.∴∠C′AD

＝∠CAC′－∠DAC

＝60°－30°＝30°＝∠AC′B′.∴AE＝C′E.

分析：第(1)小题要证明三角形的两边相等，可转换为证明它们所对的角相等.而∠AC′B′是由∠ACB旋转得到的，用三角函数容易求出它为30°，因此只需利用矩形和旋转的性质求出∠C′AD也为30°就能解决问题.？3.思路与解析题目解题思路24.如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使B′F＝AB.(2)求∠FBB′的度数.C′ABCDFB′D′

三、解题思路三、解题思路

分析：第(2)小题是为第(3)小题作铺垫而设计的过渡小题，只需要由特殊的旋转先判定△ABB′为等边三角形，得出∠AB′B

为60°，进而得到等腰△FBB′的顶角

∠BB′F

为150°，从而求出底角∠FBB′为15°.解：(2)∵∠BAC

＝60°又AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形.∴AB＝BB′，∠AB′B

＝60°，又∵∠AB′F

＝90°，∴∠BB′F

＝150°.∵B′F＝AB＝B′B，∴∠B′BF

＝∠BFB′

＝15°.3.思路与解析题目一题多解

三、解题思路三、解题思路方法一：如图

，连接AF，容易发现△ABF中∠ABF为45°，∠AFB为30°,从而想到过A作垂线段，构造特殊直角三角形，利用解直角三角形的方法解决问题.C′ABCDFB′D′24.如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使B′F＝AB.(3)已知AB＝2，求BF的长.M

分析：第(3)小题难度较大，其基本解题思路为：如何构造以BF为边长的特殊三角形，或把BF分割成两段，使其每一段都在一个特殊的直角三角形中.3.思路与解析方法二：如图

，由(2)得∠CBF＝45°，BF为它的一边，如果过F作FG⊥BC于G,交AC于H.则构造出一个以BF为斜边的等腰直角三角形，这就需要求出它的直角边FG的长.而FG被分成两段HF，HG，每一段又都在一个含30°的直角三角形中，可分别求出进而解决问题.题目一题多解

三、解题思路三、解题思路C′ABCDFB′D′24.如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使B′F＝AB.(3)已知AB＝2，求BF的长.GH3.思路与解析题目一题多解

三、解题思路三、解题思路方法三：如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.由于点F可以看作B′C′与BF的交点，因此只需要分别求出两直线的解析式便可解题.C′ABCDFB′D′24.矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B′落在AC上，在B′C′上取点F，使B′F＝AB.(3)已知AB＝2，求BF的长.解法3：数形结合法及函数法.如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.则有3.思路与解析1.多题一解例1.如图，在△ABC中，∠ACB

＝30°，∠ABC

＝45°.若AB＝2，求BC的长.

例2.如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，连接BC′.若AB＝2，求BC′.例3.把正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转60°得到正方形AB′C′D′，连接BC′.若AB＝2，求BC′.

四、变式拓展四、变式拓展2.一题多变

变式1（改变旋转角度）.如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使对角线AC′经过点D，B′C′分别交AC,CD于点E,F.(1)求证：AE＝C′E.(2)已知AB＝2，求EF的长.

变式2（变矩形为正方形）.如图，把正方形ABCD绕点A旋转得到正方形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交CD于点E，BC′交CD于点F.(1)求证：CE＝C′E.(2)若AB＝2，求BC′及CF.

四、变式拓展四、变式拓展效果一题多解

多题一解

一题多变做一题

通一类

会一片训练学生活动老师活动1.自主学习（5分钟）

五、教学设计五、教学设计独立完成下列问题(1)矩形有哪些特性？(2)已知条件Rt△ABC中，AC＝2AB隐含哪些条件？(3)旋转前后有哪些等量？(4)独立完成题中(1)(2)问的解答.巡回指导，个别启发：(1)矩形中四个角都是直角.(2)Rt△ABC中，AC＝2AB则∠ACB

＝30°