自动控制理论第二章

§2.4

典型环节的数学模型什么是典型环节?

不同的物理系统是由许多元件、按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。常见典型环节:比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟后环节。一、比例环节特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系传递函数：常见物理系统：杠杆（无弹性形变的）、放大器（非线性和时间延迟可忽略）、测速电机电压与转速关系、传动链之速度比等等。齿轮传动共发射极晶体管放大器二、惯性环节

特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程

传递函数：—时间常数—比例系数单位阶跃响应：在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出是非周期的指数函数。当t=3τ—4τ时输出量才接近稳态值。常见物理系统：直流电机的励磁回路—激磁回路电感—激磁回路电阻—输入电压—励磁电流对惯性环节输入单位阶跃信号并且具有零初始条件时，其输出量y(t)为：三、积分环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程

传递函数：单位阶跃响应：常见物理系统：电机拖动系统—齿轮减速比设以电动机的转速为n转/分为输入量，以减速齿轮带动负载运动的轴角位移θ（单位为rad)为输出量，则四、微分环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程

传递函数：单位阶跃响应：输入是单位阶跃响应，即r(t)=1(t)，则输出的单位阶跃响应为：几个实际微分的例子RC串联电路τ＝RC

—时间常数实际的比例微分电路实际上是一个比例环节和微分环节的并联组合五、振荡环节

特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程单位阶跃响应：令K=1

传递函数：—时间常数—阻尼系数（阻尼比）令：振荡环节的单位响应是有阻尼的正弦曲线。振荡程度与阻尼比有关，阻尼比越小，则振荡越强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则震荡衰减越快。振荡环节的单位阶跃响应常见物理系统：弹簧阻尼系统机械旋转系统RLC电路六、纯滞后环节特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程

传递函数：常见物理系统：1、传输延迟测量点与混合点之间信号延迟2、轧钢板的厚度控制系统单位阶跃响应：延迟单位脉冲函数超越函数近似处理例：水箱进水管的延滞惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。延迟环节从输入开始之初，在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别相似系统1、什么是相似系统？2、相似变量3、了解相似变量和相似系统的意义注意：1、典型环节与元件并非一一对应的。2、控制系统模型与典型环节对比，即可知其有什么样的典型环节组成，由于典型环节的特性是熟知的，可为系统分析提供方便。3、典型环节只适用于线性定常系统。§2-6控制系统的方框图及其等效变换一、结构图的基本概念把方块图和传递函数结合起来，就称为动态结构图。是描述系统各组成元件之间信号传递关系的一种数学图形。两种图形研究方法：方框图和信号流程图方法。结构图给出了信息传递的方向又给出了输入输出的定量关系。即C(s)=R(s)G(s)。方框图的组成要素1信号线

带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。

2信号引出点（线）/测量点

表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。

二、方框图的组成和建立1.由四种基本图形符号组成。（1）函数方块(2)信号线(3)分支点(引出点)（4)综合点(比较点或相加点)(1)函数块（传递方框）：方框内为具体环节的传递函数。(2)信号线：表示输入、输出通道，箭头代表信号的传递方向。(3)信号相加点（综合点、比较点）：表示几个信号相加减。(4)信号分支点（引出点）：表示同一信号输出到几个地方。2

系统方框图的绘制

系统方框图的绘制步骤如下：

(1)根据信号传递过程，将系统划分为若干个环节或部件。(2)确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数。(3)绘出各环节的方框图。(4)将各环节相同的量依次连接，得到系统方框图。

例

试绘制图所示RC电路的方框图。

图RC电路

解

(1)根据信号传递过程，将系统划分为四个部件（环节）：

R1、C1、R2、C2。

(2)确定各环节的输入量与输出量，求出各环节的传递函数。

R1：输入量为ui-u1，输出量为i1；传递函数为

C1：输入量为i1-i2，输出量为u1；传递函数为R2：输入量为u1-uo，输出量为i2；传递函数为

C2：输入量为i2，输出量为uo；传递函数为(3)绘出各环节的方框图（如图所示）。(4)将各环节相同的量依次连接，得到系统动态结构图（如图所示）。RC电路各部件的方框图

RC电路的结构图

三、方框图的运算规则1、串联运算规则

几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。例：隔离放大器串联的RC电路同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。并联运算规则反馈运算规则

常用的方框图等效变换方法有二：一是环节的合并，二是信号分支点或相加点的移动。原则是：变换前、后的数学关系(输入量、输出量）保持不变。四、方框图的等效变换将信号分支点（引出点）和相加点（汇合点）前后移动的规则：变换前和变换后前向通道中的传递函数的乘积保持不变；变换前和变换后回路中的传递函数的乘积保持不变。1、基于方框图的等效变换2、基于比较点的等效变换3、基于引出点的等效变换

引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41G2H1G1G3综合点移动G1G2G3H1错！G2无用功向同类移动G1G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1自动控制系统的传递函数一、系统的开环传递函数前向通道传递函数和反馈通道传递函数的乘积。将反馈点上断开主反馈通道，反馈信号和偏差信号之比就是开环传递函数。二、闭环系统的传递函数给定输入作用下的闭环传递函数N(s)＝0时的系统结构图2．扰动输入作用下的闭环传递函数R(s)＝0时的系统结构图3．给定输入和扰动输入同时作用下系统的总输出三、闭环系统的偏差传递函数1.给定输入作用下的偏差传递函数。N(s)=0时E(s)和R(s)之比。N(s)=0时系统的等效图2．扰动输入作用下的偏差传递函数3．给定输入和扰动输入同时作用下的总偏差注：四个传函具有相同的分母。上式称为闭环系统的特征多项式。上式称为闭环系统的特征方程。

特征方程的根称为闭环系统的根或闭环系统的极点。

一、信号流图及其术语二、信号代数运算法则三、根据方框图绘制信号流图四、信号流图梅逊公式§2-7信号流程图

信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。节点表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。支路连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。通路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。一、信号流图的组成要素及其术语输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，引出信号为输出节点。前向通路从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。回路起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触回路相互间没有任何公共节点的回路X2、X3X3、X4X5二、信号流程图的简化方块图转换为信号流图示例1三、根据方框图绘制信号流图方块图转换为信号流图示例2Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益）—第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式∆，将与第k条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的∆即为∆k