中考培优-中考综合题-面积平分问题

-.z2018年4月35日中考综合题-------面积平分问题1．问题探究：〔1〕请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；〔2〕如图②，M是正方形ABCD一定点，请在图②中作出两条直线〔要求其中一条直线必须过点M〕使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：〔3〕如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，则在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两局部？如假设存在，求出BQ的长；假设不存在，说明理由．2．探索发现：〔1〕如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，假设△ABC的面积为S，则△ACD的面积为．联系拓展：〔2〕在图2中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC的中点，假设▱ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由．〔3〕在图3中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，假设▱ABCD的面积为S，则四边形BEDF的面积为．解决问题：〔4〕如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC〔n为常数，且n＞0〕．E是AB边上的一个动点，F是BC边上的一个动点．假设在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．3．如果图1，直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，容易证明：△ABC的面积=△ABD的面积；问题探究〔1〕在图2中画出与四边形ABCD面积相等且以AB为一条边的三角形．〔2〕在图3中，正方形ABCD的边长为4，G是边CD上一点，以CD为边作正方形GCEF，当CG=a时，求△BDF的面积．问题解决大爷家有一块正方形的果园如图4所示，由于修建道路，图中三角形BCE区域将被占用，现决定在DE右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四边形ABMD，要求补偿后的四边形ABMD的面积与原来形正方形ABCD的面积相等且M在射线BE上．请你在图4过画图来确定M点的位置，并简要表达画法和理由；假设AB=4，CE=a，求出上图中tan∠MDC的值．4．问题提出〔1〕如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，假设点O是△ABC的心，则OA的长为；问题探究〔2〕如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，则BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？假设存在，求出PQ的长；假设不存在，请说明理由．问题解决〔3〕*城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB〔即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．〕同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？〔结果保存根号或准确到0.01米〕5．提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子〔如图1，AB=BC，且BC≠AC〕，在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃〔要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样〕．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的"等分积周线〞．尝试解决：〔1〕大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮大毛在图1中作出这条"等分积周线〞，从而平分蛋糕．〔2〕小毛觉得大毛的方法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．〔用图2说明〕〔3〕假设AB=BC=5cm，AC=6cm，如图3，你能找出几条△ABC的"等分积周线〞，请分别画出，并简要说明确定的方法．6．〔1〕请在图①中画出与△ABC面积相等的三个三角形：△ABC1、△ABC2、△ABC3，其中点C1、C2、C3为△ABC所在平面上异于点C的三个不同点；〔2〕请在图②中射线BC上通过画图确定一点E，使得S△ABE=S四边形ABCD，并简要表达画法和理由；问题解决大爷家有一块果园如图③中的四边形ABCD，由于修路，图中三角形CEF区域将被占用，现决定在DF的右侧补给他一块土地，要求补偿前后的总面积不变，∠A=135°，∠B=60°，∠D=105°，AB=350m，BE=〔100+50〕m，CF=300m，DF=100m，假设所补区域为三角形DFG，且点G在射线EF上，请求出符合条年的FG的长度．7．问题探究〔1〕如图1，点E为矩形ABCD一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积分为相等的两局部；〔2〕如图2，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为对角线AC上一点，且AC=3AP，请问在边CD上是否存在一点E，使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2：3两局部，如果存在求出DE的长；如果不存在，请说明理由；解决问题〔3〕如图3，现有一块矩形空地ABCD，AB=80米，BC=60米，P为对角线AC上一点，且PC=3AP，方案在这块空地上修建一个四边形花园AECF，使得E、F分别在线段AD、AB上，且EF经过点P，假设每平方米的造价为100元，请求出修建该花园所需费用的围〔其他费用不计〕．8．平面上有三点M、A、B，假设MA=MB，则称点A、B为点M的等距点．问题探究：〔1〕如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q为点A的等距点；〔2〕如图②，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为点O的等距点，并说明理由．问题解决：如图③，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上一动点，在边CD上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？假设存在这样的点Q，求出CQ的长；假设不存在，说明理由．9．提出问题在一个图形上画一条直线，假设这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的"等分积周线〞．探究问题〔1〕如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=4，请你过点C画出△ABC的一条"等分积周线〞，与AB交于点D，并求出CD的长；〔2〕如图②，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，过点C画一条直线CE，其中点E为AB上一点，你觉得CE可能是△ABC的"等分积周线〞吗？请说明理由；解决问题〔3〕市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处．在*地的街心花园中有一块